2025年下学期初中数学与代数思维试卷

2025年下学期初中数学与代数思维试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）若代数式$\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}$有意义，则x的取值范围是（）A.$x\geq2$B.$x>2$且$x\neq3$C.$x\geq2$且$x\neq3$D.$x>2$下列计算正确的是（）A.$a^3+a^2=a^5$B.$a^3\cdota^2=a^6$C.$(a^3)^2=a^5$D.$a^6\diva^2=a^4$已知关于x的方程$x^2-2x+k=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.$k<1$B.$k>1$C.$k\leq1$D.$k\geq1$若点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k<0)$的图象上，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（）A.$y_1>y_2$B.$y_1=y_2$C.$y_1<y_2$D.无法确定如图，在$\triangleABC$中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC的长为（）A.5B.10C.15D.20某商店销售一种商品，每件的进价为80元，售价为120元，每天可售出20件。为了扩大销售，商店决定降价销售，经调查发现，每件商品每降价1元，每天可多售出2件。设每件商品降价x元，每天的销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（）A.$y=(120-x-80)(20+2x)$B.$y=(120-x)(20+2x)$C.$y=(120-80-x)(20+x)$D.$y=(120-80)(20+2x)$若$\alpha$、$\beta$是一元二次方程$x^2-3x+1=0$的两个根，则$\alpha^2+\beta^2$的值为（）A.5B.7C.9D.11如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(1,0)$，点B在x轴上，且AB=3，则点B的坐标为（）A.$(4,0)$B.$(-2,0)$C.$(4,0)$或$(-2,0)$D.$(0,4)$或$(0,-2)$下列命题中，真命题是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.$a>0$，$b>0$，$c>0$B.$a<0$，$b<0$，$c>0$C.$a<0$，$b>0$，$c<0$D.$a<0$，$b>0$，$c>0$二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）分解因式：$x^3-4x=$________。若关于x的不等式组$\begin{cases}x+1>2\x-m\leq0\end{cases}$有解，则m的取值范围是________。一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是________。如图，在$\odotO$中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则$\odotO$的半径为________cm。如图，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作圆，若$\odotC$与AB相切，则r的值为________。观察下列等式：$1^2=1$$1^2-2^2=-3$$1^2-2^2+3^2=6$$1^2-2^2+3^2-4^2=-10$……根据以上规律，第n个等式为$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n+1}n^2=$________。三、解答题（本大题共8小题，共72分）（8分）计算：$(\sqrt{3}-2)^0+(-1)^{2025}+\vert-2\vert-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$。（8分）先化简，再求值：$\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-x}\right)\div\frac{x^2+2x+1}{x^2}$，其中$x=\sqrt{2}-1$。（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：BE=DF。（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查结果分为“非常喜欢”、“喜欢”、“一般”、“不喜欢”四个等级，分别用A、B、C、D表示。根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：（1）求本次调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生2000人，估计“非常喜欢”课外阅读的学生人数。（8分）某工厂计划生产A、B两种产品共100件，已知生产一件A产品需用甲种原料4千克，乙种原料1千克；生产一件B产品需用甲种原料3千克，乙种原料5千克。现有甲种原料360千克，乙种原料290千克。设生产A产品x件，解答下列问题：（1）求x的取值范围；（2）若生产一件A产品可获利50元，生产一件B产品可获利60元，怎样安排生产可使获利最大？最大利润是多少？（10分）如图，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且$\angleCBD=\angleA$。（1）求证：BD是$\odotO$的切线；（2）若AD:DC=2:3，BC=10，求BD的长。（10分）如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作PD$\perp$x轴于点D，交直线BC于点E。当点P在第一象限时，求线段PE的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得$\triangleBCQ$是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。（12分）已知正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E