26.3二次函数的图像 （2）学案 2025~2026学年 沪教版九年级数学上学期

/用待定系数法确定二次函数表达式【学习目标】掌握顶点式、一般式和两根式表示二次函数，选择合适的方法求解二次函数表达式根据数形结合思想求解二次函数表达式.【学习过程】学前准备1.根据二次函数的图象和性质填表：二次函数对称轴顶点与坐标轴交点一般式与轴交与点（）顶点式2.用十字相乘法分解因式：①②③【合作探究】一、探索归纳：1.根据《学前准备》第3题的结果，改写下列二次函数：①②③2.求出上述抛物线与轴的交点坐标：①②③坐标：3.你发现什么？4.归纳：⑴若二次函数是的形式，则该抛物线与轴的交点坐标是，故我们把这种形式的二次函数关系式称为式.⑵反之若二次函数与轴交点坐标是（）、（），则该函数还可以表示为的形式；⑶二次函数的图象与轴有2个交点的前提条件是，因此这也是式存在的前提条件.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.⑴⑵⑶与轴的交点坐标是：与轴的交点坐标是：二、典型例题：例1.已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.⑴求对称轴和顶点坐标.⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图.⑶求出该二次函数的关系式.⑷若二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是；若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是；若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是.归纳：若抛物线与轴的交点坐标是（）、（）则，对称轴是，顶点坐标是.例2.已知二次函数的图象上两点点坐标是（-3,1），（1,1），且函数的最值是4.⑴求对称轴和顶点坐标.⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图.⑶求出该二次函数的关系式.归纳：已知A、B是抛物线上一对对称点，且A点坐标是（）、B点坐标是（）则，对称轴是，顶点坐标是.【练习】1.已知一条抛物线的开口大小、方向与均相同，且与轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是.2.已知一条抛物线与轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线，则另一个交点坐标是.3.已知一条抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴是.4.二次函数与轴的交点坐标是，对称轴是.5.请写出一个二次函数，它与轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）：.6.已知一条抛物线的开口大小与相同但方向相反，且顶点坐标是（2,3），则该抛物线的关系式是.7.已知一条抛物线是由平移得到，并且与轴的交点坐标是（-1,0）、（2,0），则该抛物线的关系式是.8.已知一条抛物线与的形状相同，开口方向相同，对称轴相同，且与轴的交点坐标是（0,-3），则该抛物线的关系式是.9.将抛物线先向左平移2个单位得到的抛物线是，再向下平移3个单位得到的抛物线是.10.将抛物线沿轴翻折后，不变、改变，所得新抛物线是.例3.二次函数的图象如图所示，请将A、B、C、D点的坐标填在图中.请用不同方法求出该函数的关系式.⑴选择点的坐标，用顶点式求关系式如下：⑵选择点的坐标，用式求关系式如下：⑶选择点的坐标，用式求关系式如下：思考：如何验证这些不同的关系式表示同一个函数？归纳：求二次函数关系式的一般步骤：⑴根据已知条件确定的形式①已知用一般式；②已知用顶点式；③已知用交点式；⑵代入其他条件得到；⑶解.例4.如图所示，设二次函数的图象与轴交与A、B两点，与轴交与C点，若AC=8，BC=6,∠ACB=90°,求这个二次函数的解析式.例5.抛物线的顶点为（-1，-8），它与轴的两个交点间的距离为4.求此抛物线的关系式.例6.二次函数的图象与轴交与A、B两点，与轴交C点，A点坐标为（-3,0）、B点坐标为（1,0），且△ABC的面积为6，求该二次函数的关系式.【巩固练习】1.抛物线与交与点A(-1,0)、B（-6,0），则线段AB=.2.二次函数的对称轴是直线，则=.3.函数经过(-2,0)、(3,0)两点，则这个函数的关系式是=，=.4.已知二次函数，当时，函数取得最大值10，且它的图象在轴上截得的线段长为4，求的值.5.抛物线与轴只有一个交点，坐标为（-2.，0）.求抛物线的解析式.作业1.已知二次函数当时，的最值是6，该抛物线可设为.2.二次函数经过点（0，-3）、（1,0），则该函数关系式是.3.抛物线经过点（1,0）、（-3,0），则关系式是：.4.抛物线在轴截得的线段长为4，且经过点（1，3），则该函数关系式是：.5.抛物线形状、开口方向都与y=-0.5x²相同，顶点在（0，-2），求抛物线解析式.6.抛物线顶点在y轴上，且经过（1，-2）（2,3）两点，求抛物线解析式.7.已知抛物线顶点在x轴上，且经过点（1,0）（-2,4），求解析式.8.抛物线顶点坐标为（-2,0）且过点（1,4）求抛物线解析式.9.已知当x=2时，函数有最小值3，且过点（1,5），试求函数解析式.10二次函数的图像经过（1,1）（-1,7）（2,4）三点.11.已知抛物线顶点坐标为（2，-4），它与x轴一个交点横坐标为1.12.抛物线对称轴为直线x=2，且经过点（1,4）（5,0）.13.二次函数图像经过点（3，-8），对称轴x=2，抛物线与x轴两个交点之间距离为6.14.已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.⑴求C1的顶点坐标；⑵将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关