2025年下学期初中数学案例式学习试卷

2025年下学期初中数学案例式学习试卷一、选择题（每题3分，共30分）下列二次函数中，图像开口向下的是（）A.y=2x²-3x+1B.y=-x²+5x-4C.y=0.5x²+2xD.y=3x²-4x+2若点A（-1，y₁）、B（2，y₂）、C（3，y₃）在抛物线y=-x²+2x+3上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（）A.y₁＞y₂＞y₃B.y₂＞y₁＞y₃C.y₃＞y₂＞y₁D.y₂＞y₃＞y₁某商店销售一种商品，每件成本为30元，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y=-2x+160，若要使每天销售利润最大，则销售单价应定为（）A.50元B.55元C.60元D.65元在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以点C为圆心，r为半径作圆，使⊙C与斜边AB相切，则r的值为（）A.2B.2.4C.2.5D.3如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为（）A.4B.6C.8D.12某公司今年1月份的产值为a万元，2月份比1月份增长了10%，3月份比2月份减少了5%，则3月份的产值是（）A.a(1+10%)(1-5%)万元B.a(1+10%-5%)万元C.a(1+10%)(1+5%)万元D.a(1+10%)(1-5%)²万元若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＜1B.m＞1C.m≤1D.m≥1如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为（）A.1.5B.2C.2.5D.3已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a＞0，b＞0，c＞0B.a＜0，b＞0，c＜0C.a＜0，b＜0，c＞0D.a＜0，b＞0，c＞0一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是（）A.3/10B.2/5C.3/5D.7/10二、填空题（每题4分，共20分）抛物线y=2x²-4x+3的顶点坐标是______。若关于x的方程x²+kx-6=0的一个根是2，则另一个根是______，k的值是______。如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，BC=6，则AB的长为______。已知点P（a，b）在反比例函数y=6/x的图像上，若点P关于y轴对称的点Q也在该函数图像上，则a+b的值为______。如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点，点F是边AD上的动点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处，当点B'恰好落在矩形ABCD的对称轴上时，AF的长为______。三、解答题（共70分）（8分）解一元二次方程：（1）x²-4x-1=0（2）(x+1)(x-3)=5（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，且位于第一象限，连接PA、PC，若△PAC的面积为S，求S关于点P横坐标x的函数关系式，并求出S的最大值。（10分）某商场计划购进A、B两种商品，已知购进A商品2件和B商品3件共需270元；购进A商品3件和B商品2件共需230元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商场准备用不超过1500元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进A商品多少件？（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E是BC的中点，连接DE。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=6，BC=8，求DE的长。（10分）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4）。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE=2DE时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是抛物线对称轴上的动点，当△PAQ为直角三角形时，求点Q的坐标。（12分）某企业研发了一种新产品，每件产品的成本为40元，销售单价定为x元（x＞40），根据市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y=-10x+1200。（1）设每月的销售利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？（3）为了扩大销售，企业决定开展促销活动，规定销售单价不低于成本价，且不高于80元，同时每月销售量不少于400件，求在此条件下每月销售利润的最大值。（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）连接AC、BC，点P是线段BC上的一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，设点P的横坐标为m，求PQ的长关于m的函数关系式，并求出PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，连接OQ、DQ，当△ODQ是等腰三角形时，求点Q的坐标；（4）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由。四、综合应用题（20分）某数学兴趣小组在探究二次函数的应用时，发现可以利用二次函数解决生活中的很多最值问题。（1）如图1，在一个直角墙角处，用长为20m的篱笆围成一个矩形花园ABCD，其中点A、D分别在两直角边上，设AB=xm，花园的面积为Sm²。①求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当x为何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？（2）如图2，该小组在研究抛物线的性质时，发现抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D。①求点A、B、C、D的坐标；②点P是抛物线上的一动点，连接PA、PB，当△PAB的面积等于△ABC面积的2倍时，求点P的坐标；③在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标和△QAC周长的最小值；若不存在，请说明理由。（3）如图3，该小组在测量学校旗杆高度时，在地面上C处测得旗杆顶部A的仰角为30°，向前走20m到达D处，测得旗杆顶部A的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留根号）。（4）如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P是边BC上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，设BP=x，△PBD的面积为S。①求S与x之间的函数关系式；②当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？通过以上案例探究，你对二次函数的应用有哪些新的认识？请结合具体问题谈谈你的体会。参考答案及评分标准（部分）一、选择题1-5：BDBCC6-10：AAABA二、填空题（1，1）-3，11002或4三、解答题（1）x₁=2+√5，x₂=2-√5（2）x₁=4，x₂=-2（1）y=-x²+2x+3（2）S=-x²+3x+3（0＜x＜3），当x=3/2时，S最大值=21/4（1）A商品每件30元，B商品每件70元（2）最多购进A商品20件（1）证明：连接OD、CD，证OD⊥DE即可（2）DE=4（1）y=-1/2x²+x+4（2）P（2，4）或（-4，-8）（3）Q（1，-1）或（1，3）或（1，5）或（1，-7）（1）w=-10x²+1600x-48000（2）当x=80时，w最大值=16000元（3）当x=80时，w最大值=16000元（1）y=-x²+4x+5，D（2，9）（2）PQ=-m²+5m（0＜m＜5），当m=5/2时，PQ最大值=25/4（3）Q（1，8）或（3，8）（4）存在，N（-3，0）或（1，0）或（7，0）（1）①S=-x²+20x（0＜x＜20）②当x=10时，S最大值=100m²（2）①A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）、D（1，4）②P（1+√7，-4）或（1-√