2026届锡林郭勒市重点中学数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析

2026届锡林郭勒市重点中学数学九年级第一学期期末调研模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．sin30°的值为（）A． B． C．1 D．2．为了解圭峰会城九年级女生身高情况，随机抽取了圭峰会城九年级100名女生，她们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x＜150150≤x＜155155≤x＜160160≤x＜165x≥165频数22352185根据以上结果，随机抽查圭峰会城九年级1名女生，身高不低于155cm的概率是（）A．0.25 B．0.52 C．0.70 D．0.753．如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是（）A． B． C． D．4．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝1．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断5．一个小正方体沿着斜面前进了10米，横截面如图所示，已知，此时小正方体上的点距离地面的高度升高了()A．5米 B．米 C．米 D．米6．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（）A．的三边高线的交点处B．的三角平分线的交点处C．的三边中线的交点处D．的三边中垂线线的交点处7．如图，AD是的一条角平分线，点E在AD上．若，，则与的面积比为（）A．1:5 B．5:1 C．3:20 D．20:38．如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，则下列结论，①c<0，②2a+b=0；③a+b+c=0，④b2–4ac<0，其中正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．49．四边形为平行四边形，点在的延长线上，连接交于点，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10．方程的解是（）A． B． C．， D．，二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=．12．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____．13．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝_____cm．14．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形ABC，点D是母线AC的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm．15．如图，边长为2的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为__________．16．2sin30°+tan60°×tan30°＝_____．17．如图，在矩形中，点为的中点，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则.其中正确的结论是______________.(填写所有正确结论的序号)18．已知△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，如果△ABC的面积为4，则△DEF的面积为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）（1）计算：（2）若关于的方程有两个相等的实数根，求的值.20．（6分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

21．（6分）解方程：x2－2x－3＝022．（8分）如图是由相同的5个小正方体组成的几何体，请画出它的三种视图，若每个小正方体的棱长为a，试求出该几何体的表面积.23．（8分）解方程：（1）（公式法）（2）24．（8分）计算:()-1-cos45°-(2020+π)0+3tan30°25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=-x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行选择.【详解】sin30°=，故选：B.此题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.2、D【分析】直接利用不低于155cm的频数除以总数得出答案．【详解】∵身高不低于155cm的有52+18+5=1(人)，∴随机抽查圭峰会城九年级1名女生，身高不低于155cm的概率是：=0.1．故选：D．本题考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．3、C【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．【详解】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC-AF=AC-DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF1+DF1=CD1，即（3a）1+（4a）1=x1，解得：a=，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a1=x1．故选C．本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．4、A【解析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.【详解】解：∵圆心O到直线l的距离d=1，⊙O的半径R=4，∴d>R，∴直线和圆相离．故选：A．本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．5、B【分析】根据题意，用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．【详解】解：Rt△ABC中，AB=2BC，

设BC=x，则AC=2x，

根据勾股定理可得，

x2+（2x）2=102，

解得x=或x=（负值舍去），即小正方体上的点N距离地面AB的高度升高了米，

故选：B．此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理的知识，此题比较简单．6、D【分析】根据题意知，猫应该蹲守在到三个洞口的距离相等的位置上，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【详解】解：根据三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，可知猫应该蹲守在△ABC三边的中垂线的交点上．

故选：D．考查了三角形的外心的概念和性质．要熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．7、C【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=3：2，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED，根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．【详解】解：∵AE：ED=3：2，

∴AE：AD=3：5，

∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，

∴△ABE∽△ACD，

∴S△ABE：S△ACD=9：25，

∴S△ACD=S△ABE，

∵AE：ED=3：2，

∴S△ABE：S△BED=3：2，

∴S△ABE=S△BED，

∴S△ACD=S△ABE=S△BED，

∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，

∴S△BDE：S△ABC=3：20，

故选：C．本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．8、B【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①抛物线与y轴交于负半轴，则c＜1，故①正确；②对称轴x1，则2a+b=1．故②正确；③由图可知：当x=1时，y=a+b+c＜1．故③错误；④由图可知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞1．故④错误．综上所述：正确的结论有2个．故选B．本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9、D【分析】根据四边形为平行四边形证明，从而出，对各选项进行判断即可．【详解】∵四边形为平行四边形∴∴∴∴∵，∴故答案为：D．本题考查了平行四边形的线段比例问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定是解题的关键．10、C【分析】先把从方程的右边移到左边，并把两边都除以4化简，然后用因式分解法求解即可.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，.故选C.本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、π.【解析】图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E.

F,则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3−r,BD=4−r∴3−r+4−r=5,r==1∴S1=π×12=π图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD=,BD=5−=，由(1)得：⊙O的半径=,⊙E的半径=，∴S1+S2=π×()2+π×()2=π.图3,由S△CDB=××=×4×MD∴MD=，由勾股定理得：CM=,MB=4−=，由(1)得：⊙O的半径=,⊙E的半径=，∴⊙F的半径=，∴S1+S2+S3=π×()2+π×()2+π×()2=π12、1【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到，求得BC的长，从而使问题得解.【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴．∵AB=6，BD=4，∴，∴BC=9，∴CD=BC-BD=9-4=1．本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.．13、2或1【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．【详解】解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝(5﹣x)cm以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当AD：PB＝PA：BC时，，解得x＝2或1．②当AD：BC＝PA+PB时，，解得x＝1，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或1．故答案为2或1．本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．14、25【详解】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=nπ×4180∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，∴在圆锥侧面展开图中BD=20=2∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25cm．故答案为：25．15、【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．【详解】解：∵与相切于点，与交于点∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt△CDF中,由勾股定理得:DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=,则DF=∴的面积为=故答案为．本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．16、2【分析】特殊值：sin30°=，tan60°=，tan30°=,本题是特殊角，将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：2sin30°+tan60°×tan30°=2×+×=1+1=2本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．17、①③④【分析】根据矩形的性质和余角的性质可判断①；延长CB，FE交于点G，根据ASA可证明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，进一步即可求得AF、BC与CF的关系，S△CEF与S△EAF+S△CBE的关系，进而可判断②与③；由，结合已知和锐角三角函数的知识可得，进一步即可根据AAS证明结论④；问题即得解决．【详解】解：∵，，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴，，所以①正确；延长CB，FE交于点G，如图，在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG，∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF，∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②错误；∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正确；若，则，，，在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正确．综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．本题考查了矩形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数等知识，综合性较强，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．18、1【解析】由△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得它们的面积比是4：1，又由△ABC的面积为4，即可求得△DEF的面积．【详解】∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，

∴它们的面积比是4：1，

∵△ABC的面积为4，

∴△DEF的面积为：4×=1．

故答案为：1．本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理．三、解答题(共66分)19、（1）6；（2）.【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b2-4ac=0,列方程求解.【详解】解：（1）；（2）∵有两个相等的实数根，∴b2-4ac=22-4(2m-1)=0,∴m=1.本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键.20、河宽为17米．【解析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴，∴AB＝17，即河宽为17米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.21、,【解析】试题分析：用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：,或,,.点睛：解一元二次方程的常用方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.22、图形见解析；20a2.【解析】试题分析：分别利用三视图的观察角度不同进而得出其三视图，底层有四个小正方体，上层有一个小正方体，其中看不到的面有10个，可以根据不同的方法来求表面积.试题解析：该几何体的三种视图如图所示；，或【点睛】本题考查了简单组合体的三视图和表面积，解题的关键是明确三视图要从不同的方向看，求表面积时的关键是要结合图形确定重叠的部分．23、（1），（2），【分析】（1）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：（1），∵，，，∴，∴，∴，；（2），∴，∴，∴或，∴，.本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的方法和步骤.24、.【分析】根据负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值计算即可.【详解】解：()-1-cos45°-(2020+π)0+3tan30°=2--1+=2-1-1+=此题考查的是实数的混合运算，掌握负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值是解决此题的关键.25、（1）12cm；（2）【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案；（2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案．【详解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝＝25（cm），∵BC×AD＝AB×AC，∴AD＝＝＝12（cm）；即BC边上的高为12cm；（2）设正方形EFGH的边长为xcm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴＝，即＝，解得：x＝，即正方形EFGH的边长为cm．本题考查正方形的