2025年下学期初中数学变式训练拓展试卷

2025年下学期初中数学变式训练拓展试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.基础题若二次函数$y=x^2-2x+m$的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A.$m>1$B.$m<1$C.$m=1$D.$m\geq1$2.变式题已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图像如图所示，对称轴为直线$x=1$，与x轴交于点$(-1,0)$，则下列结论错误的是（）A.$abc<0$B.$2a+b=0$C.$a+b+c=0$D.方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根为33.基础题下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形4.变式题在平面直角坐标系中，将点$A(2,3)$绕原点O顺时针旋转90°得到点$A'$，则点$A'$的坐标是（）A.$(3,-2)$B.$(-3,2)$C.$(-2,-3)$D.$(2,-3)$5.基础题若分式$\frac{x^2-4}{x+2}$的值为0，则x的值是（）A.2B.-2C.±2D.46.变式题若关于x的分式方程$\frac{2}{x-3}+\frac{x+m}{3-x}=2$有增根，则m的值为（）A.-1B.0C.1D.37.基础题已知$\triangleABC\sim\triangleDEF$，且相似比为2:3，则$\triangleABC$与$\triangleDEF$的面积比为（）A.2:3B.3:2C.4:9D.9:48.变式题如图，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90°$，$AC=6$，$BC=8$，点D在BC上，以AD为直径的圆与AB交于点E，则BE的长为（）A.3.6B.4.8C.5.2D.6.49.基础题一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$10.变式题在一个不透明的盒子中装有4个红球、3个白球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出两个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{5}{18}$C.$\frac{7}{36}$D.$\frac{11}{36}$二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.基础题分解因式：$x^3-4x=$_________．12.变式题若$x^2+mx+16$是一个完全平方式，则m的值为_________．13.基础题已知点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图像上，则$ab=$_________．14.变式题如图，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图像上，过点A作$AB\perpx$轴于点B，连接OA，若$\triangleOAB$的面积为3，则k的值为_________．15.基础题圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为_________$cm^2$（结果保留π）．16.变式题如图，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90°$，$AC=3$，$BC=4$，以点C为圆心，r为半径作圆，若圆C与斜边AB相切，则r的值为_________．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（8分）基础计算题（1）计算：$\sqrt{12}-3\tan30°+|1-\sqrt{3}|+(\pi-2025)^0$；（2）解不等式组：$\begin{cases}2x-1<5\\frac{x+1}{2}\geq1\end{cases}$18.（8分）变式计算题先化简，再求值：$\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x}{x-2}\right)\div\frac{x+2}{x-2}$，其中$x=\sqrt{2}-2$．19.（8分）基础几何证明题如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：BE=DF．20.（8分）变式几何探究题如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O是对角线AC的中点，点P在AD上，连接PO并延长交BC于点Q．（1）求证：$\triangleAPO\cong\triangleCQO$；（2）当点P在什么位置时，四边形AQCP是菱形？并求出此时菱形的面积．21.（9分）基础函数应用题某商店销售一种进价为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足$y=-10x+400$（$20\leqx\leq40$）．设销售这种商品每天的利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？22.（9分）变式函数综合题如图，一次函数$y=kx+b$的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像交于点$A(2,3)$和点$B(-3,n)$．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直接写出不等式$kx+b>\frac{m}{x}$的解集；（3）点P是x轴上一动点，当$PA+PB$的值最小时，求点P的坐标．23.（10分）基础统计与概率题为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的睡眠时间进行调查，将调查结果分为A（$t<6h$）、B（$6h\leqt<7h$）、C（$7h\leqt<8h$）、D（$t\geq8h$）四个等级，并绘制了如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1200名学生，估计该校睡眠时间不足7小时的学生有多少名？24.（12分）变式几何综合题如图，AB是$\odotO$的直径，C是$\odotO$上一点，过点C作$\odotO$的切线CD，交AB的延长线于点D，连接AC、BC．（1）求证：$\angleACD=\angleB$；（2）若$OA=2$，$\tan\angleACD=\frac{1}{2}$，求BD的长；（3）在（2）的条件下，点E是$\odotO$上一点，连接CE交AB于点F，若$CF=2EF$，求AF的长．参考答案及评分标准（仅供阅卷使用）一、选择题B2.C3.C4.A5.A6.C7.C8.A9.C10.B二、填空题$x(x+2)(x-2)$12.±813.614.615.15π16.$\frac{12}{5}$三、解答题17.（1）原式$=2\sqrt{3}-3\times\frac{\sqrt{3}}{3}+(\sqrt{3}-1)+1=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+1=2\sqrt{3}$；（2）解不等式①得$x<3$，解不等式②得$x\geq1$，∴不等式组的解集为$1\leqx<3$．原式$=\left[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x}{x-2}\right]\times\frac{x-2}{x+2}=\left(\frac{x+2}{x-2}-\frac{x}{x-2}\right)\times\frac{x-2}{x+2}=\frac{2}{x-2}\times\frac{x-2}{x+2}=\frac{2}{x+2}$，当$x=\sqrt{2}-2$时，原式$=\frac{2}{\sqrt{2}-2+2}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AE=CF，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF．20.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，∵点O是AC的中点，∴AO=CO，在△APO和△CQO中，$\begin{cases}\anglePAO=\angleQCO\AO=CO\\angleAOP=\angleCOQ\end{cases}$，∴△APO≌△CQO（ASA）；（2）当AP=CP时，四边形AQCP是菱形，设AP=CP=x，则PD=8-x，在Rt△CDP中，$CD^2+PD^2=CP^2$，即$6^2+(8-x)^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{4}$，∴AP=$\frac{25}{4}$，此时菱形AQCP的面积=AP×CD=$\frac{25}{4}\times6=\frac{75}{2}$．21.（1）$w=(x-20)y=(x-20)(-10x+400)=-10x^2+600x-8000$；（2）$w=-10(x-30)^2+1000$，∵$-10<0$，∴当$x=30$时，w有最大值，最大值为1000元．22.（1）将点A(2,3)代入$y=\frac{m}{x}$得$m=6$，∴反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$，将点B(-3,n)代入得$n=-2$，∴B(-3,-2)，将A(2,3)、B(-3,-2)代入$y=kx+b$得$\begin{cases}2k+b=3\-3k+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\b=1\end{cases}$，∴一次函数表达式为$y=x+1$；（2）$-3<x<0$或$x>2$；（3）作点B关于x轴的对称点B'(-3,2)，连接AB'交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，设直线AB'的表达式为$y=mx+n$，将A(2,3)、B'(-3,2)代入得$\begin{cases}2m+n=3\-3m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{5}\n=\frac{13}{5}\end{cases}$，∴直线AB'的表达式为$y=\frac{1}{5}x+\frac{13}{5}$，令$y=0$得$x=-13$，∴点P的坐标为(-13,0)．23.（1）本次调查共抽取学生$12\div20%=60$名；（2）C等级人数为$60-4-12-18=26$名，补全条形统计图（略）；（3）睡眠时间不足7小时的学生有$1200\times\frac{4+12}{60}=320$名．24.（1）证明：连接OC，∵CD是$\odotO$的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AB是$\odotO$的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ACO=∠B+∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC，∴∠ACD=∠B；（2）∵OA=2，∴AB=4，∵∠ACD=∠B，$\tan\angleACD=\frac{1}{2}$，∴$\tanB=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，设AC=x，则BC=2x，在Rt△ABC中，$AC^2+BC^2=AB^2$，即$x^2+(2x)^2=4^2$，解得$x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，∴AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∵∠ACD=∠B，∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，设BD=y，则AD=AB+BD=4+y，CD=2y，∵$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{4+y}{2y}=\frac{1}{2}$，解得$y=4$，∴BD=4；（3）过点E作EG⊥AB于点G，∵CF=2EF，设EF=k，则CF=2k，CE=3k，∵∠ACD=∠B，$\tan\angleACD=\frac{1}{2}$，∴$\tanB=\frac{1}{2}$，∵∠EFG=∠CFD，∠EGF=∠CDF=90°，∴△EFG∽△CFD，∴$\frac{EG}{CD}=\frac{FG}{FD}=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{2}$，∵CD=2y=8，∴EG=4，FG=$\frac{1}{2}FD$，设FD=m，则FG=$\frac{m}{2}$，OD=OB+BD=2+4=6，∴OF=OD-FD=6-m，OG=OF+FG