2025年下学期初中基于竞争学习数学试卷

2025年下学期初中基于竞争学习数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）若$a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，且$|m|=2$，则代数式$a+b+m^2-cd$的值为（）A.2B.3C.4D.5下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形已知关于$x$的一元二次方程$x^2-4x+k=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k<4$B.$k>4$C.$k\leq4$D.$k\geq4$如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，若$AD=2$，$DB=3$，$AE=4$，则$EC$的长为（）A.5B.6C.7D.8若点$P(m+3,m-2)$在第四象限，则$m$的取值范围是（）A.$-3<m<2$B.$m>2$C.$m<-3$D.$m>-3$下列计算正确的是（）A.$a^3+a^2=a^5$B.$(a^3)^2=a^5$C.$a^6\diva^2=a^3$D.$a^3\cdota^2=a^5$一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,-1)$，则该函数的解析式为（）A.$y=2x+1$B.$y=2x-1$C.$y=-2x+1$D.$y=-2x-1$如图，$\odotO$的半径为5，弦$AB=8$，则圆心$O$到弦$AB$的距离为（）A.3B.4C.5D.6二次函数$y=x^2-2x-3$的图象与$x$轴的交点坐标是（）A.$(3,0)$和$(-1,0)$B.$(3,0)$和$(1,0)$C.$(-3,0)$和$(1,0)$D.$(-3,0)$和$(-1,0)$二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）分解因式：$x^3-4x=$________。若$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是________。已知点$A(2,y_1)$、$B(3,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象上，则$y_1$________$y_2$（填“>”“<”或“=”）。一个扇形的圆心角为$60^\circ$，半径为6，则该扇形的面积为________。如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，则$\sinA=$________。观察下列等式：$1=1^2$，$1+3=2^2$，$1+3+5=3^2$，$1+3+5+7=4^2$，…，根据以上规律，$1+3+5+\dots+(2n-1)=$________。三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（8分）计算：$(-1)^{2025}+\sqrt{16}-|2-\sqrt{3}|+(\pi-3.14)^0$。（8分）先化简，再求值：$\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-x}\right)\div\frac{x^2+2x+1}{x^2}$，其中$x=2$。（8分）如图，在平行四边形$ABCD$中，点$E$、$F$分别在边$AB$、$CD$上，且$AE=CF$。求证：$\triangleADE\cong\triangleCBF$。（8分）某校为了解学生“双减”政策落实后的课外体育锻炼时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（如图1、图2）。请根据统计图信息解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1200名学生，估计每天课外体育锻炼时间不少于1小时的学生人数。（9分）某商店准备购进$A$、$B$两种商品，已知购进$A$商品3件和$B$商品2件，共需120元；购进$A$商品5件和$B$商品4件，共需220元。（1）求$A$、$B$两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且$A$商品数量不少于$B$商品数量的2倍，问最多能购进多少件$B$商品？（9分）如图，$AB$是$\odotO$的直径，$C$是$\odotO$上一点，$AD$垂直于过点$C$的切线，垂足为$D$。（1）求证：$AC$平分$\angleDAB$；（2）若$AD=3$，$AC=2\sqrt{3}$，求$\odotO$的半径。（10分）如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$。（1）求抛物线的解析式；（2）点$P$是抛物线上一动点，且在直线$BC$上方，连接$PB$、$PC$，求$\trianglePBC$面积的最大值及此时点$P$的坐标。（12分）在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，点$E$、$F$分别在$AB$、$AC$上，且$DE\perpDF$。（1）如图1，求证：$BE=AF$；（2）如图2，若点$E$在$AB$的延长线上，点$F$在$CA$的延长线上，$DE\perpDF$仍成立，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；（3）在（2）的条件下，若$BE=1$，$CF=3$，求$EF$的长。参考答案及评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题B2.C3.A4.B5.A6.D7.C8.A9.A10.A二、填空题$x(x+2)(x-2)$12.$x\geq2$13.>14.$6\pi$15.$\frac{4}{5}$16.$n^2$三、解答题解：原式$=-1+4-(2-\sqrt{3})+1$………………4分$=-1+4-2+\sqrt{3}+1=2+\sqrt{3}$………………8分解：原式$=\left[\frac{x^2}{x(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)}\right]\cdot\frac{x^2}{(x+1)^2}$………………2分$=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}\cdot\frac{x^2}{(x+1)^2}=\frac{x}{x+1}$………………6分当$x=2$时，原式$=\frac{2}{3}$………………8分证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，∴$AD=BC$，$\angleA=\angleC$，$AB=CD$。………………3分∵$AE=CF$，∴$\triangleADE\cong\triangleCBF(SAS)$。………………8分解：（1）$30\div30%=100$（名），答：本次调查共抽取了100名学生。………………2分（2）锻炼时间为1小时的学生人数为$100-20-30-10=40$（名），补全条形统计图略。………………5分（3）$1200\times\frac{40+10}{100}=600$（人），答：估计每天课外体育锻炼时间不少于1小时的学生人数为600人。………………8分解：（1）设$A$商品每件进价$x$元，$B$商品每件进价$y$元，则$\begin{cases}3x+2y=120\5x+4y=220\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=20\y=30\end{cases}$，答：$A$商品每件进价20元，$B$商品每件进价30元。………………4分（2）设购进$B$商品$m$件，则购进$A$商品$\frac{1000-30m}{20}$件，由题意得$\frac{1000-30m}{20}\geq2m$，解得$m\leq\frac{100}{7}\approx14.29$，∵$m$为整数，∴$m$最大取14，答：最多能购进14件$B$商品。………………9分（1）证明：连接$OC$，∵$CD$是$\odotO$的切线，∴$OC\perpCD$。∵$AD\perpCD$，∴$AD\parallelOC$，∴$\angleDAC=\angleOCA$。∵$OA=OC$，∴$\angleOAC=\angleOCA$，∴$\angleDAC=\angleOAC$，即$AC$平分$\angleDAB$。………………4分（2）解：∵$AB$是直径，∴$\angleACB=90^\circ$。∵$\angleDAC=\angleCAB$，$\angleADC=\angleACB=90^\circ$，∴$\triangleADC\sim\triangleACB$，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{AB}$，解得$AB=4$，∴$\odotO$的半径为2。………………9分解：（1）设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，将$C(0,3)$代入得$3=a(0+1)(0-3)$，解得$a=-1$，∴抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。………………4分（2）设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+b=0\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\b=3\end{cases}$，∴直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。设$P(t,-t^2+2t+3)$，过点$P$作$PQ\perpx$轴交$BC$于点$Q$，则$Q(t,-t+3)$，$PQ=(-t^2+2t+3)-(-t+3)=-t^2+3t$，$S_{\trianglePBC}=\frac{1}{2}\timesPQ\timesOB=\frac{1}{2}\times(-t^2+3t)\times3=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$，∵$-\frac{3}{2}<0$，∴当$t=\frac{3}{2}$时，$S_{\trianglePBC}$最大，最大值为$\frac{27}{8}$，此时$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。………………10分（1）证明：连接$AD$，∵$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC$，$D$是$BC$中点，∴$AD=BD=CD$，$\angleBAD=\angleCAD=45^\circ$，$AD\perpBC$。∵$DE\perpDF$，∴$\angleEDA+\angleADF=90^\circ$，∵$\angleADF+\angleFDC=90^\circ$，∴$\angleEDA=\angleFDC$。在$\triangleADE$和$\triangleCDF$中，$\begin{cases}\angleEDA=\angleFDC\AD=CD\\angleEAD=\angleC=45^\circ\end{cases}$，∴$\triangleADE\cong\triangleCDF(ASA)$，∴$AE=CF$，∵$AB=AC$，∴$BE=AF$。………………4分（2）解：结论仍然成立。证明：连接$AD$，∵$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC$，$D$是$BC$中点，∴$AD=BD=CD$，$\angleBAD=\angleCAD=45^\circ$，$AD\perpBC$，∴$\angleDAE=180^\circ-45^\circ=135^\circ$，$\angleDCF=180^\circ-45^\circ=135^\circ$，∵$DE\perpDF$，∴$\angleEDF=90^\circ$，∵$\angleADC=90^\circ$，∴$\angleADE=\angleCDF$，在$\triangleADE$和$\triangleCDF$中，$\begin{cases}\angleDAE=\angleDCF\AD=CD\\an