吉林市中考数学二次函数和几何综合专题

吉林市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．（1）求点、点、点的坐标；（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究当为何值时，四边形是平行四边形；（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，点EF在直线l的同一侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小，我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．（1）（实践运用）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如图2．①求该抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值．（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此时点Q的坐标．3．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）．（1）求抛物线的解析式及点坐标；（2）设该抛物线的顶点为点，则______；（3）若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点．求长的最大值及点的坐标；（4）在（3）的条件下：当取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、点、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线经过三点，该抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线L的表达式和点D的坐标；（2）抛物线与抛物线L关于直线对称，P是抛物线L的B、M段上的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线与点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形为正方形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5．综合与探究如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），其中，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E．点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，过点P作直线于点F，求的最大值；（3）如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE．（1）求直线AC的表达式；（2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，EC＝ED？（3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线的图象交x轴于、B两点，顶点为点，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作的角平分线，交对称轴于交点D，交抛物线于点E，求的长；（3）如图2，在（2）的条件下，点F是线段上的一动点（点F不与点O和点B重合，连接，将沿折叠，点B的对应点为点，与的重叠部分为，请探究，在坐标平面内是否存在一点H，使以点D、F、G、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），①试确定抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM≥3，求M点横坐标的取值范围；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于点D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．9．综合与探究如图，已知直线与抛物线分别相交于、两点，，，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合）．（1）求抛物线的解析式及直线的解析式；（2）求的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标．（4）如果对称轴上有一动点，在平面内是否存在点，使、、、四点构成矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由10．小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而，且；对于函数，当时，随的增大而，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而．（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：012301综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是．二、中考几何压轴题11．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB和CD的中点．图18.2.12求证：四边形EHFG是平行四边形．证明：连结EF交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．又∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF．又∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．又∵∠AOE＝∠COF,∴．请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连结DE、EF，将绕点O旋转180°得到，若四边形DEFG的面积为8，则的面积为．（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为．12．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长13．某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决：[数学理解](1)点是线段垂直平分线上的一点，则的值为；[拓展延伸](2)在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且，则点的坐标为．(3)经小组探究发现，如图，延长线段到点，使，以点为因心，长为半径作园，则对于上任一点，都有，请你证明这个结论：[问题解决](4)如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河从码头到码头，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河边上确定码头的位置．(请画出示意图并简要说明理由)14．问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝°．类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．15．（问题呈现）下面是华师版八年级下册数学教材第121页的第1题，请结合图①完成这道题的证明．如图①，点是正方形的边上的一点，点是的延长线上的一点，且．求证：．（拓展探究）如图②，在中，，，，垂足为点，点是边上的动点，点是边上的一点，且．（1）直接写出四边形的面积．（2）若，则四边形的周长为________．16．（1）（操作）如图，请用尺规作图确定圆的圆心，保留作图痕迹，不要求写作法；（2）（探究）如图，若（1）中的圆的半径为2，放入平面直角坐标系中，使它与轴，轴分别切于点和，点的坐标为，过点的直线与圆有唯一公共点（与不重合）时，求点的坐标；（3）（拓展）如图3，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点运动，同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向上运动，设运动时间为（），过点，，三点的圆，交第一象限角平分线于点，当为何值时，有最小值，求出此时，并探索在变化过程中的值有变化吗？为什么？17．点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．（1）发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是；（2）探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长．18．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝°，线段BD、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长．19．（发现问题）（1）如图，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是．（2）将图中的绕点旋转到图的位置，直线和直线交于点①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．②图中的度数是．（3）（探究拓展）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、之间的数量关系．20．如图1，在中，，点P在斜边上，点D､E､F分别是线段､､的中点，易知是直角三角形．现把以点P为中心，顺时针旋转，其中．连接､､．（1）操作发现如图2，若点P是的中点，连接，可以发现____________；（2）类比探究如图3，中，于点P，请判断与的大小，结合图2说明理由；（3）拓展提高在（2）的条件下，如果，且，在旋转的过程中，当以点C､D､F､P四点为顶点的四边形与以点B､E､F､P四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段､､的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．C解析：（1）（2）当，四边形是平行四边形（3）存在，点的坐标为，，【分析】（1）根据函数解析式列方程即可；（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM的长度，从而可求解;（3）设Q点的坐标为,分两种情况讨论：当时，由勾股定理可得：，当时，由勾股定理可得：，可解出的值.【详解】（1）令，则，C点的坐标为（0,2）；令，则解得，点A为（-1,0）；点B为（4,0）∴（2）如图1所示：点C与点D关于轴对称，点,设直线BD的解析式为，将代入得：解得∴直线BD的解析式为：∵∴当时，四边形是平行四边形设Q点的坐标为，则∴解得（不合题意，舍去）∴当，四边形是平行四边形（3）存在，设Q点的坐标为∵是以BD为直角边的直角三角形∴当时，由勾股定理可得：即解得（不合题意，舍去）∴Q点的坐标为当时，由勾股定理可得：即解得Q点的坐标为综上所述：点的坐标为，，.【点睛】本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.2．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为3；（2）点Q的坐标为（1，﹣6）．【详解】分析：（1）①由点A、B的坐标可将抛物线的解析式变形为交点式，代入点C的坐标即可求出a值，此题得解；②由点A、B关于抛物线的对称轴对称可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，根据抛物线的解析式可求出其对称轴为直线x=1，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出过点B、C的直线的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出点P的坐标，再利用勾股定理求出线段BC的长即可；（2）连接AC并延长AC交抛物线对称轴与点Q，此时|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值为线段AC的长（三角形两边之差小于第三边），由点A、C的坐标利用待定系数法可求出过点A、C的直线的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出点Q的坐标，此题得解．详解：（1）①∵抛物线与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．∵抛物线过点C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴该抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．②∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，如图3所示．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x=1．利用待定系数法可求出过点B、C的直线为y=x﹣3，当x=1时，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为BC==3．（2）连接AC并延长AC交抛物线对称轴与点Q，此时|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值为线段AC的长，如图4所示．利用待定系数法可求出过点A、C的直线为y=﹣3x﹣3，当x=1时，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴点Q的坐标为（1，﹣6）．点睛：本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质、二次函数解析式的三种形式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）①根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；②由点A、B关于抛物线的对称轴对称，找出当PA+PC的值最小时点P的位置；（2）利用三角形的三边关系找出使|QA﹣QC|的值最大时点Q的位置．3．A解析：（1），；（2）3；（3）的最大值为，点的坐标为；（4）存在，；；；【分析】（1）由直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（-1，0）、C（0，-3），将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c，列方程组求b、c的值及点B的坐标；（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的坐标，推导出S△BCH=FH•OB，可求出△BCH的面积；（3）设点E的横坐标为x，用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标；（4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得D（，0），M（，-），由勾股定理求出OM=BM=，由等腰三角形PBM的腰长为或求出OP的长即可得到点P的坐标．【详解】解：（1）∵直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，当时，∴当时，∴∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，∴∴∴抛物线的解析式是：当时，解得：∴（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．设直线BC的解析式为y=kx-3，则3k-3=0，解得k=1，∴y=x-3；∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线的顶点H（1，-4），当x=1时，y=1-3=-2，∴F（1，-2），∴FH=-2-（-4）=2，∴．故答案为：3．（3）由（1）知，直线的解析式是：设，则∴当时，的最大值∴点的坐标为（4）存在，如图3，由（2）得，当ME最大时，则D（，0），M（，−），∴DO=DB=DM=；∵∠BDM=90°，∴OM=BM=．点P1、P2、P3、P4在x轴上，当点P1与原点O重合时，则P1M=BM=，P1（0，0）；当BP2=BM=时，则OP2=，∴P2（，0）；当点P3与点D重合时，则P3M=P3B=，∴P3（，0）；当BP4=BM=时，则OP4=，∴P4．

综上所述，．【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标．4．D解析：（1），点D的坐标为；（2）存在，．【分析】（1）将三点坐标代入，利用待定系数法可求出抛物线L的表达式，再由抛物线对称轴公式可求出点D的坐标；（2）根据题意可求得抛物线的表达式，设点P的横坐标为m，则可由已知分别表示出点Q、M、N的坐标，利用正方形的性质则可列出方程，求解后即可得出点P的横坐标．【详解】解：（1）将代入得：，解得，∴该抛物线L的表达式为：；∵抛物线的顶点为D，∴当时，，∴点D的坐标为；（2）存在；如图所示：∵抛物线与抛物线L关于直线对称，，∴，设抛物线的表达式为，将代入得，∴抛物线的表达式为设点P的横坐标为m，∵PQ∥y轴，则Q的横坐标为m，∵点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N．∴M、N的横坐标为5－m．∴PM＝5－m－m＝5－2m．∵点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为，∴PQ＝（）－（）＝，当PM＝PQ时，四边形为正方形，∴解得，∵P是抛物线L的B、M段上的一点，∴m＜5－m，解得m＜．∴．∴点P的横坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．5．F解析：（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）存在，点P的坐标为：或【分析】（1）把点的坐标分别代入解析式，转化为方程组求解即可；（2）设点P的横坐标为m，用含有m的代数式表示PF，转化为二次函数最值问题求解即可；（3）利用构造平行线法，三角形全等法，构造出符合题意的角，后利用交点思想求解即可．【详解】解：（1）抛物线与x轴交于两点，解得抛物线的表达式为．（2）∵抛物线的表达式为．对称轴为直线，点E的坐标为．令，代入抛物线的表达式，得，∴点C的坐标为．在中，，．．设直线的表达式为，由经过，解得∴直线的表达式为．如答图，过点P作轴，交于点G．设点P的横坐标为m，则．轴，，．．．．当时，．（3）存在，理由如下：①在x轴的正半轴上取一点E，使得OA=OE=1，则点E（1,0），∵OA=OE，∠AOC=∠EOC=90°，CO=CO，∴△AOC≌△EOC，∴∠ACO=∠ECO，过点B作BP∥CE，交抛物线y=于点P，∴∠PBC=∠ECB，∵C（0，3），B（3，0），∴OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，∵∠OCB=∠ECB+∠ECO=∠PBC+∠ACO，∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，设直线CE的解析式为y=kx+3，把点E（1,0）代入解析式，得k+3=0，解得k=-3，∴直线CE的解析式为y=-3x+3，∵BP∥CE，∴设直线BP的解析式为y=-3x+b，把点B（3,0）代入解析式，得-9+b=0，解得b=9，∴直线BP的解析式为y=-3x+9，∴-3x+9=，解得x=2，或x=3（与B重合，舍去）当x=2时，y=-3x+9=3，∴点P的坐标为（2，3）；②在y轴的正半轴上取一点Q，使得OA=OQ=1，则点Q（0,1），∵OA=OQ，∠AOC=∠QOB=90°，CO=BO，∴△AOC≌△QOB，∴∠ACO=∠QBO，延长BQ交抛物线y=于点P，∵∠ABC=∠PBC+∠QBO，∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，设直线BQ的解析式为y=mx+1，把点B（3,0）代入解析式，得3m+1=0，解得m=-，∴直线BQ的解析式为y=-x+1，∴-x+1=，解得x=，或x=3（与B重合，舍去）当x=时，y=-x+1=，∴点P的坐标为；综上所述，存在这样的点P，且点P的坐标为：或．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，二次函数的最值，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，准确表示PF，利用构造平行线，三角形全等，确定满足条件的P点位置是解题的关键．6．A解析：（1）直线AC的表达式为y＝x+4；（2）运动时间为0或（4﹣）秒时，EC＝ED；（3）【分析】（1）由抛物线的解析式中x，y分别为0，求出A，C的坐标，再利用待定系数法确定直线AC的解析式；（2）设出运动时间为t秒，然后用t表示线段OP，CE，AP，DE的长度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代换求出△EBP的周长为AB+BE，由于AB为定值，BE最小时，△EBP的周长最小，根据垂线段最短，确定点E的位置，解直角三角形求出OP，点P坐标可求．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于A，B，交y轴于点C，∴当x＝0时，y＝4．∴C（0，4）．当y＝0时，﹣x2﹣3x+4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴解得：∴直线AC的表达式为y＝x+4．（2）设点P的运动时间为t秒，∵点P以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，∴OP＝t．∴P（﹣t，0）．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4．∴Rt△AOC为等腰直角三角形．∴∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝OA＝4．∵DP⊥x轴，在Rt△APE中，∠CAP＝45°，∴AP＝PE＝4﹣t，AE＝AP＝（4﹣t）．∴EC＝AC﹣AE＝t．∵E，P的横坐标相同，∴E（﹣t，﹣t+4），D（﹣t，﹣t2+3t+4）．∴DE＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．∵EC＝DE，∴﹣t2+4t＝t．解得：t＝0或t＝4﹣．∴当运动时间为0或（4﹣）秒时，EC＝ED．（3）存在．P的坐标为（﹣，0）．在Rt△AEP中，∠OAC＝45°，∴AP＝EP．∴△AEB的周长为EP+BP+BE＝AP+BP+BE＝AB+BE．∵AB＝5，∴当BE最小时，△AEB的周长最小．当BE⊥AC时，BE最小．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，AB＝5，BE⊥AC，∴PB＝AB＝．∴OP＝PB﹣OB＝．∴P（﹣，0）．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．7．D解析：（1）；（2）；（3）存在，；；．【分析】(1)利用顶点式，求出抛物线的解析式即可；(2)求出点D的坐标，再求出直线BE的解析式，构建方程组确定点E的坐标，即可得出结论；(3)分三种情形：当时，点G与点C重合，再利用平移的性质求解，当时，且点G在上时，求得；，即可得出结论，当，且点G在上时，利用平移的性质求解即可．【详解】（1）∵抛物线的顶点C，∴设抛物线的解析式为，把A代入可得，∴抛物线的解析式为；（2）如图1中，设抛物线的对称轴交轴于F，令则解得：，，∴，∴，∵BE平分，∴，∴，∴直线BD的解析式为，由，解得，或，∴，∴；（3）①如图所示：当时，∵抛物线的顶点C，点H在第三象限,点与点C重合，此时；，由平移性质得，②如图所示：当且点在上时，则点H在第三象限,此时；，由平移性质得③如图所示：当且点在上时，点H在第三象限,同理可得：，，，由平移性质得，综上所述，满足条件的点H的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数的应用，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．8．A解析：（1）①，②；（2）；（3）四边形OABC是矩形，证明见详解．【分析】（1）利用顶点P的横坐标求出b=-2,然后把b=-2和B点的坐标代入求出抛物线的解析式；（2）先求出A点坐标，然后得出直线AB的解析式，设M点坐标为（x，x2-2x+3），根据S△ABM=3列出方程，并解方程，从而得出M点坐标，再根据S△ABM≥3求出M横坐标的范围即可；（3）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C点坐标，然后求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据∠AOC=90得出四边形OABC是矩形.【详解】解：（1）①依题意,,解得b=-2，将b=-2及点B(3,6)的坐标代入抛物线解析式，得，解c=3，所以抛物线的解析式为，②当，解得，当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，∴；（2）∵抛物线与y轴交于点A，∴A(0,3)，∵B(3,6)，可得直线AB的解析式为，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N,则N(x,x+3).(如图)，∴，∴，解得，∴点M的坐标为(1,2)或(2,3)，∵S△ABM≥3，；（3）结论是：四边形OABC是矩形，理由如下：如图，由PA=PO,OA=c,可得，∵抛物线的顶点坐标为，∴，∴，∴抛物线，A（0，），P（，）,D（，0），∴直线OP的解析式为，∵点B是抛物线与直线的图象的交点，令，解得，可得点B的坐标为（-b，），由平移后的抛物线经过点A,可设平移后的抛物线解析式为，将点D(，0)的坐标代入，得，∴平移后的抛物线解析式为，令y=0,即，解得，依题意,点C的坐标为（-b，0），∴BC=，∴BC=OA，又BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形，∵∠AOC=90，∴四边形OABC是矩形．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高，解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化．9．A解析：（1），；（2）6；（3）存在点M使周长最短，其坐标为；（4）存在，，，，【分析】（1）把、两点的坐标分别代入抛物线和直线中，解之即可；（2）由图可知，，所以只需求出AC，OB的长即可，因为C点为抛物线与x轴的一个交点，令y=0即可求出C点坐标，根据已知可得A点坐标，从而得到AC的长，根据已知得到B点坐标，可得OB的长，从而求出的面积；（3）由题意知，A、C关于对称轴对称，则可知，故当、、三点在同一条直线上时最小，此时的周长最小，连接交对称轴于点，则即为满足条件的点，设直线的解析式为，将B，C的坐标代入即可求出该解析式，令x=-1，即可求出点M的坐标；（4）在平面内是否存在点，使、、、四点构成矩形，求N点坐标时，需分情况讨论，当HB⊥AB时，根据互相垂直的两直线的斜率之积为-1，互相平行的两直线的斜率相等求出直线HB，直线HN，直线AN的解析式，根据N点为直线HN和直线AN的交点，联立方程组解之即可；同理可得当HA⊥AB时，N点的坐标；而当AB为对角线时，可得HA⊥AB，从而可求出直线AH的解析式，设H点坐标为，根据△AHB为直角三角形，利用勾股定理求出H点的坐标，然后在利用互相垂直的两直线的斜率之积为-1，互相平行的两直线的斜率相等求出N点的坐标．【详解】解：（1）把、两点的坐标分别代入得，解得，抛物线解析式为．把、两点的坐标分别代入得，解得，直线的解析式为．（2）由（1）得，抛物线解析式为，令得，解得，，，∵，∴，∵，∴OB=3，；（3），抛物线的对称轴为，、关于对称轴对称，，，当、、三点在同一条直线上时最小，此时的周长最小连接交对称轴于点，则即为满足条件的点，设直线的解析式为，直线过点，，，解得，直线的解析式，当时，，，存在点使周长最短，其坐标为．（4）存在，①当HB⊥AB时，如图所示由（1）得直线AB的解析式为，∵HB⊥AB，∴设直线HB的解析式为，将B(0,-3)代入得，∴直线HB的解析式为，当x=-1时，y=×(-1)-3=，∴H点的坐标为，∵四边形ABHN为矩形，∴HN∥AB，AN∥HB，∴设直线HN的解析式为y=3x+m，把H点坐标代入，得3×(-1)+m=，解得m=,∴直线HN的解析式为y=3x+,∴设直线AN的解析式为，把A点坐标代入，得，解得n=,∴设直线AN的解析式为，∵N点为直线HN和直线AN的交点，∴解得，∴N点坐标为．②当HA⊥AB时，如图由（1）得直线AB的解析式为，∵HA⊥AB，∴设直线HA的解析式为，将A(1，0)代入得+b=0，解得b=，∴直线HA的解析式为，当x=-1时，，∴H点的坐标为，∵四边形ABNH是矩形，∴AB∥NH，BN∥AH，∴设直线HN的解析式为y=3x+m，把H点坐标代入，得，解得m=，∴设直线HN的解析式为y=3x+，∴设直线BN的解析式为，把B点坐标代入，得n=-3，∴设直线BN的解析式为，∵N点为直线HN和直线BN的交点，∴解得，∴N点坐标为．③当AB为对角线时，如图设H点坐标为，∵四边形AHBN为矩形，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∴AH2+BH2=AB2，即，解得，∴H点坐标为(-1,-1)，(-1,-2)，（a）当H点坐标为(-1,-1)时，设直线AH的解析式为y=kx+b，把A，H点坐标代入，得解得，∴直线AH的解析式为，∵AH∥BN，∴设直线BN的解析式为，把B点坐标代入，得b=-3，∴直线BN的解析式为，∵AN⊥BN，∴设直线AN的解析式为y=-2x+m，把A点坐标代入，得-2+m=0，解得m=2，∴直线AN的解析式为y=-2x+2，∵N点为直线AN与BN的交点，∴解得，∴N点坐标为(2,-2);（b）当H点坐标为(-1,-2)时，设直线AH的解析式为y=kx+b，把A，H点坐标代入，得解得，∴直线AH的解析式为y=x-1，∵AH∥BN，∴设直线BN的解析式为y=x+n，把B点坐标代入，得n=-3，∴直线BN的解析式为y=x-3，∵AN⊥BN，∴设直线AN的解析式为y=-x+m，把A点坐标代入，得-1+m=0，解得m=1，∴直线AN的解析式为y=-x+1，∵N点为直线AN与BN的交点，∴解得，∴N点坐标为(2,-1)．综上所述，存在点，使、、、四点构成矩形，N点坐标为．【点睛】本题为二次函数的综合运用，涉及待定系数法，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积等知识．在（2）中求得点C是解题的关键，在（3）中确定出M点是解题的关键，在（4）中分情况讨论是解题的关键．10．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，在函数中，∵,∴函数在中，随的增大而减小；∵，∴对称轴为：，∴在中，随的增大而减小；综合上述，在中，随的增大而减小；故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；由（1）可知在中，随的增大而减小；∴在中，有当时，，∴m的最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．二、中考几何压轴题11．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：．【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先根据旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而解析：教材呈现：见解析；探究：16；拓展：．【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先根据旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而可得，然后根据三角形中位线定理即可得；拓展：先根据正方形的性质和面积可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得，最后利用平行四边形的性质即可得．【详解】教材呈现：补充完整证明过程如下：，又∵，∴，即，∴四边形EHFG是平行四边形；探究：如图，连接OE，由旋转的性质得：，点O是AC的中点，点D是AO的中点，点F是CO的中点，，由等底同高得：，，又点E是AB的中点，点O是AC的中点，是的中位线，，故答案为：16；拓展：如图，过点E作于点O，四边形ABCD是面积为16的正方形，，，，，点E是AB的中点，，在和中，，，，即，解得，，由教材呈现可知，四边形EHFG是平行四边形，则四边形EHFG的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．12．（1）BE＝DG，BE⊥DG，见解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，见解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．【详解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，当点E在线段DG上时，同理可求AE＝5﹣5，故答案为：5﹣5；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝6；如图，当点E在线段DG上时，同理可求：BE＝16，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝8，综上所述：MN为6或8，故答案为：6或8．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．13．（1）1；（2）或；（3）见解析；（4）以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置，画出示意图见解析；简要理由见解析．【分析】（1）直接利用垂直平分线的性质证明即可；（2）根据求解析：（1）1；（2）或；（3）见解析；（4）以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置，画出示意图见解析；简要理由见解析．【分析】（1）直接利用垂直平分线的性质证明即可；（2）根据求出的长，再根据，即可求出点的坐标；（3）连接，根据推出，从而推出，证明，即可证明；（4）在线段上作点，使，在线段的延长线上作点，使，以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置.同（3）证明即可证明结论.【详解】（1）∵点是线段垂直平分线上的一点，∴，∴，故答案为：1；（2）∵∴，∵，∴，∴点的坐标为或，故答案为：或；（3）如图，连接，∵，，∴，∵的半径为，∴，∴.∴，∴.∵，∴，∴.∴.（4）如图，在线段上作点，使，在线段的延长线上作点，使.以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置.简要理由:由于水路速度为陆路速度的，且时间相等，所以水路的距离必为陆路距离的，即需，连接，同(3)可证，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴又∵，由此，得.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，准确的理解题意画出图形和作出正确的辅助线是解题的关键.14．（1）60；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可证明≌，继而得出结论；解析：（1）60；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可证明≌，继而得出结论；（2）也可以通过证明≌，得出结论，和（1）的思路完全一样；（3）当∠ABC＝∠AMN时，∽，利用相似的性质得到，又根据∠BAM＝∠CAN，证得∽，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵、是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在和中，，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN；∵是等边三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）结论∠ACN＝60°仍成立．理由如下：∵、都是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°．（3）添加条件：∠ABC＝∠AMN．理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等的条件，利用全等的性质证明结论．15．问题呈现：证明见解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】问题呈现：由同角的余角相等可知，，由正方形的性质知，，，则利用证可得，可得；拓展探究：（1）根据，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，解析：问题呈现：证明见解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】问题呈现：由同角的余角相等可知，，由正方形的性质知，，，则利用证可得，可得；拓展探究：（1）根据，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，可求得，根据证可得，可得四边形的面积=，据此求解即可；（2）过点作交于点，根据是等腰直角三角形，，是斜边上的中垂线，的角平分线，可得：也是等腰直角三角形，，可得，再根据，可求出，根据，则四边形的周长为：，据此求解即可．【详解】证明：，，，，，在与中，，．【拓展探究】（1）在中，，，是等腰直角三角形，∴又，是斜边上的中垂线，的角平分线，，；又∵∴在和中，，，∴四边形的面积=（2）如下图示，过点作交于点∵由（1）可知，是等腰直角三角形，，是斜边上的中垂线，的角平分线，则可得：也是等腰直角三角形，，∴，若，则∴∵∴，，则四边形的周长为：．故答案是：．【点睛】本题综合考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，已知正弦，正切求边长，解直角三角形等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．16．（1）见解析；（2）；（3）当时，有最小值，此时；的值不变，见解析【分析】（1）在圆上任意取两条弦AC、BC，作AC、BC的垂直平分线，则它们的交点为P点；（2）由题意得与相切于点，根据切线长解析：（1）见解析；（2）；（3）当时，有最小值，此时；的值不变，见解析【分析】（1）在圆上任意取两条弦AC、BC，作AC、BC的垂直平分线，则它们的交点为P点；（2）由题意得与相切于点，根据切线长定理和勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解；（3）根据勾股定理得，得到当时，有最小值，即有最小值．四边形是正方形，即可求得此时，根据利用三角形面积公式，即可求解．【详解】（1）如图，点P即为所作；（2）如图，过点作轴于点，连接，，由题意得：与坐标轴相切，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，则，由题意得与相切于点，∴，设，在中，，，，，由勾股定理得：，即：，解得，∴，由题意可得，∴，即：，∴，，则∴；（3）如图，在中，，，，则，当时，有最小值，即有最小值．此时，，∵平分第一象限，∴∠EON=∠EOM=45，∴△EON△EOM，∴∠ENO=∠EMO，∵四边形是圆内接四边形，∴∠ENO+∠EMO=180，∴∠ENO=∠EMO=90，又OM=ON，∴四边形是正方形，∴；在这个变化过程中，没有变化，理由如下：∵平分第一象限，∴是等腰直角三角形，∴则，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形，圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数最值的求解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，学会利用参数构建方程解决问题．17．(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由见解析；(3)或．【分析】(1)证明，得，则，则证，得出即可；(2)证，则，由矩形的性质得出，证，即可得出；(3)根据矩形的性质和已知得，则解析：(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由见解析；(3)或．【分析】(1)证明，得，则，则证，得出即可；(2)证，则，由矩形的性质得出，证，即可得出；(3)根据矩形的性质和已知得，则，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质进行解答即可．【详解】解：(1)，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，，∴四边形ABCD是正方形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，