数与式-初升高数学暑假专项提升（人教版）

第01讲：数与式

【考点梳理】

考点一、乘法公式

【公式1】平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

【公式2】完全平方公式：伍±6)2=。2±2帅+/

【公式3】完全立方公式：(。±力)3=/±3/人+3。/±3

【公式4]c)1=a2+b1+c22ab+2bc+2ca(完全平方公式)

【公式5】5+b)(a2一M+/)=/+/(立方和公式)

【公式6】(a-b)(a2+砧+/)=/一/(立方差公式)

考点二、指数式

n

当〃eN时，a=a、一a一...aJ.

当〃€0时，⑴零指数=1(4W0),⑵负指数。一"=」-(〃工0).

⑶分数指数加="为正整数).

■运算法则:⑴/W=尸,(2)("=编:(3)(呀=。附(a,b>0,〃?,〃GZ).

考点三、根式

式子G(a20)叫做二次根式，其性质如下:

(1)(〃y=4(a»0)⑵=\a\

=坐(”>0力20)

(3)\[ab=\[a-\[b(a>0,Z)>0)

如果有x"=。，那么x叫做。的〃次方根，其中〃为大于1的整数.

当n为奇数时，折=a,当n为偶数时，仃=|。|二卜彳

四、分式

AA

当分式△的分子、分母中至少有一个是分式时，公就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法:

(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质.

【专题突破】

一、单选题

1.（2023秋•四川凉山•高一统考期末）已知等式以="，则下列变形一定正确的是（）

A.B.ax-m=by-m

C.y[ax-y/byD.—=^-

【答案】B

【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可.

【详解】对于选项A,因为如=勿，当力=0或x=0时，:=上无意义,故选项A错误；

对于选项B,等式仆="的两边同时减去，〃，根据等式的基本性质，该等式仍然成立，故选项B正确；

对于选项C,因为"="，当or<0或"<0H、j,=质无意义,故选项C错误；

对于选项D,因为。丫="，当ax=0或勿=0时，无意义，故选项D错误；

axby

故选：B

2.（2022秋•四川南充•高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）已知。=焉工+2013,b=+2012,

e=-^-x+2014,则代数式/+/+,2一附_儿-℃的值为（）

A.-B.3C.6D.12

2

【答案】B

【分析】化简所求式子，结合已知条件求得正确答案.

【详解】a2+b2+c2-ab-be-ac

（a?-2ab+b2）+（^b2-Ibc+c^+（a2-2ac+c^

~2~

（Q-A）~+（6-c）~+（a-c）~

2

1+4+1、

='=3•

故选：B

3.（2022秋•安徽黄山•高一屯溪一中校考开学考试）若必=3，-8个+9/_4x+6y+13（x、y是实数），则”的值

是（）

A.正数B.负数

C.零D.以上皆有可能

【答案】A

【分析】整理得M=2("2y)2+(x-2)2+仅+3》，再分析判断即可.

【详解】因为M=3/-8号+9/-4x+6y+13=2(x2-4孙+4y)«%2-4工+，4/+6y+，

=2(x-2yY+(x-2)'+(y+31，

x-2y=0

若卜-2=0，该方程组无解，即x-2y=0,x-2=0j+3=0不同时成立，

y+3=0

所以Muza-yy+aH+Q+s)2〉。.

故选：A.

4.(2022秋•广西玉林•高一校考期中)关于x的一元二次方程3』—ax+2a-5=0的两个实数根的平方和为果则。=

()

A.2B.8C.10D.2或10

【答案】A

【分析】利用根与系数的关系直接求解.

【详解】设为，巧是3/-。氏+2。-5=0的两个实数根，则王+々=*，与工，

故X；+W=(再+/J-=(1)-2x*5=与,解得a=2或〃=10.

当q=2时，A=(-t/)2-12(2a-5)=i?-24«+60=16>0符合题意；

当。二10时，A=〃一24〃+60=—80<0，不符合题意；

综上，a=2.

故选：A.

5.(2022秋•云南红河•高一校考阶段练习)已知实数。满足|2021-4+病酝=a,那么。-2020x2022的值是()

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】D

【分析】结合二次根号下的式子非负得到。的范围，进而化简式子，求出明再代入计算即可.

【详解】因为|2。21-《+Ja-2022=a,所以aN2022,所以“一2021+Ja-2022=a,

则。=20212+2022,所以a-2020x2022=20212+2022-2020x2022=20212-(2021-1)(2021+1)+2022=2023.

故选：D.

I11+/>+!+a1+a+b+\

【详解】解："W=

I+aI+b(I+4)(：+〃)\+a+h+ab

又ab=l,

..\+a+b+ab,

:.M=----------------=1；

\+a+b+ab

局理N_ab_a(l+Z>)+b(l+a)_a+ab+b+a(_l+a+b+.Z)_]

n1+a1+b(l+a)(l+Z>)\+a+b+ab\+a+b+ab

M=N.

故选：C.

9.（2022秋•四川成都•高一四川省成都市第八中学校校考开学考试）若c都是非零实数，且。+〃+c=0,

abcahc

那么同+阿+向+网的所有可能的值为（）

A.I或-1B.0或-2C.2或-2D.0

【答案】D

【分析】由题意可知4底为两正一负或两负一正，然后分别讨论可得到答案

【详解】解：由已知可得：。3c为两正一负或两负一正，

…abc,abc,

①当为两正一负时，同+讨+同=1两

abc,abc,

②当应为两负一正时，同+讨+同一，两=】，

.己+2+二+也=0

••同例H'

所以所有可能的值为0,

故选：D

10.（2022•安徽芜湖・高一芜湖一中校考强基计划）依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：

149162536496481100⑵144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字

是4,排在第898个位置的数字是（）

A.1B.4C.5D.9

【答案】B

【分析】先分别找到占1个，2个，3个，4个，5个数位的平方数的个数，从而得出第898个位置的数字是2082的

个位数字，求解即可.

【详解】1?到32,结果都各占1个数位，共占”3=3个数位；

4?到9工结果都各占2个数位，共占2x6=12个数位；

IO?到3-，结果都各占3个数位，共与3x22=66个数位；

32?到992，结果都各占4个数位，共占4x68=272个数位:

10()2到2082,结果都各占5个数位，共占5x109=545个数位：

此时3+12+66+272+545=898,而2082=43264,

所以，排在第898个位置的数字恰好应该是2082的个位数字，即为明

故选：B.

11.(2021秋•浙江•百一阶段练习)我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这

个“三角形”给出了(。+6)”(〃=123,4产)的展开式的系数规律(按。的次数由大到小的顺序)

11(«+/>)'=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

3

1331(a+b?=a+3a%++及

14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(八2021

请依据上述规律，写出展开式中含/团9项的系数是()

A.-2021B.2021C.4042D.—4042

【答案】D

【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项含V。巴写出系数即可.

八20H

(第一项的系数为1,第二项最前面的常数为2021,

则第二项为：2021-x2020=-2021-x2020-=一4042/°”.

故选：D.

12.(2D22秋・江西抚州•高一南城县第二中学校考阶段练习)下列说法正确的是()

\a\bab....,,

①已知a>0,b<0,则二+0一同二1；②若|a+4|=-4-a,则化简|b+3|-1-4|=。-6-7

a+b(a>b)

③如果定义｛。力｝=，。(。=6),当〃6<0,a+/>>0.|4>同时，则｛”>｝的值为；

b-a(a<b)

A.®®B.①③C.@@D.①②③

【答案】B

【分析】根据〃的正负，结合绝对值的定义化简判断①，由条件确定。的范围，分别在条件。<-3,方之-3时化

简|6十3|一,一4|,判断②，由条件"<0,a+….向〉可分析9的大小，结合定义求｛。，可，由此判断③,

【详解】因为a>0,b<0,所以而<0,同=。，\ab\=~abt所以呼+"［一茄=『1十1=1，①对，

因为|。+4|=-4-。，所以。+4£0,所以。-4£-8<0

\b+3\-\a-4\=\b+3\-4+a,

当6<-3时，\b+3\-\a-4\=-b-3-4+a=a-b-7,

当62-3时，卜+3|—卜—4|=b+3—4+4=a+6—1,所以②错，

因为同>例，所以/>〃，所以©-b)Q+b)>0,又a+b>0,所以a-6>0,

所以“>〃，所以｛〃力｝=4+6,③对，

故选:B.

13.(2022•江苏,高一开学考试)如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自《(1,0)处向上运动1个单位至R(L1),

然后向左运动2个单位至右处，再向下运动3个单位至4处，再向右运动4个单位至匕处，再向上运动5个单位至6

处，L,如此继续运动下去.则802。的坐标为()

y

p2P\

o八

八

A.(504,-505)B.(1010,-1011)(j.(1011,-1010)D.(505,-504)

【答案】C

【分析】结合题目观察规律，得到502。落在第四象限，再观察第四象限点的坐标规律，即可得到结果.

【详解】根据平面坐标系结合各点横坐标得出：

第一象限：6(1,1)、乙(3,3)、4(5,5)、/(7,7)……

第二象限:8(-1,1)、6(-3,3)、％(-5,5)、几(T7)……

笫三象限：6（一1,一2）,6（一3,-4）、修（一5，-6）、%（-7,-8）

第四象限:9(3,-2)、R(5,-4)、%(7,-6)、7>6(9,-8)

2020+4=505,

•.山侬在第四象限

观察规律知第四象限的点的横坐标是:〃+1,纵坐标为-g〃，即+-；”）

..•42。的坐标为（1°11，-1010），

故选:C.

14.（2022秋•福建泉州•高一泉州五中校考开学考试）观察规律工=1-《，=-L=l-1,L,运用

1x222x3233x434

你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点勺（〃,0）,（〃=1,2,3-一）作工轴的垂线，交^二加（。＞0）的图像于点4,,

的值为（)

n22an

A，a(n-l)B，,，+D・“〃+])

【答案】D

【分析】利用解析式求得4，4,4，当…4,纥，进而求得线段力固，4斗，……A„Bn,将所求结果代入算式,

再利用裂项相消法计算可得.

【详解】解：在歹=加（。＞0）上，4在直线y=—g上,

*,-4。，卬，,

/IfB,=a-(-a)=2a=lx2ti；

同理：4(2,40,B:(2,-2a),

A2B2=4a-(-2a)=6"=2x3a；

4(3,9*同(3，—3〃)，

=9a-（一3。）=12。=3x4a；

4A=M〃+1）。•

1

---------1-----------+…+

4i

4B1A2B2

十+・・・+

1x2a2x3an（n+\）a

a(n+】)

故选：D.

二、填空题

15.(2023•而一课时练习)已知a、小是方程/+2021x+2=0的两个根，则(2+20234+/)(2+2Q23b+〃)的值为

【答案】8

【分析】首先根据已知条件得知+2O21a+2=O,4+2021+2=0,a6=2,

然后将原式化简整理成d+2021a+2+2a)伊+202怙+2+26),最后代入数值即可求解.

【详解】已知。、〃是方程/+202以+2=0的两个根，

则有。2+2021。+2=0，秒+202g+2=C，

根据韦达定理有。+8=-2021,ab=2.

(2+2023a+a2)(2+2023b+b2)=(a2+2021a+2+2a)伊+20216+2+26)=4必=8.

故答案为：8

16.(2022秋•上海浦东新•高一校考期中)若3工2+1+°=原2+/*-2对任意实数x恒成立，则a+b+c=

【答案】2

【分析】利用题意列出a/,c的等式，即可求解

（详解】由3x?+x+c=+法一2可得（3-a）k十（1-6）x+（c+2）-0,

因为3寸+工+<?=0?+加-2对任意实数，恒成立，

所以（3-a*+（l_b）x+（c+2）=0对任意实数x恒成立,

3-a=04=3

所以1—6=0解得心=1所以a+5+c=2»

c+2=0c=-2

故答案为：2

17.（2。22秋•江西抚州•高一南城县第二中学校考阶段练习）点力、B在数轴上分别表示有理数。、b,A、4两点之

间的距离表示为在数轴上月、4两点之间的距离力8=|"-"，利用数形结合思想回答卜列问题：

ABC

-6-5-4-3-2-10123456

（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是,数轴上表示2和-1的两点之间的距离为

（2）数轴上表示x和-1两点之间的距离为.若x表示一个有理数，且-4<x<2,则

|x-2|+|x+4|=.

（3）利用数轴求出|x+3|+|x-4|的最小值为,并写出此时x可取哪些整数值.

【答案】43|"+1|67xe{-3,-2,—1,0,1,2,3,4}

【分析】（1）由数轴.上两点之间距离的定义即可求解.

（?）由数轴上两点之间距离的定义即可求解

（3）由数轴上两点之间距离的定义即可求解.

【详解】（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是|1-5|二4；

数轴上表示2和-I的两点之间的距离为|2+1|=3.

故答案为：4；3.

（2）数轴上表示x和-1两点之间的距离为卜+1|；

因为-4<x<2,由数轴上两点距离的定义，则|x-2|+|x+4|=6.

故答案为：|x+l|；6.

（3）当-3<%<4时，|x+3|+|x-4|=7,且为最小值;

此时整数xe卜3,-2,-1,0,1,2,3,4}.

故答案为:7；xe（-3,-2,-l,0,l,2,3,4}.

18.（2022秋•，海•高一期中）设=J则用含。的最简分式形式表示代数式丁二的值为

x2+x+lI2）x4+x2+l----------

【答案】上

l-2a

【分析】已知式取倒数后求得x+,，待求式变形为关于的式子，代入后化简可得.

XX

【详解】由当得八四，,所以x+，=，—i.

r+x+lv2）XaXa

/_]_]_]_/

所以词

故答案为：

\-2a

19.（2022・安徽芜湖・高一芜湖一中校考强基计划）若有四个不同的工整数〃力,c,d,满足

(2022-4)(2022-6)(2022-c)(2022-4)=6,贝ija+"c+d=.

【答案】8087或8089

【分析】根据八b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内的值分别是：1,-1,-2,3或1,-12-3,据此可得出结论.

【详解】・・・。、b、c、d是四个不同的正整数，

・••四个括号内的值分别是：1,・1,-2,3或1,・1,2,・3・

四个括号内的值分别是：1",23时，

不妨令2022-a=1,2022-/)=-1,2022-c=-2,2022-d=3,

...a=2021,6=2023,c=2024M=2019,

：.a+b+c+d=202\+2023+2024+2019=8087；

四个括号内的值分别是：1,-12-3时，

不妨令2022-a=1,2022-/)=-1,2022-。=2,2022-d=-3,

••・a=2021/=2023,c=2020/=2025,

，。+〃+c+d=2021+2023+2020+2025=8089.

故答案为：2027或8089.

20.（2D21春•湖北武汉•高一华中师大一附中校考学业考试）已知X=则代数式2d-3--7x+2022的值为

2

【答案】2019

【分析】由x=二芭变形可得出X2-3X=-1,代数式2/一3/-74+2022变形，整体代入求值即可.

2

【详解】因为x—贝U2x—3+石，可得2x-3—6，所以，（2.r-3）2=5,

即4，_12X+9-5，所以，x2-3x--l»

所以，2x3-3X2-1X+2022=2x（x2-3@+3x2-7x+2022=3x2-9x+202：

=3（x2-3x）+2022=-3+2022=2019.

故答案为：2019.

21.（2D22•安徽芜湖・高一芜湖一中校考强基计划）设自然数〃5血＞〃，且（〃?+〃）+W-〃）+〃?〃+：=75,则

m+n=,

【答案】16

【分析】依题意可得〃?〃+12=3〃x5：即可得到,从而得解.

【详解】因为（/〃+〃）+（/〃一〃）+〃7〃+"=75,BP2m+mn+—=75,

即小+2〃+1）—75,所以+

n

即mn2+(2〃[-75)〃+，〃=0,所以关于〃的方程命+(2/〃-75)〃+〃?=0有正整数解,

A=（2W-75）2-4W2>0

所以

>0

其中△=(2加一75)2-4〃/=4〃/一300〃什752-4〃/20,解得加工万，

75

所以

2

又〃?(〃+1丫=3〃x52,因为〃?、〃为自然数且加＞〃，

tn=3/J]〃=4

所以।:，解得口，经检验符合题意,

所以〃?+〃=16.

故答案为：16

三、解答题

22.(2021秋・江苏镇江•高一江苏省镇江中学校考阶段练习)已知关于x的函数y=(x-〃)2+(g

⑴若。=0,且夕=7的正数解为%,求％+弁，其+.针的值;

(2)若当x＞0时，y的最小值为8,求实数。的所有值.

【答案】⑴"。十%I=3,人；+厢3=18；

（2）-1和加.

【分析】（1）根据完全平方和公式、立方和公式进行求解即可：

（2）根据基本不等式，结合换元法、二次函数的性质分类讨论进行求解即可.

（1）

若4=0,又y=7的正数解为维，故片+才=7,

又■。+媪）2=4+嫣+2=9,

又%>0，故%+'=3,・•・*+•=&+石保+烧-113x（7-1）=18；

（2）

y=x?一24（%+，）+2〃2=（x+，）-2ax+—^+2t72-2>

因为x>0,令£="一白展=2,当且仅当x=g时取等号，即x=l时取等号，

贝ljy=»-2a/+2a2-2="。）2+。2-2,

若则在1=2时，为E=2-4。+2/=8,解得。=-1,。=3（舍）；

2

若。>2,则在，=。时，ymin-a-2-8,解得°=加，。=-晒（:舍）；

综上，口的所有值为-1和Jid.

23.（2D22•江苏苏州•高一常熟中学校考阶段练习）已知。是方程/一2020*+1=0的一个根，求：

（1）2r-4040a—3的值；

⑵代数式2019a+竿的值.

a~+1

【答案】（1）-5；

（2）2019.

【分析】（1）根据。是方程f_2020x+l=0的一个根，得到/一2020。=-1,对代数式变形后，整沐代入求出答案;

（2）由题意得到/+l=2020a,t?+-=2020,将代数式变形，整体代入求出答案.

a

【详解】⑴因为4是方程--2020K+1=0的一个根，

所以q2-2020a+l=0,BPa2-2020a=-l>

故2a--4040“-3=2（/-2020"）-3=-2-3=-5；

（2）由。2—2020。+1=0得：/+]=2020Q,

£^1=4/+1=2020,结合a2-2020a=-l,

aa

202020201

可得：a2-2019a4-^F^-=a2-2020a+a+-=^-=-l+«+-=-1+2020=2019.

/+12020aa

a2-96

24.（2022秋・海南三亚•高一校考开学考试）已知丁二丁—十丁二.

a（a+3）a（a+3）

⑴化简7；

（2）若正方形力8CZ）的边长为。，且它H勺面积为9,求7的值.

【答案】（1）7=：

【分析】(1)根据分式的运算性质化的即可,

(2)先求出。，再代入化简后的式子中可求得答案.

(1)

矶a+3)“a(a+3)

+3)(a-3)6

=-(a------；-4-------

"(a+3)“a(a+3)

6

=a-3I

a(a+3)a(a+3)

a+3

-a(a+3)

=—1

a

(2)

因为正方形力8c。的边长为“，且它的面积为9,

所以/=9（。＞o）,得〃=3,

所以【鸿

"+4氐3立

25.(2D22秋•安徽黄山•庙一屯溪一中校考开学考试)化简

屈+亚+3+#

【答案】V6-V2

V6(l+V2+V2+V3)

【分析】根据已知，因式分解可得,然后拆开，根据分母有理化即可得出x/2-(^-V2+V2-l),

V3(；2+1)(V3+V2)

整理即可得出答案.

【详解】原式

V6(l+2x/2+x/3)V6(l+V2+x/2+V3)

=五-五+\/2-1)=R—五.

>/6(V3+V2)+5/3(V3+V2)6年+1)(6+⑸

26.(2022秋安徽淮南高一淮南第二中学校考强基计划)刘在《文心雕龙》中说；“造化赋形，支体必双；神理为

用，事不孤立.夫心生文辞，运裁还虑高下相须，自然成对.”在数学上也经常利用对仗(对偶)思想解决有关问题,

比如2+G的对偶式是2-6，可以用来无理式的有理化.请利用上述材料解决以下问题:

(I)已知“=J2025-12024/=,2024-J2023,。=(2023-42022,匕较4、b、c的大小关系;

(2)求不超过(石+石了的最大整数.

【答案】(l)"b<c

(2)3903

【分析】(1)根据题意将a/,c三个数化为分数形式，比较分母大小，即得答案；

(2)设。=石+百,6=石-石，可得a+6=2百,"=2,从而计算/+/的值，结合炉的范围，可确定d的范围,

即得答案.

【详解】(1)由题意可得)=屈^一而%=,20251,2024，

1

Z>=V2024-V2023=-7--7c=42023-y/2022=-7

V2024+V2023V2023+V2022

因为ViUX+J2024>J2024+J2023>,2023+(2022,

故a<b<c.

(2)设4=石+方力=石一石，则。+/)=2石,48=2,

则“2+b2=(a+6)2—2ab=16,

故〃6+/=伍2+/)3-3。，2(/+/)=163—3x4x16=3904,

因为b=M-g=厂2

x/5+V3

故3903<a6=3904-b6<3904，

故不超过(b+的最大整数为3903.

27.(2022秋」海浦东新•高