2025年下学期高中数学竞赛夏令营试卷

2025年下学期高中数学竞赛夏令营试卷一试（满分120分，时间80分钟）一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-10x+29}$，则$f(x)$的最小值为________。在等比数列${a_n}$中，$a_1=1$，且$a_2,a_3+1,a_4$成等差数列，则数列${a_n}$的前6项和为________。若复数$z$满足$|z-2i|=1$，则$|z+1|$的最大值为________。在三棱锥$P-ABC$中，$PA=PB=PC=2$，$\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=60^\circ$，则三棱锥的体积为________。设$x,y$为正实数，且$x+2y=1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为________。从1,2,3,...,10中任取3个不同的数，记事件$A$为“这3个数成等差数列”，则$P(A)=$________。已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$，则椭圆的标准方程为________。设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，当$x\geq0$时，$f(x)=x^2-2x$，则不等式$f(x-1)>0$的解集为________。二、解答题（本大题共3小题，满分56分）（本题满分16分）已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，$g(x)=\sinx\cosx$。（1）求$f(x)$的最大值及此时$x$的取值集合；（2）若$f(x)=2g(x)$，求$\tanx$的值。（本题满分20分）已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n+1$。（1）证明：数列${a_n+n+2}$是等比数列；（2）求数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$。（本题满分20分）已知抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$与抛物线交于$A,B$两点，且$|AF|=2|BF|$。（1）求直线$l$的方程；（2）求$\triangleAOB$（$O$为坐标原点）的面积。加试（满分200分，时间170分钟）一、（本题满分40分）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$E$是$\triangleABD$的外接圆上一点，且$AE\perpBE$。求证：$CE\perpDE$。二、（本题满分40分）设$a,b,c$为正实数，且$a+b+c=3$。证明：$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3$$三、（本题满分50分）求所有正整数$n$，使得存在正整数$a_1,a_2,\ldots,a_n$，满足：$$a_1+a_2+\cdots+a_n=2025$$且$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=1$$四、（本题满分70分）在平面直角坐标系中，有$n$个点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\ldots,P_n(x_n,y_n)$，其中$x_i,y_i\in{0,1}$。定义两点$P_i,P_j$的距离为$d(P_i,P_j)=|x_i-x_j|+|y_i-y_j|$。若对任意$i\neqj$，均有$d(P_i,P_j)\geq2$，求$n$的最大值。参考答案及评分标准（以下为简要提示，完整解析略）一试$5$（几何意义：两点间距离）$63$（公比$q=2$）$4$（几何法：圆上点到定点距离）$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（构造正方体）$3+2\sqrt{2}$（均值不等式）$\frac{1}{6}$（枚举法）$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$（离心率公式）$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$（分段讨论）（1）$\sqrt{2}$，${x|x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}}$；（2）$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$（1）提示：$a_{n+1}+(n+1)+2=2(a_n+n+2)$；（2）$S_n=2^{n+2}-\frac{n(n+5)}{2}-4$（1）$y=\pm2\sqrt{2}(x-1)$；（2）$3\sqrt{2}$加试一、提示：利用圆幂定理及等腰三角形性质二、提示：柯