2024-2025学年湖南省天壹名校高二上学期期末调研考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线：的倾斜角为（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】D【解析】因为直线的斜率为-1，所以的倾斜角为135°.故选：D.2.等差数列中，为其前项的和，若，，则（）A.50 B.100 C.400 D.500【答案】D【解析】，故选：D.3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，解得，所以C正确.故选：C.4.如图，已知三棱锥，点为的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A B. C. D.【答案】C【解析】因为点为的中点，所以.故选：C.5.曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】导数为，可得在处的切线斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为．故选：D．6.已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，解得.故选：A.7.若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的准线方程为，所以点P到焦点的距离为，所以，抛物线的方程为.故选：B.8.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，求导得，由函数在上单调递减，得，，则，，而恒成立，因此，所以实数的取值范围是.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列双曲线中，以直线为渐近线的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由得，因此以为渐近线的双曲线方程为，即，当时，方程为，即；当时，方程为，即；故选：AD.10.设圆，直线，则下列结论正确的为（）A.的半径为5 B.恒过定点C.可能与相切 D.当时，被截得的弦长最短【答案】ABD【解析】对于A，，即，∴的半径为5，故A正确；对于B，当时，，所以恒过定点，故B正确；对于C，因为，故点在圆C的内部，所以一定与圆相交，故C不正确；对于D，圆心，设直线恒过定点，则当直线与直线相互垂直时，被截得的弦长最短，故，即，则，故D正确.故选：ABD.11.已知数列的首项为1，且满足，则（）A. B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列【答案】ACD【解析】对于A，由，得，又，则，A正确；对于B，由选项A知，，，不成等比数列，B错误；对于C，由，得，是等比数列，C正确；对于D，由，得，，是等比数列，D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列中，，则________.【答案】6【解析】由题意可得，解得，故.13.已知，两点到直线的距离相等，则_____.【答案】0或【解析】依题意，，所以或.14.在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____.【答案】【解析】根据已知条件，建立如图所示：以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，，，，，，，，，，设平面的一个法向量，，，则，令，有，，所以，平面，则，即，解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，．（1）求线段的垂直平分线的直线方程；（2）若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．解：（1）因为，，所以的中点为，斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为，即的直线方程为，化简得.（2）联立解得，，即圆心为，所以圆的半径，所以所求圆的标准方程为.16.已知函数，当时取得极大值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.解：（1）因为，所以，因为时取得极大值；所以，，.①当时，，由解得或；由解得；所以在，上单调递增，在上单调递减；时取得极小值，不符合题意，所以舍去.②当时，由解得或；由解得；所以在，上单调递增，在上单调递减；时取得极大值，符合题意.综上可得：（2）由（1）可知，，，在，上单调递增，在上单调递减；所以在上极大值为，极小值为；又由于，函数在上的最大值是，最小值是.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.（1）求与底面所成角的正弦值；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小.（1）解：因为底面，所以在底面上的射影是，所以为与底面所成角，在中，，设底面正方形边长为2，则，则，，所以；（2）证明：因为底面，底面，所以，又，，且平面，平面，平面；又因为平面；由已知，，且面,面，面；（3）解：以坐标原点、为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系；设底面的边长为2,则A2,0,0，，，，所以，，，，设平面与平面的法向量分别为，，则，即，令，则；，即，令，所以；则平面与平面的夹角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为.18.点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与轴的交点为，过点作直线与点的轨迹交于，两点（A，不重合），设直线，的斜率分别是、，证明：为定值.（1）解：设点Mx,y，依题意，，即.整理得点的轨迹方程：；（2）证明：由题，当的斜率为0时，，.当的斜率不为0时，则可设的方程为：，设Ax1,y1，联立：，整理得：；所以，即，且，，又，..综上所述，为定值.19.若项数为的数列满足：，我们称其为阶的“对称数列”.例如：数列1，3，3，1为4阶的“对称数列”；数列8，4，3，4，8为5阶的“对称数列”.（1）若数列为7阶的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，请求出数列的每一项；（2）若数列为阶的“对称数列”，其中，，，是首项为1、公比为2的等比数列.①求数列的前项和；②若，求数列的前项和.解：（1）由题知，，，是等差数列，且，，所以，解得；所以，.由阶的“对称数列”的定义可知：，，.所以数列的每一项依次为2，4，6，8，6，4，2.（2）①由题知：，，，是首项为1、公比为2、项数为的等比数列，所以；所以.②若，则为，，，，，，，依题意，，，，是首项为1，公比为2的等比数列；，由“对称数列”的定义可知：；且，，，是首项为，公比为的等比数列；当时，；由①可知：；当时，有，；综上：即：.湖南省天壹名校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线：的倾斜角为（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】D【解析】因为直线的斜率为-1，所以的倾斜角为135°.故选：D.2.等差数列中，为其前项的和，若，，则（）A.50 B.100 C.400 D.500【答案】D【解析】，故选：D.3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，解得，所以C正确.故选：C.4.如图，已知三棱锥，点为的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A B. C. D.【答案】C【解析】因为点为的中点，所以.故选：C.5.曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】导数为，可得在处的切线斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为．故选：D．6.已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，解得.故选：A.7.若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的准线方程为，所以点P到焦点的距离为，所以，抛物线的方程为.故选：B.8.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，求导得，由函数在上单调递减，得，，则，，而恒成立，因此，所以实数的取值范围是.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列双曲线中，以直线为渐近线的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由得，因此以为渐近线的双曲线方程为，即，当时，方程为，即；当时，方程为，即；故选：AD.10.设圆，直线，则下列结论正确的为（）A.的半径为5 B.恒过定点C.可能与相切 D.当时，被截得的弦长最短【答案】ABD【解析】对于A，，即，∴的半径为5，故A正确；对于B，当时，，所以恒过定点，故B正确；对于C，因为，故点在圆C的内部，所以一定与圆相交，故C不正确；对于D，圆心，设直线恒过定点，则当直线与直线相互垂直时，被截得的弦长最短，故，即，则，故D正确.故选：ABD.11.已知数列的首项为1，且满足，则（）A. B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列【答案】ACD【解析】对于A，由，得，又，则，A正确；对于B，由选项A知，，，不成等比数列，B错误；对于C，由，得，是等比数列，C正确；对于D，由，得，，是等比数列，D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列中，，则________.【答案】6【解析】由题意可得，解得，故.13.已知，两点到直线的距离相等，则_____.【答案】0或【解析】依题意，，所以或.14.在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____.【答案】【解析】根据已知条件，建立如图所示：以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，，，，，，，，，，设平面的一个法向量，，，则，令，有，，所以，平面，则，即，解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，．（1）求线段的垂直平分线的直线方程；（2）若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．解：（1）因为，，所以的中点为，斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为，即的直线方程为，化简得.（2）联立解得，，即圆心为，所以圆的半径，所以所求圆的标准方程为.16.已知函数，当时取得极大值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.解：（1）因为，所以，因为时取得极大值；所以，，.①当时，，由解得或；由解得；所以在，上单调递增，在上单调递减；时取得极小值，不符合题意，所以舍去.②当时，由解得或；由解得；所以在，上单调递增，在上单调递减；时取得极大值，符合题意.综上可得：（2）由（1）可知，，，在，上单调递增，在上单调递减；所以在上极大值为，极小值为；又由于，函数在上的最大值是，最小值是.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.（1）求与底面所成角的正弦值；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小.（1）解：因为底面，所以在底面上的射影是，所以为与底面所成角，在中，，设底面正方形边长为2，则，则，，所以；（2）证明：因为底面，底面，所以，又，，且平面，平面，平面；又因为平面；由已知，，且面,面，面；（3）解：以坐标原点、为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系；设底面的边长为2,则A2,0,0，，，，所以，，，，设平面与平面的法向量分别为，，则，即，令，则；，即，令，所以；则平面与平面的夹角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为.18.点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与轴的交点为，过点作直线与点的轨迹交于，两点（A，不重合），设直线，的斜率分别是、，证明：为定值.（1）解：设点Mx,y，依题意，，即.整理得点的轨迹方程：；（2）证明：由题，当的斜率为0时，，.当的斜率不为0时，则可设的方程为：，设Ax1,y1，联立：，整理得：；所以，即，且，，又，..综上所述，为定值.19.若项数为的数列满足：，我们称其为阶的“对称数列”.例如：数列1，3，3，1为4阶的“对称数列”；数列8，4，3，4，8为5阶的“对称数列”.（1）若数列为7阶的“对称数列”，其中，，，是