八年级数学上册《勾股定理》单元测试（北师大版2024）含答案

数中，是“勾股数”的是()3．如图，在VABC中，ÐACB=90°,AC=6，BC=8，则点C到AB的距离是()4．已知a，b，c是VABC的三条边，则下列条件能判定VABC为直角三角形的是()A．a:b:c=1:2:3B．5．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为()12m，则这棵树在折断前的高度是().A．10mB．17mD．20m斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门则可列方程为()A．(x-2)2+(x-4)2=2x2B．(x-2)2+42=x2C．(x-4)2+(x-2)2=x2D．(x-4)2+x2=(x-2)28．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是()9．如图，在Rt△ABC中，ÐC=90°,AC=4,BC=6，将它的锐角A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的长为()置的4个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=()11．在Rt△ABC中，ÐC=90°,AB=2，则AC2+BC2=.12．如图，在VABC中，ÐABC=90°,AB=12，BC=5，在AC上截取CD=CB；在AB上截取AP=AD，则AP=.4m，地毯的价格为120元/m2，则购买地毯需花费元.15．如图，在Rt△ABC中，ÐBAC=90°,BC=4，分别以AB、AC为直径作半圆，面积分别记为S1,S2，则S1+S2=.16．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为4m，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差CD为1m，则该秋千的绳长OA17．在Rt△ABC中，7B=90°,三条边长如图所示，求x的值.18．为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使VABC恰好为直角三角形)7ABC=90°(，如图所示，通过测量得AC长为26m，BC长为24m，请求出图中A、B两点之间的距离AB.19．如图，在Rt△ABC中，7ACB=90°,CDTAB垂足为D.(1)若AC=3，BC=4，直接写出CD的值为；(2)若AD=4，BD=9，求CD的长20．如图，一架长2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米.(2)若梯子顶端A下滑0.4米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？21．如图，在Rt△ABC中，7C=90°,AB=15cm，AC=9cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值.①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据①②步骤解答下列问题：求BF，CE的长.23．阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解角形的两条直角边长，c是斜边长.勾股数可以通过以下公式生成：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m和n都是正整数，且m>n.(1)使用勾股数生成公式，当m=4，n=1时，求对应的勾股数(a,b,c).(2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数(5,12,13)，请你计算他代入的正整数m和n(m>n)的值.和B是一个台阶两个相对的端点.【探究实践】老师让同学们探究：如图①,若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②,将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB长度为 ，就是最短路程.【变式探究】（2）如图③,是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为．-【拓展应用】（3）如图④,圆柱形玻璃杯的高9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行25．我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a222.证明：由图1可知S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH，正方形ABED，△ABC，正方形ABED，△ABC，正方形CFGH边长为，2.数中，是“勾股数”的是()【答案】【答案】B【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键.根据勾股数的定义，三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即为项即可.【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键.根据题意，得出7EDF=90°,再根据勾股定理，得出DE2+DF2=EF2，再结合正方形的面积，得出DF2=EF2-DE2=25-9=16，进而即可得出答案.:DE2+DF2=EF2，正方形A，正方形B，正方形C，:S=EF2正方形A，正方形B，正方形C，:EF2=25，DE2=9，:DF2=EF2-DE2=25-9=16，3．如图，在VABC中，ÐACB=90°,AC=6，BC=8，则点C到AB的距离是()【答案】D【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键有两点：①利用勾股定理求出AB，②利用面积表达式求解.解：在Rt△ABC中，AB==10，过点C作AB的垂线交AB于点D，即CD为点C到AB的距离，4．已知a，b，c是VABC的三条边，则下列条件能判定VABC为直角三角形的是()A．a:b:c=1:2:3B．【答案】【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理关键.根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答.B．由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2，能判定VABC是直角三角形，符合题意；5．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为()【答案】【答案】C2c2=200，据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键.由勾股定理得，由勾股定理得，a2+b2=c2，∵∵一个直角三角形的三边长的平方和为200，::a2+b2+c2=200，::2c2=200，::c2=100，::c=10，故选：C故选：C.12m，则这棵树在折断前的高度是().A．10mB．17mC．18mD．20m【答案】【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，根据AC=5m,AB=12m，且结合勾股定理列式代入数值计算，即【详解】解：依题意，AC=5m,AB=12m斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门则可列方程为()A．(x-2)2+(x-4)2=2x2B．(x-2)2+42=x2C．(x-4)2+(x-2)2=x2D．(x-4)2+x2=(x-2)2【答案】【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形列方程即可.【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为(x-4)尺，高为(x-2)尺，根据勾股定理可得：(x-4)2+(x-2)2=x2.8．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是()【答案】【答案】B股定理即可得出.9．如图，在Rt△ABC中，ÐC=90°,AC=4,BC=6，将它的锐角A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的长为()【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出BC=3，由折叠的性质可得AE=DE，设AE=DE=x，则CE=4-x，再由勾股定理计算即可得出答案.【详解】解：Q点D为BC的中点，由折叠的性质可得AE=DE，设AE=DE=x，则CE=AC-AE=4-x，由勾股定理得CE2+CD2=DE2，:(4-x)2+32=x2，置的4个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=()【答案】【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方性质得到ÐABD=90。，AB=DB再根据等角的余角相等得到ÐCAB=ÐDBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方方形的面积.::ÐABD=90。，AB=DB，::ÐABC+ÐDBE=90°,∵∵ÐABC+ÐCAB=90°,::ÐCAB=ÐDBE，在V在VABC和VBDE中，::△ABC≌△BDE(AAS)，:AC=BE，∵DE22:DE2+AC2=BD2，【答案】【答案】4【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键．根据ÐC的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解.:△ABC为直角三角形，且AB为斜边.QAB=2，故答案为：4.12．如图，在VABC中，ÐABC=90。，AB=12，BC=5，在AC上截取CD=CB；在AB上截取AP则AP=.【答案】【答案】8【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.由勾股定理求出由勾股定理求出AC=13，由题意知：CD=CB=5，再根据AD=AC-CD求出AD=8，最后根据AP=AD即可得解.解：在Rt△ABC中，AC==13，:AD=AC-CD=8，:AP=AD=8，故答案为：8.【答案】【答案】45°/45度【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将Ð1、Ð2转化为ÐBAP、ÐCAN，再通过计算三角形边长，判断三角形形状，进而求出Ð1+Ð2的度数．本题主要考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状是解题的关键.::Ð1=ÐBAP，Ð2=ÐCAN，::AB2+BC2=AC2，::△ABC是等腰直角三角形，::ÐBAC=45°,::ÐBAP+ÐCAN=45°,即Ð1+Ð2=45°.故答案为：故答案为：45°.4m，地毯的价格为120元/m2，则购买地毯需花费元.【答案】【答案】8160【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最求出需要铺设的地毯面积即可得到答案.【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为=115．如图，在Rt△ABC中，ÐBAC=90°,BC=4，分别以AB、AC为直径作半圆，面积分别记为S1,S2，则S1+S2=.【答案】【答案】2π【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理可得AB2+AC2=BC2=16，再由SS2=即可求解.∴AB2+AC2=BC2=16，故答案为：2π16．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为4m，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差CD为1m，则该秋千的绳长OA【答案】【答案】2.5【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键.根据题意可证△AOD≌△BOD，AD=BD=AB=2,ÐADO=ÐBDO，ÐADO=ÐBDO=90°,设OA=x(x>0)，则OD=OC-CD=x-1，在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2，由此列式求解即可.∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴ÐADO=ÐBDO=90°,设OA=x(x>0)，则OD=OC-CD=x-1，在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，(x-1)2，整理得，2x=5，解得，x=2.5，∴OA=2.5m，故答案为：2.5.17．在Rt△ABC中，ÐB=90°,三条边长如图所示，求x的值.【答案】x【答案】x的值为5根据勾股定理，即可解答.22218．为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使VABC恰好为直角三角形(ÐABC=90°)，如图所示，通过测量得AC长为26m，BC长为24m，请求出图中A、B两点之间的距离AB.【答案】【答案】10m中，利用勾股定理求出AB即可得出答案.262-262-242AC2-BC2在Rt△ABC中，AB答：点答：点A到点B的距离AB为10m.(1)若AC=3，BC=4，直接写出CD的值为；(2)若AD=4，BD=9，求CD的长【答案】(1)5（2）由已知可得AB=13，再分别在Rt△ACD、Rt△BCD和Rt△ABC中，利用勾股定理可得422222，据此即可求解.本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键.:ÐADC=ÐBDC=90°,在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，即422即922在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即42222220．如图，一架长2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米.(2)若梯子顶端A下滑0.4米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？(2)0.8米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键.（2）在Rt△CDO中利用勾股定理求出OD的长，进而求出BD的长即可得到答案.【详解】（1）解：由题意得，在Rt△ABO中，AB=2.5米，OB=0.7米，7AOB=90°,（2）解：在Rt△CDO中，CD=2.5米，OC=2.4-0.4=2米，7COD=90°,∴BD=OD-OB=0.8米，∴梯子底端B将向左滑动0.8米到D.21．如图，在Rt△ABC中，7C=90°,AB=15cm，AC=9cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值.【答案】【答案】(1)BC边的长为12cm【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.（（2）分两种情况讨论：①当ÐAPB为直角，②当7BAP为直角，根据勾股定理求解即可.=AB2=AB2-AC2152152-92=12(cm)∴∴BC边的长为12cm.①①当ÐAPB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP=BC=12cm，②②当ÐBAP为直角时，如图2，BP=tcm，CP=(t-12)cm，AC=9cm.在Rt△ACP中，AP2=92+(t-12)2，在在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，综上所述，当综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=12或t=.①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据①②步骤解答下列问题：求BF，CE的长.【答案】EC【答案】EC=6cm，BF=12cm【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键.由折叠的性质可知由折叠的性质可知ÐB=ÐC=90°,DE=FE，AF=AD=20，由勾股定理得BF=12，则CF=8，设CE=CE=x，由勾股定理得，即82=(16-x)2-x2，计算求解然后作答即可.【详解】解：【详解】解：∵长方形ABCD，::AD=BC=20，CD=AB=16，ÐB=ÐC=90°,由折叠的性质可知，DE=FE，AF=AD=20，BF=\BF=\AF-AB=12，::CF=8，设设CE=x，则FE=DE=16-x，由勾股定理得，由勾股定理得，CF2=EF2-CE2，即82=(16-x)2-x2，解得，解得，x=6，::EC=6，::EC=6cm，BF=12cm.23．阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解角形的两条直角边长，c是斜边长.勾股数可以通过以下公式生成：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m和n都是正整数，且m>n.(1)使用勾股数生成公式，当m=4，n=1时，求对应的勾股数(a,b,c).(2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数(5,12,13)，请你计算他代入的正整数m和n(m>n)的值.【答案】【答案】(1)(15,8,17)【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键.:对应的勾股数是(15,8,17).（2）解：根据题意得m2-n2=5，2mn=12，m2+n2=13.:mn=6.:m=6，m2+n2=13，符合题意.和B是一个台阶两个相对的端点.【探究实践】老师让同学们探究：如图①,若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②,将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB长度为 ，就是最短路程.【变式探究】（2）如图③,是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为．-【拓展应用】（3）如图④,圆柱形玻璃杯的高9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯