初三上学期数学一元二次方程强化练习试卷及答案

初三上学期数学一元二次方程强化练习试卷及答案

一、单项选择题1.一元二次方程$x^2-3x=0$的解是（）A.$x=0$B.$x=3$C.$x_1=0$，$x_2=3$D.$x_1=0$，$x_2=-3$2.方程$(x-2)^2=9$的解是（）A.$x=5$B.$x=-1$C.$x_1=5$，$x_2=-1$D.$x_1=-5$，$x_2=1$3.若关于$x$的一元二次方程$kx^2-6x+1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k\lt9$且$k\neq0$B.$k\leq9$且$k\neq0$C.$k\gt9$D.$k\lt9$4.已知一元二次方程$x^2+bx-3=0$的一根为$-3$，在方程$x^2+bx-3=0$中，把$x=-3$代入可得$(-3)^2-3b-3=0$，解得$b=2$，则方程的另一根为（）A.$1$B.$-1$C.$2$D.$-2$5.用配方法解方程$x^2-4x-1=0$，配方后所得方程是（）A.$(x-2)^2=5$B.$(x-2)^2=3$C.$(x-2)^2=1$D.$(x-2)^2=0$6.一元二次方程$2x^2-3x+1=0$的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根7.若方程$x^2+mx+1=0$与方程$x^2-x-m=0$有一个相同的实数根，则$m$的值为（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$8.某厂一月份生产产品$50$台，计划二、三月份共生产产品$120$台，设二、三月份平均每月增长率为$x$，根据题意，可列出方程（）A.$50(1+x)^2=120$B.$50(1+x)+50(1+x)^2=120$C.$50+50(1+x)+50(1+x)^2=120$D.$50(1+x)^2=120-50$9.已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的一个根是$1$，且$a$，$b$满足$b=\sqrt{a-2}+\sqrt{2-a}-3$，则这个一元二次方程是（）A.$2x^2-3x+1=0$B.$2x^2+3x+1=0$C.$2x^2-3x-1=0$D.$2x^2+3x-1=0$10.若关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+k=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k\lt1$B.$k\gt1$C.$k=1$D.$k\geq1$答案：1.C2.C3.A4.A5.A6.B7.C8.B9.A10.A二、多项选择题1.下列方程中，是一元二次方程的有（）A.$x^2-2x-1=0$B.$ax^2+bx+c=0$C.$(x-2)(x+3)=x^2+1$D.$3x^2-2x=0$2.一元二次方程$x^2-4x+3=0$的解为（）A.$x_1=1$B.$x_2=3$C.$x_1=-1$D.$x_2=-3$3.用公式法解一元二次方程$2x^2-3x-1=0$时，下列计算正确的是（）A.$b^2-4ac=(-3)^2-4\times2\times(-1)=17$B.$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$C.$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$D.$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{-4}$4.若关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根分别为$x_1=2$，$x_2=1$，则$p$，$q$的值分别是（）A.$p=-3$B.$p=3$C.$q=2$D.$q=-2$5.已知方程$x^2-3x+m=0$的一个根是$1$，则下列结论正确的是（）A.方程的另一根是$2$B.$m=2$C.方程的另一根是$-2$D.$m=-2$6.一元二次方程$x^2-2x-3=0$可通过因式分解化为（）A.$(x-3)(x+1)=0$B.$(x+3)(x-1)=0$C.$x(x-2)=3$D.$x^2=2x+3$7.用配方法解一元二次方程$x^2-6x-7=0$时，配方正确的是（）A.$(x-3)^2=16$B.$(x+3)^2=16$C.$(x-3)^2=7$D.$(x-3)^2=2$8.若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）满足$a+b+c=0$，则方程必有一个根是（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.$2$9.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的$55$元降到了$35$元，设平均每次降价的百分率为$x$，则下列方程中正确的是（）A.$55(1-x)^2=35$B.$35(1+x)^2=55$C.$5(1-x)=35$D.$55-55(1-x)-55(1-x)^2=35$10.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k=0$有两个相等的实数根，则$k$的值为（）A.$1$B.$-1$C.$2$D.$-2$答案：1.AD2.AB3.AB4.AC5.AB6.A7.A8.B9.A10.A三、判断题1.方程$x^2=4x$的解是$x=4$。（）2.一元二次方程$x^2-2x+1=0$有两个相等的实数根。（）3.用配方法解方程$x^2-4x+1=0$，配方后得到$(x-2)^2=3$。（）4.方程$2x^2+3x-4=0$没有实数根。（）5.若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为$0$，则$c=0$。（）6.一元二次方程$x^2-3x+2=0$的两根之和为$3$。（）7.方程$(x-1)(x+2)=1$化为一般形式是$x^2+x-3=0$。（）8.用公式法解方程$3x^2-2x-1=0$时，$b^2-4ac=(-2)^2-4\times3\times(-1)=16$。（）9.若一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。（）10.关于$x$的方程$mx^2+x-m=0$是一元二次方程。（）答案：1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.用因式分解法解方程$x^2-5x+6=0$。将方程左边因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，则$x-2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。2.用配方法解方程$x^2+4x-1=0$。移项得$x^2+4x=1$，配方得$x^2+4x+4=1+4$，即$(x+2)^2=5$，开方得$x+2=\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=-2+\sqrt{5}$，$x_2=-2-\sqrt{5}$。3.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-3x+m=0$有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围。根据判别式$\Delta=b^2-4ac$，这里$a=1$，$b=-3$，$c=m$，因为有两个不相等实数根，所以$\Delta=(-3)^2-4\times1\timesm\gt0$，即$9-4m\gt0$，解得$m\lt\frac{9}{4}$。4.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出$20$件，每件盈利$40$元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价$1$元，商场平均每天可多售出$2$件。若商场平均每天要盈利$1200$元，每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫应降价$x$元，则每天可多销售$2x$件，每件利润为$(40-x)$元，销售量为$(20+2x)$件。根据盈利$1200$元可列方程$(40-x)(20+2x)=1200$，展开得$800+60x-2x^2=1200$，移项化为标准形式$2x^2-60x+400=0$，即$x^2-30x+200=0$，因式分解得$(x-10)(x-20)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=20$，所以每件衬衫应降价$10$元或$20$元。五、讨论题1.比较配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的优缺点。配方法优点是能直观看到方程的变形过程，缺点是步骤较繁琐。公式法优点是通用，直接代入公式计算，缺点是计算判别式时可能较复杂。因式分解法优点是简单快捷，缺点是不是所有方程都能直接因式分解。2.对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），当$b^2-4ac\gt0$，$b^2-4ac=0$，$b^2-4ac\lt0$时，方程根的情况分别是怎样的？并举例说明。当$b^2-4ac\gt0$时，方程有两个不相等的实数根，如$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，如$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$。当$b^2-4ac\lt0$时，方程没有实数根，如$x^2+x+1=0$。3.在解一元二次方程时，如何选择合适的解法？结合具体例子说明。如果方程容易因式分解，优先选择因式分解法，如$x^2-5x+6=0$，用因式分解得$(x-2)(x-3)=0$。如果方程不能直接因式分解，再考虑配方法或公式法。配方法适用于二次项系数为$1$且一次项系数为偶数的方程，如$x^2+4x-1=0$。公式法是通用方法，对于所有一元二次方程都适用，如$2x^2-3x-1=0$。4.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1$，$x_2$，且$x_1^2+x_2^2=17$，求$k$的值。由韦达定理得$x_1+x_2=-(2k-1)$，$x_1x_2=k^2$。$x_1^2