2025年下学期初中数学方程思想运用试卷

2025年下学期初中数学方程思想运用试卷一、选择题（每题3分，共30分）若关于x的方程2x+m=3与3x-2=2x+1的解相同，则m的值为（）A.-2B.-1C.1D.2某商店将一件商品按进价提高50%后标价，再打八折销售，售价为240元，设该商品进价为x元，则可列方程为（）A.0.8×(1+50%)x=240B.(1+50%)×0.8x=240C.x+50%×0.8=240D.0.8x+50%x=240已知方程组(\begin{cases}2x+y=5\x+3y=5\end{cases})的解为x=a，y=b，则a-b的值为（）A.1B.0C.-1D.2若关于x的一元二次方程x²-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A.2B.4C.8D.16某工程队计划修一条长1800米的公路，原计划每天修x米，实际每天多修20米，结果提前5天完成任务，根据题意可列方程为（）A.(\frac{1800}{x}-\frac{1800}{x+20}=5)B.(\frac{1800}{x+20}-\frac{1800}{x}=5)C.(\frac{1800}{x}-\frac{1800}{x-20}=5)D.(\frac{1800}{x-20}-\frac{1800}{x}=5)若分式方程(\frac{x}{x-1}-1=\frac{m}{(x-1)(x+2)})有增根，则m的值为（）A.1B.3C.1或3D.2或-3已知点A（m+1，2）与点B（3，n-1）关于x轴对称，则方程mx+n=0的解为（）A.x=-1B.x=1C.x=-2D.x=2某班同学分组参加活动，原计划每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原计划增加了2组，则该班共有学生（）A.48人B.50人C.52人D.54人若关于x的不等式组(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A.-2≤a<-1B.-2<a≤-1C.-1≤a<0D.-1<a≤0如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点B出发沿BC向点C匀速运动，速度为2cm/s，设运动时间为t秒（0<t<4），当△PBQ的面积为8cm²时，t的值为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题4分，共24分）若方程3xⁿ⁻¹+(m-2)y=4是关于x、y的二元一次方程，则m+n=______。某商品原价为a元，连续两次降价10%后的售价为______元（用含a的代数式表示）。已知关于x的方程x²-3x+k=0的一个根是1，则另一个根是______，k的值是______。分式方程(\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1})的解为x=______。一个两位数，个位数字比十位数字大3，若将个位数字与十位数字对调，则新两位数比原两位数的2倍小1，则原两位数为______。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点A出发沿AB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s，设运动时间为t秒（0<t<5），当PQ⊥AC时，t的值为______。三、解答题（共66分）17.（8分）解下列方程（组）：（1）4(x-1)-3(2x+1)=7（2）(\begin{cases}3x-2y=5\2x+3y=12\end{cases})18.（8分）解分式方程：(\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3)19.（8分）解一元二次方程：（1）x²-6x+8=0（配方法）（2）2x²-5x-3=0（公式法）20.（10分）某商场计划购进A、B两种型号的手机共100部，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，用50000元购进A型号手机的数量与用40000元购进B型号手机的数量相同。（1）求A、B两种型号手机的进价各是多少元？（2）若商场预计投入资金不超过36万元，且A型号手机不少于20部，问最多能购进A型号手机多少部？21.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，点E从点A出发沿AD方向向点D匀速运动，速度为1cm/s；同时点F从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s，设运动时间为t秒（0<t<3）。（1）用含t的代数式表示线段AE、CF的长度；（2）当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？（3）连接BE、DF，若△ABE与△CDF的面积之和为18cm²，求t的值。22.（10分）某公司开发一款新的电子产品，前期投入研发费用20万元，每生产一台该产品还需投入300元，设该产品的销售单价为x元（x>300），年销售量为y台，且y与x之间的函数关系为y=-10x+10000。（1）求该产品的年利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（年利润=年销售额-总投入）；（2）当销售单价为多少元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？（3）若公司希望该产品的年利润不低于25万元，求销售单价x的取值范围。23.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点B出发沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，设运动时间为t秒（0<t<3）。（1）用含t的代数式表示线段PC、CQ的长度；（2）设四边形APQB的面积为Scm²，求S与t之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得PQ=5cm？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接AQ、BP，当t为何值时，AQ⊥BP？参考答案及评分标准（部分示例）一、选择题A2.A3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.A10.B二、填空题412.0.81a13.2，214.215.2516.(\frac{15}{7})三、解答题（1）解：4x-4-6x-3=7……（2分）-2x=14……（3分）x=-7……（4分）（2）解：由①×3+②×2得：13x=39，x=3……（2分）代入①得：y=2……（3分）∴方程组的解为(\begin{cases}x=3\y=2\end{cases})……（4分）解：方程两边同乘(x-1)得：2-(x+2)=3(x-1)……（2分）2-x-2=3x-3……（3分）-4x=-3……（4分）x=(\frac{3}{4})……（5分）检验：当x=(\frac{3}{4})时，x-1≠0，∴原方程的解为x=(\frac{3}{4})……（8分）（1）解：x²-6x=-8……（1分）x²-6x+9=1……（2分）(x-3)²=1……（3分）x-3=±1，x₁=4，x₂=2……（4分）（1）设B型号手机进价为x元，则A型号手机进价为(x+500)元，依题意得：(\frac{50000}{x+500}=\frac{40000}{x})，解得x=2000，经检验x=2000是原方程的解，∴A型号手机进价为2500元，B型号为2000元。（2）设购进A型号手机a部，则B型号手机(100-a)部，依题意得：2500a+2000(100-a)≤360000，解得a≤32，∵a≥20，∴最多能购进A型号手机32部。（1）AE=tcm，CF=2tcm；（2）当AE=CF时，t=2t，解得t=0（不合题意，舍去），当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形，解得t=2；（3）S△ABE=(\frac{1}{2})×AB×AE×sin∠BAD，S△CDF=(\frac{1}{2})×CD×CF×sin∠BCD，∵AB=CD，∠BAD=∠BCD，∴(\frac{1}{2})×10×t×sin∠BAD+(\frac{1}{2})×10×2t×sin∠BAD=18，解得t=1。（1）W=(x-300)(-10x+10000)-200000=-10x²+13000x-3200000；（2）W=-10(x-650)²+42.5，当x=650时，W最大=42.5万元；（3）令W≥25，即-10x²+13000x-3200000≥250000，解得500≤x≤800，∵x>300，∴500≤x≤800。（1）PC=tcm，CQ=(6-2t)cm；（2）S=S△ABC-S△PCQ=24-(\frac{1}{2})×t×(6-2t)=t²-3t+24；（3）PQ²=PC²+CQ²=t²+(6-2t)²=5t²-24t+36=25，解得t₁=1，t₂=(\frac{19}{5})（不合题意，舍去），∴t=1；（4）通过相似三角形或斜率乘积为