2024-2025学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市东城区2024-2025学年高二上学期期末统一检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线l过，两点，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，直线的斜率，∴直线l的倾斜角为.故选：A.2.已知向量，，若，则实数k的值为（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】因，，所以，所以，.故选：D.3.已知直线，，若，则实数a的值为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，解得.故选：C.4.已知抛物线的准线方程为，则p的值为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由题意得，抛物线的准线方程为，∴，解得.故选：B.5.在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况：43444545464849495051设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（）A. B.且C.且 D.且【答案】A【解析】由题意得，，，∴.故选：A.6.如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（）A.5 B. C.1 D.【答案】D【解析】由条件可知，平面，平面，所以，，设点到平面的距离为，由，所以，解得：.故选：D.7.做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记7根横梁的长度从上到下成等差数列，由题意得，，，∴，，故，，∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是.故选：B.8.设坐标原点为O，抛物线的焦点为F，M为线段的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若的周长为8，则p的值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】抛物线的方程为，，，M为线段的中点，，过点且垂直于轴的直线为，点的横坐标为，点在抛物线上，根据抛物线的定义，，由题意可知，，的周长为8，，即，.故选：B.9.已知点，，直线，记点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意得，.由得，，令，则，满足，但，故充分性不成立；令，满足，但，，，故必要性不成立.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.10.在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则这样的圆C的面积（）A.有最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值C.无最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值【答案】C【解析】如图，圆C与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于两点（点在点的上方），设，则线段中点坐标为，线段中点坐标为，∵，∴，由得，，整理得，即，由得，，∴圆的半径，即圆的半径无最大值，有最小值1，∴圆C的面积无最大值，有最小值.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.11.等比数列满足：，，则数列的前5项和是____________．【答案】11【解析】设等比数列的首项为，公比为，所以，所以，，所以.12.双曲线的离心率为____________，渐近线方程为____________．【答案】【解析】由题可得双曲线的焦点在x轴上，且，所以双曲线的离心率为，渐近线方程为.13.已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为____________．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，，，∴，∴，∴可以构成空间的单位正交基底，设，则，∵从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，∴与中的任意两个向量均不共面，根据平面向量基本定理可得均不为零，∴向量的坐标可以为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.14.某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为____________米；正四棱锥的侧面积为____________平方米．【答案】【解析】设平面和平面交于过点的直线，因为，平面，平面，所以平面，平面，且平面平面，所以，取的中点，连结，，，即，，因为平面平面，所以，且，，所以，所以点到的距离为；正四棱锥的侧面积为.15.关于曲线，，给出下列四个结论：①对任意，曲线与直线没有公共点；②对任意，曲线上的点的横坐标的取值范围为R；③对任意，曲线为轴对称图形；④当为奇数时，曲线与轴、轴所围成区域的面积为，则．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①③④【解析】对①：令，则，故曲线与直线没有公共点，故①正确；对②：当时，有，则，故②错误；对③：若为奇数，则对点，有，故对任意点在曲线上，点也在曲线上，此时曲线关于直线对称，若为偶数，则对点，有，故对任意点在曲线上，点也在曲线上，此时曲线关于直线对称，故③正确；对④：当为奇数时，令，则y=-1，令，则，故曲线与轴、轴分别交于点1,0、，故即为曲线在的部分与轴、轴所围成图形面积，对曲线与上横坐标相同的点、，当x∈0,1时，有，则，有，则，则，即当x∈0,1时，，即，即在x∈0,1，曲线与曲线上横坐标相同的点，曲线上的点的纵坐标的绝对值都小于曲线上的点的纵坐标的绝对值，且两者的绝对值都小于，则，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据该频率分布直方图，求x的值；（2）已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间内的户数；（3）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费．解：（1）由该频率分布直方图，得．（2）在样本中，网费落在区间内的频率为，所以估计该小区中网费落在区间内的户数约为户．（3）由（1）可知，这六个组频率分别为0.06，0.12，0.22，0.30，0.18，0.12．因为同组中每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该样本的平均值约为．所以估计该小区的户均网费为189元．17.已知圆与x轴相切．（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长．解：（1）配方得，由此可得圆心坐标为．因为圆C与x轴相切，所以圆心到x轴的距离为．所以半径长为2．（2）因为直线与圆C交于A，B两点，所以圆心C到直线l距离为．由（Ⅰ）可知，所以．18.如图，在长方体中，，．（1）求证：平面；（2）若点P是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：由题意得，四边形为正方形，∴．∵平面，平面，∴，∵，平面，，∴平面．（2）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，．∴，，．由（1）得，是平面的一个法向量．设平面的一个法向量为，则即令，得，，故．设平面与平面的夹角为，则．∴平面与平面的夹角的余弦值为．19.已知数列满足：，．（1）若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和；（2）若数列是等比数列，求的通项公式．解：（1）因为数列是等差数列，所以．所以．所以，即，解得．所以数列的通项公式，即，所以数列的前n项和，即．（2）因为数列是等比数列，所以．由，得，即，解得．所以．数列的通项公式为．20.已知椭圆的离心率为，并且经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点M是线段的中点，直线过点M，且与直线l垂直．记直线与y轴的交点为N．请问：是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意椭圆的离心率为，并且经过点,可知，，所以．所以．所以椭圆C的标准方程为．（2）设，，．联立，整理得，，．从而，．．，因为M是线段的中点，所以，则，故．直线的方程为，即．令，得，则，所以．欲使，只需，，解得，满足要求．所以，故存在满足要求的直线l，其方程为，即或．21.设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质．（1）当时，若，，求，的值；（2）已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”；（3）给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值．解：（1）因为，，由定义可知：，．（2）①若集合具有性质，任取中不同元素，，令，，有．由的定义可知，对任意正整数n，都有，所以有，．②若对中任意两个不同的元素，，都有，，那么．综上，结论成立．（3）设具有性质的集合的元素个数最大值为，下证：，，其中n为偶数．当时，则，由于，，，则，，中至多有一个属于，当时，元素个数取到最大值为2．即．一方面，若集合，分别具有性质，，令集合，其中，对中任意两个不同的元素，，都有，由于，因此．另一方面，设具有性质的集合元素个数取到最大值为，设和为的两个不同元素，则有．因此，，由于，因此．综上，，n为偶数．所以．北京市东城区2024-2025学年高二上学期期末统一检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线l过，两点，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，直线的斜率，∴直线l的倾斜角为.故选：A.2.已知向量，，若，则实数k的值为（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】因，，所以，所以，.故选：D.3.已知直线，，若，则实数a的值为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，解得.故选：C.4.已知抛物线的准线方程为，则p的值为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由题意得，抛物线的准线方程为，∴，解得.故选：B.5.在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况：43444545464849495051设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（）A. B.且C.且 D.且【答案】A【解析】由题意得，，，∴.故选：A.6.如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（）A.5 B. C.1 D.【答案】D【解析】由条件可知，平面，平面，所以，，设点到平面的距离为，由，所以，解得：.故选：D.7.做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记7根横梁的长度从上到下成等差数列，由题意得，，，∴，，故，，∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是.故选：B.8.设坐标原点为O，抛物线的焦点为F，M为线段的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若的周长为8，则p的值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】抛物线的方程为，，，M为线段的中点，，过点且垂直于轴的直线为，点的横坐标为，点在抛物线上，根据抛物线的定义，，由题意可知，，的周长为8，，即，.故选：B.9.已知点，，直线，记点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意得，.由得，，令，则，满足，但，故充分性不成立；令，满足，但，，，故必要性不成立.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.10.在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则这样的圆C的面积（）A.有最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值C.无最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值【答案】C【解析】如图，圆C与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于两点（点在点的上方），设，则线段中点坐标为，线段中点坐标为，∵，∴，由得，，整理得，即，由得，，∴圆的半径，即圆的半径无最大值，有最小值1，∴圆C的面积无最大值，有最小值.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.11.等比数列满足：，，则数列的前5项和是____________．【答案】11【解析】设等比数列的首项为，公比为，所以，所以，，所以.12.双曲线的离心率为____________，渐近线方程为____________．【答案】【解析】由题可得双曲线的焦点在x轴上，且，所以双曲线的离心率为，渐近线方程为.13.已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为____________．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，，，∴，∴，∴可以构成空间的单位正交基底，设，则，∵从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，∴与中的任意两个向量均不共面，根据平面向量基本定理可得均不为零，∴向量的坐标可以为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.14.某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为____________米；正四棱锥的侧面积为____________平方米．【答案】【解析】设平面和平面交于过点的直线，因为，平面，平面，所以平面，平面，且平面平面，所以，取的中点，连结，，，即，，因为平面平面，所以，且，，所以，所以点到的距离为；正四棱锥的侧面积为.15.关于曲线，，给出下列四个结论：①对任意，曲线与直线没有公共点；②对任意，曲线上的点的横坐标的取值范围为R；③对任意，曲线为轴对称图形；④当为奇数时，曲线与轴、轴所围成区域的面积为，则．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①③④【解析】对①：令，则，故曲线与直线没有公共点，故①正确；对②：当时，有，则，故②错误；对③：若为奇数，则对点，有，故对任意点在曲线上，点也在曲线上，此时曲线关于直线对称，若为偶数，则对点，有，故对任意点在曲线上，点也在曲线上，此时曲线关于直线对称，故③正确；对④：当为奇数时，令，则y=-1，令，则，故曲线与轴、轴分别交于点1,0、，故即为曲线在的部分与轴、轴所围成图形面积，对曲线与上横坐标相同的点、，当x∈0,1时，有，则，有，则，则，即当x∈0,1时，，即，即在x∈0,1，曲线与曲线上横坐标相同的点，曲线上的点的纵坐标的绝对值都小于曲线上的点的纵坐标的绝对值，且两者的绝对值都小于，则，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据该频率分布直方图，求x的值；（2）已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间内的户数；（3）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费．解：（1）由该频率分布直方图，得．（2）在样本中，网费落在区间内的频率为，所以估计该小区中网费落在区间内的户数约为户．（3）由（1）可知，这六个组频率分别为0.06，0.12，0.22，0.30，0.18，0.12．因为同组中每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该样本的平均值约为．所以估计该小区的户均网费为189元．17.已知圆与x轴相切．（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长．解：（1）配方得，由此可得圆心坐标为．因为圆C与x轴相切，所以圆心到x轴的距离为．所以半径长为2．（2）因为直线与圆C交于A，B两点，所以圆心C到直线l距离为．由（Ⅰ）可知，所以．18.如图，在长方体中，，．（1）求证：平面；（2）若点P是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：由题意得，四边形为正方形，∴．∵平面，平面，∴，∵，平面，，∴平面．（2）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，．∴，，．由（1）得，是平面的一个法向量．设平面的一个法向量为，则即令，得，，故．设平面与平面的夹角为，则．∴平面与平面的夹角的余弦值为．19.已知数列满足：，．（1）若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和；（2）若数列是等比数列，求的通项公式．解：（1