2025年下学期初中数学几何压轴题突破试卷

2025年下学期初中数学几何压轴题突破试卷一、三角形综合题（25分）题目：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为AB中点，点P从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒（0≤t≤4）。（1）用含t的代数式表示线段PD、PQ的长度；（2）当t为何值时，△PDQ为等腰三角形？（3）在点P、Q运动过程中，线段PQ的中点M所经过的路径长为多少？解析：（1）关键思路：利用直角三角形斜边中线性质及勾股定理。由勾股定理得AB=10，D为AB中点，故CD=AD=BD=5。过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，易证DE、DF为中位线，DE=4，DF=3，AE=3，CF=4。AP=t，CQ=2t，故PE=|3-t|，PF=4-2t，∴PD=√(PE²+DE²)=√[(3-t)²+4²]=√(t²-6t+25)，PQ=√(PC²+CQ²)=√[(6-t)²+(2t)²]=√(5t²-12t+36)。（2）分类讨论：等腰三角形需分三种情况。当PD=PQ时：√(t²-6t+25)=√(5t²-12t+36)，解得t=(-1±√5)/2（舍负），t=(√5-1)/2；当PD=DQ时：DQ=√(QF²+DF²)=√[(4-2t)²+3²]，同理列方程解得t=1或t=3；当PQ=DQ时：√(5t²-12t+36)=√[(4-2t)²+9]，解得t=0或t=12（舍）。综上，t=(√5-1)/2或1或3。（3）轨迹分析：建立坐标系，C为原点，AC为x轴，BC为y轴，M为PQ中点，坐标为((6-t)/2,t)，消去t得y=(-1/2)x+3（3≤x≤6），故路径长为√[(6-3)²+(0-3)²]=3√2。二、四边形动态题（30分）题目：如图2，在正方形ABCD中，AB=4，点E为BC边上一动点（不与B、C重合），将△ABE沿AE翻折得△AFE，延长EF交CD于点G，连接AG。（1）求证：△AFG≌△ADG；（2）设BE=x，CG=y，求y与x的函数关系式；（3）当△ECG为等腰三角形时，求BE的长。解析：（1）全等判定：折叠性质+HL定理。由折叠得AF=AB=AD，∠AFE=∠B=90°，故∠AFG=90°=∠D，又AG=AG，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL）。（2）方程思想：设BE=x，则EC=4-x，EF=x，FG=GD=4-y，EG=x+4-y，在Rt△ECG中，EG²=EC²+CG²，即(x+4-y)²=(4-x)²+y²，化简得y=(-2x²+8x)/8=(-x²+4x)/4（0<x<4）。（3）分类讨论：等腰△ECG需分三种情况。当EC=CG时：4-x=y，代入y=(-x²+4x)/4，解得x=0（舍）或x=4（舍）；当EC=EG时：4-x=x+4-y，结合y=(-x²+4x)/4，解得x=2；当CG=EG时：y=x+4-y，即2y=x+4，代入得x=4（舍）或x=4/3。综上，BE=2或4/3。三、圆与几何综合题（35分）题目：如图3，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于D，AC平分∠DAB。（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AD=3，AC=2√6，求⊙O半径；（3）在（2）条件下，点E为⊙O上一动点（不与A、B重合），连接CE、BE，求△CBE面积的最大值。解析：（1）切线判定：连OC，证OC⊥CD。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC=∠OCA，∴AD∥OC，又AD⊥CD，故OC⊥CD，即CD为切线。（2）勾股定理+相似：在Rt△ADC中，CD=√(AC²-AD²)=√(24-9)=√15，连BC，AB为直径，∠ACB=90°=∠ADC，∵∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴AD/AC=AC/AB，即3/(2√6)=2√6/AB，解得AB=8，半径为4。（3）面积最值：当点E到BC距离最大时，S△CBE最大，此时E为优弧BC中点。由AB=8，AC=2√6，得BC=√(AB²-AC²)=√(64-24)=√40=2√10，圆心O到BC距离d=√(OB²-(BC/2)²)=√(16-10)=√6，故E到BC最大距离为d+OB=√6+4，S△CBE最大值=1/2×BC×(√6+4)=1/2×2√10×(√6+4)=√60+4√10=2√15+4√10。四、几何探究题（40分）题目：【模型引入】“隐圆”模型：若动点到定点距离等于定长，则动点轨迹为圆。【问题解决】如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°得BQ，连接PQ、CQ。（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）若AP=√2，求PQ的长；（3）点P在运动过程中，CQ的最小值为多少？（4）拓展：若点P在正方形内运动，且∠BPC=90°，求CP+√2BP的最小值。解析：（1）旋转性质：BP=BQ，∠PBQ=90°，∠ABC=90°，∴∠ABP=∠CBQ，又AB=BC，∴△ABP≌△CBQ（SAS）。（2）勾股定理：AP=√2，AC=4√2，∴PC=3√2，△ABP≌△CBQ，∴CQ=AP=√2，∠BCQ=∠BAC=45°，∠ACB=45°，∴∠PCQ=90°，PQ=√(PC²+CQ²)=√(18+2)=√20=2√5。（3）轨迹法：由△ABP≌△CBQ得CQ=AP，点P在AC上，AP最小值为0（P与A重合），但P不与A重合，当P与C重合时，CQ=AP=4√2，故CQ无最小值（趋近于0）。（4）隐圆模型：∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（不含B、C），设BC中点为O，半径r=2，BP为圆O的弦，构造√2BP：在BO延长线上取点D，使OD=OB=2，则△BPD∽△BOD（SAS），PD=√2BP，∴CP+√2BP=CP+PD≥CD=√(BC²+BD²)=√(16+32)=√48=4√3（当C、P、D共线时取等）。五、动点与最值综合题（40分）题目：如图5，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点D为BC中点，点E、F分别为AB、AC上动点，且∠EDF=90°。（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）设BE=x，CF=y，求y与x的函数关系式；（3）线段EF的最小值为多少？解析：（1）相似判定：∠B+∠C=90°，∠EDF=90°，∴∠BDE+∠CDF=90°，又∠CDF+∠CFD=90°，∴∠BDE=∠CFD，且∠B=∠C，∴△BDE∽△CFD。（2）比例线段：BC=5，D为中点，BD=CD=2.5，BE=x，AE=3-x，CF=y，AF=4-y，由相似得BE/CD=BD/CF，即x/2.5=2.5/y，∴y=6.25/x（1.25≤x≤3）。（3）二次函数最值：EF²=(3-x)²+(4-y)²，代入y=25/(4x)，EF²=(3-x)²+(4-25/(4x))²，令t=x，求导