正比例函数和反比例函数-2023年中考数学一轮复习（原卷版）

专题07正比例函数和反比例函数

世命.题趋势

正比例函数和反比例函数是本市中考的重要知识点，函数定义域，函数法则的函数值是本市的特色中

考考点，中考中多以选择题、填空题、解答题多以函数的应用形式出现，主要考查基本概念、基本技能以

及基本的数学思想方法.掌握函数的有关概念和本质，函数的图像和性质的结合，函数的应用(实际应用

和几何应用).难度系数简单中等…

在知用导图

心重序考向

一、平面直角坐标系的基础

有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a,b)o

【注意】a、h的先后顺序对位置的影响。

平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。

两轴的定义：水平的数轴叫做乂和或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向

为正方向。

平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。

坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。

象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第

二象限、第三象限、第四象限。

【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标：对于坐标轴内任意一点A,过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分

别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a,b)叫做点A的坐标,记作A(a,b)。

泮一

上——(装尸

d

b

-1〜戎-101犷x“

-1-

-2-

-3-

二、点的坐标的有关性质

性质一各象限内点的坐标的符号特征

象限横坐标X纵坐标y

笫一象限正正

第二象限负正

第三象限负负

第四象限正负

性质二坐标轴上的点的坐标特征

1.工轴上的点，纵坐标等于0；

2.y轴上的点，横坐标等于0；

3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.

性质三象限角的平分线上的点的坐标

在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上

性质四与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

1.在与x釉平行的直线上，所有点的纵坐标相等；

点A、B的纵坐标都等于〃z；

所有点的横坐标相等；

点C、D的横必标都等于〃；

2.点P到y轴的距离为仙

性质六平面直角坐标系内平移变化

性质七对称点的坐标

典例引顺

/___1

一、单选题

1.与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（）

A.实数B.有理数

C.有序实数对D.有序有理数对

5.已知点A（〃?，2）与点8（1,关于），轴对称，那么切+〃为值等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

7.如图，三角形A8C的面积等于（）

A.12B.12-C.13D.13-

22

9.△A8C三个顶点坐标A（-4,-3）,B（0,-3）,C（-2,0）,将点8向右平移2个长度单位后，再

向上平移5个长度单位到若设△ABC面积为S”△4OC的面积为S2，则5/与52大小关系为（）

A.S,>S2B.Si=S2C.St<S2D.不能确定

10.如图，点A（O,1）、点4（2,0）、点4（3,2）、点•5,1）、…，按照这样的规律下去，点A202/的坐标

为（）

>A

A.(2022,2021)B.(3032,1010)C.(3033,1011)D.(2021,1012)

二、填空题

一、函数

1、函数的相关概念

在某个变化过程中1•有两个变曷，设为X和y,如果在变量X的允许取值范围内，变量y随着X的变化而

变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。

2、函数的定义域与函数值

①定义域：函数的自变量的允许取值的范围(简称自变量的取值范围)。

常见函数的定义域：

(1)函数解析式为整式时，定义域为一切实数；

(2)函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数：

(3)函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数

(4)在实际生活中有意义。

②函数记号与函数值：

函数记号：y是x的函数用记号y=f(x)表示；

函数值：在函数记号y=f(x)表示时，f(a)表示当x=a时的函数值。

二、正比例函数与反比例函数

1.正比例函数和反比例函数的定义：

①正比例函数的定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫

做比例系数.

注意：正比例函数的定义域是一切实数.

要点：

lrirIr

(1)在y=±中，自变量x是分式t的分母，当x=o时，分式士无意义，所以自变量x的取值范围是XX。

XXX

函数，的取值范围是故函数图象与x轴、y轴无交点；

(2)y=占比工0)可以写成丁二以-】&工0)的形式，自变量云的指数是一I,在解决有关自变量指数问题

X

时应特别注意系数尢=0这•条件.

ir

(3)—(此=0)也可以写成砂二片的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数上从而得到

X

反比例函数的解析式.

2、正比例函数和反比例函数的图像与性质

函数解析定义域图像性质

式

正比一切实当k>0时y随x的增大

例函数而增大，

教当k<0时，y随x的增

丰兴大而减小

反比1.当K>0时，图象的两

例函个分支分别在一、三象

数限内，在每个象限内，

y随x的增大而减小；

十4-

2.当K<0时，图象的两

个分支分别在二、四象

'1尸匕AX））|‘尸与代<0）限内，在每个象限内，

y随x的增大而增大。

3.双曲线无限渐进x轴

y轴但不相交

要点：3）若点3,8）在反比例函数y=与的图象上，则点（-%-占）也在此图象上，所以反比例函数的图

x

象关于原点对称；

（2）在反比例函数》=七（归为常数，发H0）中，由于XH0且yrO,所以两个分支都无限接近但永远不

x

能达到x轴和y轴.

二、函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.

1、解析法

2、列表法

这种把两个变量之间的依敕关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法.

3、图象法

这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法.

要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值时，既要使自变量的

取值有一定的代表性，乂不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.

典例和撷

/_▲_1

一、单选题

1.下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）

2.下列说法不成立的是（）.

3.关于函数y=-以下说法错误的是（）

A.图象经过原点B.图象经过第二、四象限

A.它的图象是双曲线

B.它的图象在第一、三象限

c.y的值随x的值增大而减小

5.已知4个正比例函数），=5，），=5，的图像如图，则下列结论成立的是（）

A.kl>k2>k3>k4B.kl>k2>k4>k3

C.k2>k,>k3>k4D.k〉k3>k2>ki

8.一列货运火车从北京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车

站停下，装完货之后乂匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么火车的速度】，与行驶时间,之间的

函数图象大致是（）

C.乙比甲晚出发lhD.从A到从甲比乙多用了lh

10.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数产与（^>0）上不同的三点，连接

X

OA.OB、0C,过点A作轴于点。，过点B、。分别作BE,C尸垂直x轴于点石、F,0C与BE相交

于点M,记△AO。、&BOM、四连形CME尸的面积分别为S/、S、S3,贝U（）

A.S尸S2+S3B.S2=Sj

C.S3>S2>S,D.S,S2<S32

二、填空题

16.在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、），轴作垂

线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x

的值增大而增大根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______.

三、解答题

⑴求攵的值：

21.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进

路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强P(Pa)是木板面积S(n?)的反比例函数,

其图象如图所示.

⑴求出P与5之间的函数表达式；

(2)如果要求压强不超过3000Pa,木板的面积至少要多大？

⑴这个反比例函数的解析式；

(1)试确定此反比例函数的解析式；

(2)熹O是坐标原点，将线段OA绕0点顺时制旋转30。得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象

上，并说明理由；

在模型检测

一、单选题

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.(2017•上海徐汇•统考二模)已知点m-1)在第四象限内，那么〃?的取值范围是()

1

A.m>1B.m<—C.-<m<\D.或〃?>1

22

3.(2021.上海浦东新•统考二模)在平面直角坐标系中，点A(-3,0),B(2,0),C(-1,2),E

(4,2),如果AA8C与△E/小全等，那么点尸的坐标可以是(

A.(6,0)B.(4,0)C.(4.-2)D.(4,-3)

4.(2022.上海杨浦.校考一模)在平面直角坐标系中，已知点P(l,2),点P与原点。的连线与x轴

的正半轴的夹角为a(00<a<90°),那么tana的值是()

A.2b-?c.D.加

A.图像位于第一、三象限B.图像与坐标轴没有交点

C.图像是一条直线D.y的值随X的值增大而减小

6.（2（）21•上海宝山・统考三模）如果函数产31+〃?的图象一定经过第二象限，那么〃?的取值范围是（）

A./〃>0B.m>0C./〃VOD./?/<0

7.（2021・上海徐汇•统考二模）姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数

的一个性质.甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值

的增大而减小.根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）

B

二、填空题

12.（2014.上海普陀.统考二模）直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为5,

那么点P的坐标是

13.（2021・上海黄浦・统考一•模）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x

分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是.（不必写定

义域）

14.（2021•上海浦东新•模拟预测）已知正比例函数的图象经过点用（・2,1）、A5,），/）、8（X2,），2），如

果MVM，那么9y2.（填“>”、"="、“V”）

15.（2022・上海•校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0,3）、C（4,0）、D（0,2）,AB与CD交

于点P,若NAPC=45。，则4点坐标为.

17.（2022・上海校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将点（b,G）称为点（a,b＞的“关联点”（例如点（2,

1）是点（1,2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第象限.

18.（2022・上海徐汇•统考二模）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如所示方式摆放

成“风车”型，旦黑色三角形的顶点七、F、G、〃分别在白色直角三角形的斜边上，已知4WO=90。，OB=

3,AB=4,若点A、E、。在同一直线上，则OE的长为.

当工/=-也时，都有#=），2,称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的

有一（填上所有正确答案的序号）.

①）：=2x；②y=-x+l：®y=x2；®y=-—；

三、解答题

22.（2021・上海奉贤・统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、&

C.

（1）请完成如下操作：

①以点。为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；

②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D并连接力。、CD.

（2）请在（I）的基础卜.完成下列埴空：

①写出点的坐标：C、D；

②。。的半径=