2025年下学期高中数学与大数据分析试卷

2025年下学期高中数学与大数据分析试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知变量x与y的成对数据如下表所示，下列说法正确的是（）|x|1|2|3|4|5||y|2|3|5|6|8|A.x与y正相关，且相关系数r=1B.x与y负相关，且相关系数r=-0.95C.x与y正相关，且相关系数r≈0.98D.x与y不相关，且相关系数r=0某电商平台统计了2024年1-6月的月销售额（单位：万元）与广告投入（单位：万元）的数据，得到一元线性回归方程为$\hat{y}=1.2x+2.5$，若7月广告投入为10万元，则预测销售额约为（）A.12万元B.14.5万元C.15万元D.24.5万元对四组数据进行相关性分析，得到样本相关系数分别为r₁=0.89，r₂=-0.92，r₃=0.35，r₄=-0.18，则线性相关性最强的是（）A.r₁B.r₂C.r₃D.r₄在2×2列联表独立性检验中，若小概率值α=0.05，计算得到χ²=4.82，则下列结论正确的是（）A.有95%的把握认为两个变量独立B.有95%的把握认为两个变量不独立C.有5%的把握认为两个变量独立D.有5%的把握认为两个变量不独立某学校为研究学生数学成绩与物理成绩的相关性，随机抽取50名学生，计算得相关系数r=0.72，下列说法正确的是（）A.数学成绩与物理成绩呈负相关B.数学成绩与物理成绩的线性相关程度较弱C.若数学成绩提高1分，物理成绩约提高0.72分D.样本相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强已知一组数据的方差为s²，将每个数据乘以2后再加上3，则新数据的方差为（）A.s²B.2s²C.4s²D.4s²+3某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(50,4)，则尺寸在(48,54)内的概率约为（）（参考数据：P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545）A.0.6827B.0.8186C.0.9545D.0.9973下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A.f(x)=-x²+1B.f(x)=log₁/₂xC.f(x)=2ˣD.f(x)=1/x已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2某班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取1人，抽到女生的概率为（）A.2/5B.3/5C.1/2D.1/50已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=2，d=3，则S₅=（）A.20B.35C.40D.50函数f(x)=x³-3x²+2的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）某学校为了解学生课后作业时间，随机抽取100名学生，得到数据如下表：|作业时间（分钟）|[30,60)|[60,90)|[90,120)|[120,150]||------------------|----------|----------|-----------|------------||人数|15|35|30|20|则这组数据的中位数落在区间__________内。已知一组样本数据为：2，4，5，6，8，则该样本的平均数为__________，标准差为__________。某电商平台通过数据分析发现，用户消费金额y（元）与浏览时间x（分钟）的回归方程为$\hat{y}=5x+20$，若某用户浏览时间为15分钟，则预测消费金额为__________元。为研究性别与是否喜欢数学的关系，调查了100人，得到2×2列联表如下：||喜欢数学|不喜欢数学|总计||--------|----------|------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||总计|55|45|100|则χ²的值为__________（精确到0.01）。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）某中学为了解学生每天体育锻炼时间与学习成绩的相关性，随机抽取20名学生，得到如下数据（单位：小时/天，分）：|体育锻炼时间x|0.5|1.0|1.5|2.0|2.5||---------------|-----|-----|-----|-----|-----||学习成绩y|70|75|80|85|90|（1）画出散点图（无需作答，仅作提示）；（2）计算样本相关系数r，并判断x与y的线性相关程度；（3）求y关于x的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$。（12分）某工厂生产A、B两种产品，为研究产品质量与生产工艺的关系，随机抽取A产品100件，B产品80件，其中A产品合格90件，B产品合格70件。（1）完成2×2列联表：||合格|不合格|总计||--------|------|--------|------||A产品|||||B产品|||||总计||||（2）依据小概率值α=0.05，判断产品质量与生产工艺是否独立；（3）若从A、B产品中各随机抽取1件，求至少有1件合格的概率。（12分）某学校高二年级有1000名学生，期中考试数学成绩服从正态分布N(80,25)。（1）求数学成绩在(75,85)内的学生人数；（2）若将成绩前2.5%的学生评为“优秀”，求“优秀”分数线；（3）从成绩在(75,85)内的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在(80,85)内的概率。（12分）某公司为预测下一季度销售额，收集了2023年1月至2024年12月的销售额数据（单位：万元），其中2023年销售额的平均数为120，方差为100；2024年销售额的平均数为150，方差为144。（1）求2023-2024年所有销售额数据的平均数；（2）求2023-2024年所有销售额数据的方差；（3）若2023年销售额与时间t（月）的回归方程为$\hat{y}=5t+70$，预测2025年1月的销售额。（12分）已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1。（1）求f(x)的导数f'(x)；（2）求f(x)在区间[0,3]上的单调性；（3）求f(x)在区间[0,3]上的最大值与最小值。（12分）某电商平台通过大数据分析用户购买行为，发现用户购买金额y（元）与购物车商品数量x（件）的关系如下表：|x|1|2|3|4|5||---|---|---|---|---|---||y|50|80|120|150|180|（1）计算y与x的相关系数r，并判断相关性；（2）若采用非线性回归模型$\hat{y}=ax²+bx+c$，已知$\hat{a}=5$，$\hat{b}=20$，$\hat{c}=25$，预