24.1-2相似形与比例线段(2课时) 学案 2025~2026学年沪教版(上海)九年级数学第一学期

/相似与比例线段学习目标掌握相似多边形的判定和性质；理解两条线段的比和比例线段的概念；掌握比例的性质，了解黄金分割的概念，并能画出线段的黄金分割点.学习过程放缩与相似观察以下几组图形，你能发现每组图形都有什么共同点吗？每组图形大小不同，但形状相同.图形的放大或缩小称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形.我们把形状相同的两个图形，说成是_____的图形，简称为_____形．相似的图形，它们的大小_______相同，对于大小相同的两个图形，它们可以重合，这时它们是全等形．你还能举出哪些图形，它们一定是相似的？例1对于下图的△A'B'C'和△A''B''C''观察和测量，∠A''与∠A'、∠B''与∠B'、与∠C''与∠C'的大小有何关系？A''B''与A'B'、B''C"与B'C'、A"C''与A'C'这三组边长的比值之间有何关系？PPA'B'C'B''C''A''通过测量及计算，可以得到：∠A"＝∠A'，∠B"＝∠B'，∠C''＝∠C'；EQ\F(A''B'',A'B')＝EQ\F(B''C'',B'C')＝EQ\F(A''C'',A'C')．我们可以发现，三角形的形状相同，它们的对应角_____，对应边的长度_______．相似多边形的性质：如果两个多边形是相似多边形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．例2已知下列各组图形中的两个三角形都是相似的，请写出其中的对应角和比例线段（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例3如图，△ABC和△ADE是相似形，顶点A、B、C分别与点A、D、E对应，已知∠A＝35°，∠B＝65°，AE＝1.2，AB＝2.5，AC＝2，ED＝1．求AD、BC的长和∠AED的度数．AAEDBC例4已知矩形ABCD中，AB=1，在BC的边上有一点E，沿AE将△ABE向上翻折，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_________例5已知△ABC中，∠ABC=90o,BD⊥AC,且△ABC和△ABD相似，若AB=9，AD=4，求CD长例6已知△ABC中，∠ABC=90o,BD⊥AC,且△ABD和△BDC相似，若AD=3，DC=6，求BD长例7已知△ABC中，E为AC上一点且∠BEC=∠B，△ABC和△BEC相似，若AE=5，BC=6，求EC长练习：1．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是()．(A)图形中线段的长度与角的大小都保持不变(B)图形中线段的长度与角的大小都会改变(C)图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变(D)图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变2．用放大镜将图形放大，应该属于()(A)相似变换(B)平移变换(C)对称变换(D)旋转变换3．已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8，乙三角形其中一边的长为2，求乙三角形的另外两边的长．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD上的一点，且EF∥AD，如果梯形AEFD相似于梯形EBCF，且AD=4，BC=9，则AE：EB等于_______已知△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，D为AC上一点且AD=3，E为AB上一点，且△ADE和△ABC相似，求DE长比例线段两条线段长度的比叫做两条线段的比.求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.如果a、b、c、d是比例线段，即a：b=c：d（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项，线段d是a、b、c的第四比例项.已知：a、b、c、d是四条线段，它们的长度分别是a＝1mm，b＝0.8cm，c＝0.2cm，d＝0.4cm，它们是不是成比例线段？我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，即如果，那么____＝_____.（还可得到—=—，—=—，—=—……）已知：（b±d≠0），求证.已知a、b、c是非零实数，且满足，求的值.三、黄金分割比1.探究：已知线段AB的长度是l，点P是线段AB上的一点，，求线段AP的长.知识梳理在比例式中，线段AP是线段AB与线段PB的比例中项.如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB与PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的_________.AP与AB的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.一般来说，一条线段的黄金分割点有两个.如图，若点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP＝AB，BP＝AP，BP＝AB，AB＝AP.试一试（1）作顶角为36°的等腰三角形ABC；（2）作∠B的平分线，交AC于点D，若△ABC的腰长为1，求AD的长度所以我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：求已知线段的黄金分割点.（1）已知一条线段AB，过点B作AB的垂线；（2）用圆规在垂线上截取BC=12AB，连接AC；（3）用圆规以C为圆心,以CB的长度为半径画弧,交CA于点D；（4）用圆规以A点为圆心,以AD的长度为半径画弧,交AB于点E,则点E为线段AB的黄金分割点。请说明为什么？练习1.把（）写成比例式，写错的是（）A．；B．；C．；D．．2.在一张比例尺为的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度应为（）A．750cm；B．75000cm；C．3000cm；D．300cm．3.已知，，则、的比例中项_________；4.已知线段cm，cm，则线段、的比例中项_________；5.已知线段cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段_______cm，较短线段________cm．6.若（其中b＋d≠0），求的值.7.若≠0，求的值.8.若＝m，求m的值.9.如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM＝.求AD的长.10.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，对角线AC、BD交于点O.=1\*GB2⑴图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？=2\*GB2⑵求证：.作业判断题：⑴两个直角三角形一定是相似图形．()⑵两个等边三角形一定是相似图形．()⑶有一个角是30度的等腰三角形一定是相似形．()⑷对于任意两个边数大于3的相似图形，它扪的各对应边相等、对应角也相等．()⑸两个图形全等也可以说这两个图形是相似的．()下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）已知△ABC的三边长分别是，与其相似的△A'B'C'有两边长为1和，则△A'B'C'的第三边边长为___________．若，则的值为________.线段、、的第四比例项是______________.某市有一体育馆，在比例尺为1:100000的地图上其面积为，则实际面积为________，，则___________.长为20，宽为的矩形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形重复上面的操作，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第次操作后，剩下的矩形为与原来的矩形相似，则操作停止．当时，的值为_________.某小区有