2025年下学期初中数学竞赛历史真题试卷

2025年下学期初中数学竞赛历史真题试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1．设(a=\sqrt{5}-2)，则代数式(a^3+4a^2-3a-5)的值为（）A．0B．1C．﹣1D．22．对于任意实数(m)，(n)，(p)，(q)，定义有序实数对((m,n))与((p,q))之间的运算“△”为：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))。如果对于任意实数(m)，(n)，都有((m,n)△(x,y)=(m,n))，那么((x,y))为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）3．已知(A)，(B)是两个锐角，且满足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，则实数(t)所有可能值的和为（）A．(-\frac{1}{2})B．(-\frac{3}{2})C．1D．(\frac{5}{2})4．如图，点(D)，(E)分别在△(ABC)的边(AB)，(AC)上，(BE)，(CD)相交于点(F)，设(S_{四边形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，则(S_1S_3)与(S_2S_4)的大小关系为（）A．(S_1S_3＜S_2S_4)B．(S_1S_3＝S_2S_4)C．(S_1S_3＞S_2S_4)D．不能确定（图：△(ABC)中，(BE)与(CD)交于点(F)，形成四个小三角形和一个四边形）5．设(S＝\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，则(4S)的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．两条直角边长分别是整数(a)，(b)（其中(a＜b＜2025)），斜边是(c)的直角三角形的个数为________。7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________。8．如图，双曲线(y=\frac{k}{x})（(x＞0)）与矩形(OABC)的边(CB)，(BA)分别交于点(E)，(F)，且(AF＝BF)，连接(EF)，若(OA=3)，(OC=4)，则△(OEF)的面积为________。（图：矩形(OABC)中，(O)为原点，(A)在(x)轴，(C)在(y)轴）9．⊙(O)的三个不同的内接正三角形将⊙(O)分成的区域的个数为________。10．设四位数(\overline{abcd})满足(a^3+b^3+c^3+d^3+1=10c+d)，则这样的四位数的个数为________。三、解答题（共4题，第11-13题每题20分，第14题20分，共80分）11．已知关于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的两个整数根恰好比方程(x^2+px+q=0)的两个根都大1，求(m+n-p-q)的值。12．如图，点(H)为△(ABC)的垂心，以(AB)为直径的⊙(O_1)和△(BCH)的外接圆⊙(O_2)相交于点(D)，延长(AD)交(CH)于点(P)，求证：点(P)为(CH)的中点。（图：△(ABC)中，(H)为垂心，(O_1)、(O_2)分别为(AB)和△(BCH)的外接圆）13．若从1，2，3，…，2025中任取5个两两互素的不同的数(a)，(b)，(c)，(d)，(e)，其中总有一个数是1，求正整数(n)的最大值。14．已知二次函数(y=x^2+bx+c)（(b)，(c)为整数），其图象与(x)轴交于两点(A(x_1,0))，(B(x_2,0))，且(|x_1|＜2)，(|x_2|＜2)，求(b)，(c)的值。15．如图，在Rt△(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，点(D)是边(BC)上一点，将△(ACD)沿(AD)折叠，使点(C)落在(AB)边上的点(E)处，求：（1）(BE)的长；（2）△(ADE)的面积。16．设(a)，(b)，(c)是正实数，且满足(abc=1)，求证：(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2}\leq1)。17．在平面直角坐标系中，已知点(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，动点(P(x,y))满足(|x|+|y|\leq1)，求(PA^2+PB^2+PC^2+PD^2)的最大值和最小值。18．将1，2，3，…，2025这2025个正整数任意分成两组，证明：必有一组中存在三个数(a)，(b)，(c)（可以相同），使得(a^2+b^2=c^2)。19．如图，⊙(O)的半径为(R)，弦(AB)，(CD)相交于点(E)，且(AB\perpCD)，若(AE=4)，(EB=6)，(CE=3)，求(ED)的长及⊙(O)的半径(R)。20．已知(n)为正整数，且(n^2+2n-15)能被(n-3)整除，求(n)的所有可能值。21．设(a)，(b)是实数，且满足(a^2+b^2=1)，求(a+b)的取值范围。22．如图，在△(ABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(P)是(BC)边上一动点（不与(B)，(C)重合），过点(P)作(PD\perpAB)于(D)，(PE\perpAC)于(E)，求(PD+PE)的值。23．解方程组：[\begin{cases}x+y+z=6\x^2+y^2+z^2=14\xy+yz+zx=11\end{cases}]24．已知(a)，(b)，(c)是△(ABC)的三边长，且满足(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca)，求证：△(ABC)是等边三角形。25．某商店销售一批进价为每件(10)元的商品，若按每件(15)元销售，每天可售出(200)件；若每件售价每提高(1)元，每天的销售量就减少(10)件。设每件商品的售价为(x)元（(x\geq15)），每天的销售利润为(y)元，求(y)与(x)之间的函数关系式，并求出当售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？26．如图，在正方形(ABCD)中，(E)是(BC)边上一点，(F)是(CD)边上一点，且(BE=CF)，连接(AE)，(BF)交于点(G)，求证：(AG\perpBF)。27．已知(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1)，求(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y})的值。28．在Rt△(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，点(D)是(AB)的中点，点(E)，(F)分别在(AC)，(BC)边上，且(DE\perpDF)，求(EF)的最小值。29．设(n)为正整数，且(n)满足(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=k^2)（(k)为正整数），求(n)的值。30．已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图象经过点((1,2))，((2,3))，((3,6))，求该二次函数的解析式。31．如图，⊙(O_1)与⊙(O_2)外切于点(P)，过点(P)的直线分别交⊙(O_1)，⊙(O_2)于(A)，(B)两点，若⊙(O_1)的半径为(2)，⊙(O_2)的半径为(3)，求(PA:PB)的值。32．计算：(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{2024\times2025})33．已知(a)是方程(x^2-3x+1=0)的根，求(\frac{a^4+a^2+1}{a^2})的值。34．在△(ABC)中，(\angleA=60^\circ)，(AB=2)，(AC=3)，求(BC)的长。35．若关于(x)的方程(x^2-(m+1)x+m=0)有两个不相等的正实数根，求(m)的取值范围。36．如图，在梯形(ABCD)中，(AD\parallelBC)，(AB=CD=5)，(AD=2)，(BC=8)，求梯形(ABCD)的面积。37．设(a)，(b)，(c)是正实数，求证：(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2})38．已知(n)为正整数，且(2^n+7)为完全平方数，求(n)的值。39．解不等式组：[\begin{cases}3x-1\geq2x+1\2x\leq8\x-3＜0\end{cases}]40．如图，点(P)是⊙(O)外一点，(PA)，(PB)是⊙(O)的切线，(A)，(B)为切点，(OP)交(AB)于点(C)，若(PA=4)，(PC=2)，求⊙(O)的半径。41．已知(f(x)=x^2+2x-3)，求(f(f(x))=0)的所有解。42．在平面直角坐标系中，已知直线(y=kx+b)经过点((1,3))和((-1,1))，求该直线的解析式。43．设(a)，(b)是方程(x^2-x-1=0)的两个根，求(a^4+3b)的值。44．如图，在Rt△(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=4)，(BC=3)，以点(C)为圆心，(r)为半径作圆，若⊙(C)与斜边(AB)相切，求(r)的值。45．已知(a+b+c=0)，求(a^3+b^3+c^3-3abc)的值。46．若关于(x)的方程(kx^2-2x+1=0)有实数根，求(k)的取值范围。47．如图，在正方形(ABCD)中