苏科版八年级数学上册 第三章《勾股定理》单元检测卷（含答案）

苏科版八年级数学上册《第三章勾股定理》单元检测卷含答案

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一、单选题

1.在直角三角形中，若一条直角边长是5,另一条直角边长是12,则斜边长的平方是（）

A.13B.50C.125D.169

2.如图，在中，ZC=90°,。为AC上一点.若DA=D8』15QABD的面积为90,

则AC的长是（）

C

A.9B.12C.18D.24

3.下列四绢线段中，能卯成百角三角形的是（）

A.a=3,/?=4,c=5B.a=\\,b=\2,c=13

C.«=5\Z>=122,c=132D.a=\,b=\,c=2

4.如图，等腰VNAC的底边BC=12,面积为54,点尸在边BC上,且BF=3CF,ED是AC

的垂直平分线，若点，在EO上运动，则尸周长的最小值为（）

A

EF

A.6B.12C.2丽+3D.3国+3

5.如图，RtZXABC的周长为36,ZC=90°,且A3:AC=5:4,则BC的长为（）

4

K

CB

A.9B.12C.15D.18

6.如图，VABC是边长为6的等边三角形，点E在AC上且4七=4,点。是直线BC上一

动点,将线段ED绕点E逆时针旋转90。，得到线段EF，连接DF,AF,AF的最小值是（）

A

A.4+V3B.2+73C.4D.6

7.如图，长为24cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B,然后把中点C向上拉升5cm

至点则橡皮筋被拉长了（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

8.如图，在RtZvlBC中，CO是斜边A8上的中线，已知CD=5,3C=6,则人C的长是（）

A

二、填空题

9.如图，在校长为3的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点8

的最短距离是.

10.已知V48C中，AB=17cm,8c=30cm,BC上的中线AO=8cm,则VABC为

三角形.

II.如图，在等腰RtaQU,中，/。44=90。,。4=1,以为直角边作等腰RtZ\OA&,

以。4为直角边作等腰口△。&4，…，则。&的长度为一

A________________Q__A

12.如图，在Rt^ABC中，N4C4=90。，Z4BC=30°,AC=2.点。是的三个

内角平分线的交点，点。是A4边所在的直线上一动点，连接O。，将线段。。绕点0逆时

二针旋转60。到线段OE处，连接跖，则的长的最小值为______.

13.如图，等边V43C中，AD1BC,点、E,尸分别是42AC上两点且AE=CF,若AB=2,

则CE+8歹的最小值等于.

A

BDC

三、解答题

14.如图1,已知VABC中,CO为AS边上的中线，且BO=CO.

--------B

图1图2备用图

(1)求的度数，并说明理由；

(2)将△ACO绕点。顺时针旋转，记旋转角为a(0<2<360),得到力>£0,连接C。，EB.

AA

02

备用图

⑴求-AC用的度数.

⑵求VA08的面积.

参考答案

1.D

【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算艮J可求解，熟练掌握勾股定理的运用

是解题的关键.

【详解】解：由勾股定理得，斜边长的平方=52+122=25+144=169,

故选：D.

2.D

【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理，根据BC为AABO中AD上的高及△A3。

面积，可得3C,再利用勾股定理可求得CO,即可求解.

【详解】解：•••3=04=15,ZwW。的面积为90,

Sv.)=gxAQx8C=gxl5x8C=90,解得：8c=12,

VZC=90°,

・・・8=，附一叱=9,

AC=AZ)+CZ)=24,

故选：D.

3.A

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是

解题的关键.

根据勾股定理逆定理分别计算并判断.

【详解】解：A,V32+42=5\

，能组成直角三角形，符合题意；

B、Vll2+122^132,

•••不能组成直角二角形，不符合题怠;

C、•・•[2)2+(122)2.(13?

・••不能组成直角三角形，不符合题意；

2*4

D>VP+I2^2，

••・不能组成直角三角形，不符合题意，

故选：A.

4.D

【分析】连接AP,4L过点A作A”_L8C于点儿证明尸C+尸尸=R4+P/34尸，求出A尸

可得结论.

【详解】解：连接AP,AF,过点A作A"_L4C于点从

丁等腰V八AC的底边BC=12,面积为54,

2

：,AH=9,

VBF=3CF,

:.CF=-BC=3

4f

VAB=AC,AHIBC,

，BH=CH=6,

，HF=CH-CF=3,

•**AF=>JAH2+HF2=V92-F32=3V10，

YOE垂直平分线段AC,

APA=PC,

/.PC+PF=PA+PF>AF=3>f\0,

•••PC+P/的最小值为3丽，

:,4PCF的周长的最小值为3+3种，

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股

定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，壬确作出辅助线解决问题.

5.A

【分析】本题考查勾股定理，根据A8:AC=5:4,设AB=5x,AC=4i根据勾股定理求出

8C的长，再根据三角形的周长列出方程进行求解即可.

【详解】解：・・・A4:4C=5:4,

・••设A3=5x,AC=4x,

•••ZC=90?,

•**BC=y/AB2-AC2=3x，

VRtZXABC的周长为36,

/.5x+4x+3x=36,

解得：x=3,

/.BC=3x=3?3=＜；

故选：A.

6.B

【分析】过点七作EM交BC于M,在EC的延长线上取点M使EN=EM,连接N/7

交BC于H,则可得△ME哈ANE/"从而ZANF=NEMC=30°,从而易得RV_L8C,即点

尸在直线可上运动；过点4作4G_LFN于G,当尸与G重合时，AF取得最小值，利用含

30。角直角三角形的性质即可求得最小值.

【详解】解：如图，过点E作EM_LAC交8c于M,在区的延长线上取点M使日V=皿，

连接NF交3c于H；

则NMED十/DEN=/MEN=9()0；

由题意知，ED=EF,ZDEF=ZDEN+ANEF=90°,

/.4MED=/NEF；

'：ED=EF,EM=EN,

・••△MEO^NERSAS),

/.ZANF=ZEMC,MD=NF；

设直线FN,BC交于点H：

•・•VAAC是等边三角形，

/.Z4CT=60°,AC=6,

'：MELAC.

・•・/EMC=30。，

:.ZANF=/EMC=3V,CM=2CE=4,

由勾股定理得：ME=ylCM2-CE2=2>

:•EN=EM=2超,AN=AE+EN=4+2g；

*.*/NCH=ZACB=60。，

・•・NCHN=NNCH+ZE7VF=9O°,

BPHV1BC,即点尸在垂直于BC的直线EV上运动；

过点A作AG_LRV于G,当产与G重合时，■取得最小值,

在RNAGN中，AN=4+2丛,NANG=3()。，

贝ijAG=UN=2+6

2

即AF的最小值为2+6.

故选：B.

【点睛】本题考杳了等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质，勾股定理，全等三角

形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点F的运动路径是解题的关键.

7.A

【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为

几何线段计算是解题的关犍.根据勾股定理.，可求出4)、8。的长，则即为

橡皮筋拉长的距离.

【详解】解：RtZ\AC£＞中，AC=-AB=]2cm,CD=5crn；

2

根据勾股定理，得：AD=JAC?+CD2=13cm；

，AD+BD-AB=2AD-AB=26-24=2；

二橡皮筋被拉长了2cm.

故选：A.

8.A

【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是掌握直角三角形斜边的中线等

于斜边的一半.由直角三角形斜边中线的性质得到A3=2CO=10,由勾股定理求出AC=8.

【详解】解：；NACB=90。，CO是斜边A4上的中线，

•••■=20)=2x5=10,

,/BC=6,

••AC=^AB2-BC2=小024=8・

故选：A.

9.3也

【分析】根据立方体的展开图，两点间线段最短，勾股定理解答即可.

本题考杳了立方体的展开图，两点间线段最短，勾股定理，熟练掌握勾股定理，展开图是解

题的关键.

【详解】解：根据立方体的展开图，两点间线段最短，

得4B=j3?+(3+3『=36,

故答案为：3\/5.

10.等腰

【分析】本题考查了勾股定理逆定理、等腰三角形的判定，解题的关键是先证明△人次＞是

直角三角形.由于是中线，易知80=15,根据勾股定理逆定理可判断AAB力是直角三

角形，可知4O/8C,即AZ）是的中垂线，于是A8=AC,可判断V4BC是等腰三角形，

又知AB、AC2KBe3故VA6c不是直角三角形.

【详解】解：如图所示，AD是中线，

A

•••AD是中线，

BDC

.•.40=15,

在△ABD中，A。?+87）2=289=A3?，

.飞人小）是直角三角形，

AD1BC,

：.AD是VA8C的中垂线，

AB=AC»

.•.△A3C是等腰三角形，

AB'+AC2*BC~,

「.△ABC不是直角三角形.

故答案为：等腰.

11.26

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；由等腰三角形的性质，勾股定理得

OR=JOA'M=历.OA.=42OA2,即可求解.

【详解】解：•••RtZiQU,是等腰三角形,

04=4A=1

22

：.OAi=ylOA+AAi=72,

同理可得：。％=0。4,=2,

:.OA,=>/2OA2=2yf2,

故答案为：20.

12.G+l

【分析】连接0408,将VA0B绕点。逆时针旋转60。得到△A09,而线段。。绕点。逆

时针旋转60。到线段0七处，故点石在线段上，过点8作3K_LA'Zr于点K,根据垂线段

最短原理，得当点E与点K重合时，BE的长取得最小值，过点。作O/_LAC于点「过点

。作QVJ.4'&于点N,OHA.BK于点、H,四边形O”KN时矩形，利用勾股定理，旋转的

性质，角平分线交点的意义，解答即可.

本题考查了直角三角形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，

熟练掌握勾股定理，旋转的性质，垂线段最短，直角三弟形的性质是解题的关键.

【详解】解：连接OAO4,将VAO8绕点。逆时针旋转60。得到△409,而线段OD绕点

O逆时针旋转60°到线段0E处，

故点石在线段AE上，过点8作/3KJ_49于点K,根据垂线段最短原理，得当点E与点K

重合时，8E的长取得最小值，

过点。作。/_L8C于点F,

•・•点。是RtZ\A8C的三个内角平分线的交点，

・•・点O到直角三角形三边的距离相等，都等于OF,

：,；（48+8C+CA}OF=；ACBC,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=2.

••・AB=2AC=4,BC=y/AB2-AC2=2y/3>

AC・BC4G

JOF=G-i,

AB+BC+CA2+4+26

连接OC,

•・•点。是RtZ^ABC的三个内角平分线的交点,

•••OC平分N4C8,

・•・ZOCF=ZCOF=45°,

：.CF=OF=y/3-],

Br-nc-cr-2y/3-43+\-y/5+\,

；・OB=JOF2+BF=2a，

过点。作于点N,OH工BK于点、K,

・•・四边形O，KN是矩形，

：,ON=KH,OH||KN,

•・•点。是RtZ^ABC的三个内角平分线的交点，

・••点。到直角三角形三边的距离相等，都等于。〃，ON=OF=01,

，NFBO=NABO=-/ABC=15°,

2

根据旋转的性质，得Na=4480=15。，40夕=60。，

'：0H\\KN,

CFB

/.Ne=NEOH=15。,

，NBOH=45。,

BH=OH=—OB=—x2>/2=2,

22

，BK=BH+KH=67+2=6+1,

故当点E与点K重合时，最小，

故应:长的最小值为G+l.

故答案为：G+1.

13.2&

【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，以及全等三角形的判定

和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，止确的进行解题.

由题意，过点C作C〃_LBC,且CH=BC,连接连接/77,先证明AAECg△CPH,则

CE=HF,BF+CE=BF”H,然后找出点尸使得距离最小，利用勾股定理即可得到答案.

【详解】解：如图，过点。作C〃_L8C,且CH=BC,连接B"，连接”，

H

A

/.Z^CH=90°

在等边三角形ABC中，ADJ.BC,

，/8C4=NB4C=60。，AC=BC=AB=2ZZ)AC=-ZBAC=30°

t2

•••ZACH=9()。-ZACB=30°

AZD4C=ZACH=30°

CH=BC

・•・AC=CH,

在△A£C与中，

AE=CF

<NEAC=NFCH,

AC=CH

.,.△AECRCFH(SAS),

：・CE=HF,BF+CE=BF+FHNBH,

当点aF,"三点共线时，BF+CE取得最小值为BH,

工8尸+。£的最小值为：BH=>jBC2+CH2=y/2BC=2y/2-

故答案为：20.

14.(l)ZACB=90,理由见解析

(2)①COJ.砂，理由见解析；②CQ=U：色或述

22

【分析】(1)根据80=。。得出/8=/8。。，根据O4=OC得出NA=NACO,进而得出

44co+N3CO=90,从而得到NAC3的度数；

(2)①延长£0至忆可得出NCOE=2NCDE,进而得出

NBED+NCDE=90,从而推出C。,£8的位置关系；

②当在A8上方时，连接3。，设CO和航交于点W,可证得g△80E,从而

NCOD=NBOE,NCDO=NOBE,进而得出-COE=/300=90,从而得出

N3CD=‘N3OD=45,从而得出8W=CW=^BC=6及，可求得(阳=O。=上，从而

222

8。=&。8="，根据勾股定理得出8W,进而得出C。；当△£)6史在AB的下方时，可

2

得出。卬=也8。=6夜，DW=—DE=—,进而得出C。的值.

222

【详解】(1)解：•.•BO=CO,

/.NB=NBCO,

•••CO是43边上的中线，

OA=OB,

:.OA=OC,

.-.ZA=ZACO,

/A+XACH+/R=IXO,

.•.Z4+(ZACO+Z^CO)+ZB=180,

...2NACO+2NBCO=180,

NACO+4CO=9(),

ZACB=90;

(2)解：①如图I,

延长EO至F,

•;OE=OC=OA=OD=OB,

:./OED=NODE,NOEB=N()BE,

NDOF=N0ED+NODE=2NOED,

NBOF=NOEB+NOBE=2NOEB,

NDOF-/BOF=2/OED-2/OEB,

...BOD=2^BED,

同理可得,

ZC0E=24CDE，

NDOE+NBOC=^AOC+NBOC=\80,

:.ZBOD+ZCOE=3,0)-(ZDOE+ZBOC)=18(),

2NBED+2NCDE=180,

NBED+NCDE=90，

记。。交8£于点S,则N£>SE=9O。，

:,CD1EB；

②如图2,

图2

当./X应在A8上方时，连接50,设C。和跖交于点W,

•;OD=OE=OC=OB,CD=BE,

:^COD^^BOE(SSS),

:./COD=/BOE,/CDO=NOBE，

NCOD-NDOE=NBOE-NDOE,

:.ZCOE=ZBOD,

•••NCOE+NBOD=180,

NCOE=NBOD=9。,

同理①知，

/BCD=工/BOD=45、

2

QCD工BE,4c=12,

/.ZCBW=45°=ZBCD,

.\BW=CW=—BC=6y!2f

2

•.•/AC3=90,AC=5,5c=12,

，AB=\3,

OB=OD=—,

2

/.BD=y]OB2+OD2=,

2

DW=JBD2-BW2=3^^[-（60）2='

：.CD=CW+DW=^^；

2

如图3,

当从）0七在A8的下方时，

同理可得CW=^8c=6五，DW=—DE=—,

222

7>/2

：.CD=CW-DW=^—t

2

综上所述：。。=12亚或速.

22

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，

全等三角形性质和判定，垂直的判定，旋转的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论.

15.（1）是，理由见解析

⑵号或3

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论,

不能漏解.

（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M,N是线段M的勾股分割点；

（2）设NB=x,则MN=12—AM—8N=7—x,分两种嘴形：当用N为最长线段时，

MN2=AM2+NB2；当N/3为最长线段时，NB2=AM2+MN2;分别列出方程即可解决问题.

【详解】（1）解：M,N是线段A4的“勾股分割点”.理由如下：

因为AM「+NB?=72+24-=625,MN2=252=625,

所以AM?+NB，=MN?,所以以A",MN,N8为边的三角形是一个直角三角形.

故M，N是线段AB的“勾股分割点

(2)解：设NB=x,则MN=12-AM-8N=7-x.

17

①当MN为最长线段时，依题意，得MN=AM2+NB2,即(7-X)2=25+Y,解得X=

37

②当N8为最长线段时，依题意，得NB'AM'MM,即/=25+(7-幻2,解得x吟.

1937

综上所述，N8的长为三或?.

16.(1)证明见解析；

(2)AC=8.

【分析】(1)由旋转性质得：BD=BE,NO8石=90。，结合等腰直角三角形性质可利用“边

角边”证明AABD^CBE，最后由全等三角形性质即可得证；

(2)结合全等三角形性质、等腰育角三角形性质推得ADCE是百角三角形,由勾股定理求

出OE、CD,则4c=AO+CO.

【详解】(1)证明：由旋转性质得：BD=BE,ZDBE=90°,

•.•△ABC是等腰直角三角形，

:.AB=CB,ZABC=90。，

即ZABC=/DBE,

ZABC-ZDBC=NDBE—NDBC,

即ZABD=NCBE,

••,在aABD和△C8E中，

BD=BE

<NABD=NCBE,

AB=CB

.△AB悭ACBE(SAS).

AD=EC.

(2)解：依题得：BD=BE,AD=EC=\,

..RABDE中，DE=dBD、BE2=54，

•;AABD^ACBE,

/BAD=/BCE,

♦.•△ABC是等腰直角三角形，

:.ABAD=ZACB=45°,

ZDCE=ZBCE+Z4C8=90。，

:.Rf^DCE中,CD=y]DE2-EC2=7»

:.AC=AD+CD=S.

【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、

勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

17.(1)见解析

(2)9.6

【分析】本题主要考查平行线的判定和性质以及勾股定理，

(1)根据平行