2024-2025学年广西部分学校高二上学期12月阶段性考试数学试题（人教版）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西部分学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试数学试题（人教版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B.18 C. D.【答案】A【解析】因为向量，所以，所以.故选：A.2.已知直线与直线平行，则（）A.4 B. C.或5 D.【答案】D【解析】由直线与直线平行，得，所以.故选：D.3.椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（）A. B.12 C. D.20【答案】B【解析】由题意，所以，故的周长为.故选：B.4.抛物线的焦点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的标准形式为，其焦点在轴负半轴上，坐标为.故选：C.5.已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.6.过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可得，，，，所以，，所以，，设，则，因为。易知为锐角，则，，所以，，因此，.故选：C.7.在平行六面体中，点分别在棱上，且.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故.故选：A.8.已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（）A.5 B.4 C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点为，准线的方程为，当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得PM=PF，则.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若点和点关于直线对称，则（

）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由题意知，的中点，即在直线上，则可得，解得，则直线，斜率为，又直线与直线垂直，则可得，解得，故选：AC.10.古希腊数学家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由题意可知，则.因为，且，所以或或或或或当或时，，离心率为；当或时，，离心率为；当或时，，离心率为.故选：ABD.11.在正四棱锥中，，则（）A.B.异面直线所成角的余弦值为C.向量在向量上的投影向量为D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】记，连接，以坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，因为，所以，所以，，由得，由得.则，所以，故A正确.因为，所以，，所以，所以异面直线所成角的余弦值为，故B正确.向量在向量上的投影向量为，故C不正确.设平面的法向量为n=x,y,z，因为，所以令，得.又，设直线与平面所成的角为，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则______.【答案】【解析】在四面体中，因为四点共面，，所以，解得.13.已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为______.【答案】【解析】由题可知，，设，则由，得，，则.由，得，解得，又点为的中点，则点到直线的距离.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为________；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为________.【答案】【解析】设点，依题意，，即，则，整理得，所以所求圆的标准方程为；该阿氏圆的圆心为，半径，点到直线的距离，依题意，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，且点，在上.（1）求圆的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求.解：（1）设线段的中点为，则，因为直线的斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，由得，所以圆心，半径为，所以圆的标准方程为；（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，又直线经过点，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，所以.16.已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.解：（1）因为动点到点距离比它到直线的距离小2，所以动点到点的距离比它到直线的距离相等，由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）设Ax1两式相减得，整理可得.因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.17.如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，．（1）证明：平面．（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，．因为为等腰直角三角形，且，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因为，所以，又，所以四边形为平行四边形，则．因为平面，平面，所以平面．又，平面，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，，．设平面的法向量为，则由得令，得．设平面的法向量为，则由得令，得．所以，则平面与平面的夹角的余弦值为．18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，．（1）证明：平面平面．（2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．（1）证明：设，取的中点，连接，如图，则，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由，得，所以，解得，即，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则，即，所以点到平面的距离为，解得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以点到平面的距离为，又平行四边形的面积为，所以四棱锥的体积为.19.已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值.解：（1）由题意可得解得，故椭圆的标准方程为.（2）设.由等面积法得，则.由题意可得F1-1,0，则直线的方程为，即.点到直线的距离.因，所以，所以.因为是椭圆上的动点，所以，所以，所以，整理得，即.因为，所以.因为，所以，即，则.故当时，取得最大值.广西部分学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试数学试题（人教版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B.18 C. D.【答案】A【解析】因为向量，所以，所以.故选：A.2.已知直线与直线平行，则（）A.4 B. C.或5 D.【答案】D【解析】由直线与直线平行，得，所以.故选：D.3.椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（）A. B.12 C. D.20【答案】B【解析】由题意，所以，故的周长为.故选：B.4.抛物线的焦点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的标准形式为，其焦点在轴负半轴上，坐标为.故选：C.5.已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.6.过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可得，，，，所以，，所以，，设，则，因为。易知为锐角，则，，所以，，因此，.故选：C.7.在平行六面体中，点分别在棱上，且.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故.故选：A.8.已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（）A.5 B.4 C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点为，准线的方程为，当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得PM=PF，则.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若点和点关于直线对称，则（

）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由题意知，的中点，即在直线上，则可得，解得，则直线，斜率为，又直线与直线垂直，则可得，解得，故选：AC.10.古希腊数学家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由题意可知，则.因为，且，所以或或或或或当或时，，离心率为；当或时，，离心率为；当或时，，离心率为.故选：ABD.11.在正四棱锥中，，则（）A.B.异面直线所成角的余弦值为C.向量在向量上的投影向量为D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】记，连接，以坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，因为，所以，所以，，由得，由得.则，所以，故A正确.因为，所以，，所以，所以异面直线所成角的余弦值为，故B正确.向量在向量上的投影向量为，故C不正确.设平面的法向量为n=x,y,z，因为，所以令，得.又，设直线与平面所成的角为，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则______.【答案】【解析】在四面体中，因为四点共面，，所以，解得.13.已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为______.【答案】【解析】由题可知，，设，则由，得，，则.由，得，解得，又点为的中点，则点到直线的距离.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为________；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为________.【答案】【解析】设点，依题意，，即，则，整理得，所以所求圆的标准方程为；该阿氏圆的圆心为，半径，点到直线的距离，依题意，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，且点，在上.（1）求圆的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求.解：（1）设线段的中点为，则，因为直线的斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，由得，所以圆心，半径为，所以圆的标准方程为；（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，又直线经过点，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，所以.16.已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.解：（1）因为动点到点距离比它到直线的距离小2，所以动点到点的距离比它到直线的距离相等，由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）设Ax1两式相减得，整理可得.因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.17.如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，．（1）证明：平面．（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，．因为为等腰直角三角形，且，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因为，所以，又，所以四边形为平行四边形，则．因为平面，平面，所以平面．又，平面，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，，．设平面的法向量为，则由得令，得．设平面的法向量为，则由得令，得．所以，则平面与平面的夹角的余弦值为．18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，．（1）证明：平面平面．（2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．（1）证明：设，取的中点，连接，如图，则，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由，