2026届四川省达州市高三“零诊”模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省达州市2026届高三“零诊”模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合A=x|1<x2<9,B=A．0,1,2 B．1,2 C．-2,2 D．-2,-1,1,2【答案】C【解析】1<x即x2-1>0且即(x+1)(x-1)>0且(x+3)(x-3)<0，得-3<x<-1或1<x<3，则A=-3,-1所以A∩B=-2,2故选：C.2．已知复数z满足z=3-i1-i，则复数A．2i B．i C．2 D．1【答案】D【解析】因为z=3-i1-i故选：D.3．已知向量a→，b→的夹角为120°，a→=2，b=1A．3 B．2 C．23 D．【答案】C【解析】因为a→所以a→故选：C.4．三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和种植的果树数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和种植的果树数，i=1,2,3.记pi为第iA．p1，p2，p3中最大的是p1 B．p1，C．p1，p2，p3中最大的是p3 D．p1，【答案】B【解析】若pi为第i则pi为线段A故p1,p故选：B.5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（

）A．25 B．22 C．π3【答案】D【解析】如图：△ABC为圆锥的轴截面，其中BC=2，AB=AC=3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O.由于AM=32-设内切圆半径为r，则S=1解得r=22，其体积故选：D.6．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线lA．2 B．2 C．22 D．【答案】B【解析】因为P，Q两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得PF1-又PF1=2PF又QF2=3PF在△PF2F在△QF2F因为∠PF2F化简整理得c2=4a故选：B.7．已知函数f(x)=2sinωx-π6(ω>0)在0,π3A．0,23 B．114,173【答案】D【解析】当0<x<π3时，因为ω>0，则因为函数fx在0,π3上存在最值，可得ω当2π3<x<因为函数fx在2π3所以2πω3-π所以32k-1又因为ω>2，则43<k≤73，所以因此ω的取值范围是52故选：D．8．关于x的不等式ex2+lnx-A．1+ln2,+∞ B．2+ln2,+∞【答案】C【解析】题中式子变形为ex-令fx=e且原不等式等价于fx-所以，x-ln2>3.即故选：C.二、多选题9．已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（

）A．共有A7B．若女生互不相邻，共1440种不同的排法C．若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法D．若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法【答案】ABD【解析】对于A，7个人全排列，共有A77种不同的排法，对于B，先排男生，再把女生插入空隙，有A44A对于C，分别把男生、女生视为一个整体排列，共有A44A对于D，7个人全排列，而男生的排列方法只占1A44，共有A7答案：ABD.10．已知曲线C:3x2+2xy+3A．曲线C关于原点对称B．直线x=1与曲线C有公共点C．曲线C上任一点的纵坐标的取值范围是-D．曲线C上任一点与原点距离的取值范围是1【答案】AD【解析】选项A，取曲线C上任一点a,b，其关于原点的对称点为-a,-b.仍然满足曲线C方程，所以A正确；选项B，将x=1代入曲线C的方程，得3y2+2y+2=0，则Δ=2选项C，由3x2+2xy+3由Δ=4y2-123y选项D，设曲线C上任一点坐标为a,b，该点到原点的距离为d=a则一方面，1=3即a2+b2≥另一方面，1=3a即a2+b2≤因此曲线C上任一点与原点距离的取值范围为12,22故选：AD.11．设5+22n+1的整数部分为an，小数部分为bA．数列an+bn为等比数列C．bnan+b【答案】ABC【解析】由5+25-2两式相减可得，5=2=2C由于C2n+115所以5+22n+1的整数部分即为5+2所以an=5+22n+1数列an+bn是以5+2由5+23>1，5数列an+bn为递增数列，数列故B正确；bnanan的个位数与22n+2的个位数相同，只能是4或6，故D故选：ABC.三、填空题12．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C【答案】3,0【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知AF=xA∴p2=3，所以抛物线C故答案为：3,0.13．设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差，随机变量ξ等可能地取x1，x2，x3，【答案】203【解析】因为等差数列x1，x2，x3，…，x所以Eξ所以x1则Eξ=x所以方差为Dξ故答案为：20314．若函数fx（x∈R）满足fx=f2-x，且函数y=x2-2x-3的图象与函数fx的图象的交点分别为x1【答案】7【解析】函数fx（x∈R）满足fx函数y=x2-2x-3故它们图象的交点也关于直线x=1对称，两函数图象的交点分别为x1,y1，x2不妨设x1<x2<…<x7x1故7∑故答案为：7.四、解答题15．为了让学生感受文学名著的语言魅力，品味文学名著的博大精深，某中学规定了包含中国四大名著在内的20本中外名著作为该校学生的必读书目.为了了解活动进行的情况，学校在高三年级男生、女生中按分层抽样的方式随机抽取了100名学生进行阅读书目数的调查.根据调查结果将阅读书目数分组为0,4，4,8，8,12，12,16，16,20，得到这100名学生阅读书目数的频率分布直方图（左图）和其中男生阅读书目数的频数分布表（右表）.已知该校高三年级男生、女生人数比例为3:2.（1）求右表中a的值并估计出该校高三年级女生的阅读书目数的众数.（2）学校规定阅读书目数不低于12的同学获优秀奖.完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关.附：K2=n解：（1）抽取的100名学生中，男生有100×35=60人，所以5+a+18+18+2=60所以女生的阅读书目数的众数估计值为12+162（2）列联表为：假设H0所以，K2故没有95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关.16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c-b=2bcos（1）设A与B存在函数关系，并记A=fB，求函数f（2）求1tanB解：（1）由正弦定理得，sinC-所以sinA+B即sinA-B解得A-B=B或A-B+B=π（舍），所以A=2B因为△ABC为锐角三角形，A=2B，C=π由0<B<π20<2B<故函数fB=2B，（2）1tan当且仅当1sinA=43sinA即sin所以等号取不到.令sinA=t，则t∈32,1，对函数y=1所以函数y=1t+当t=32时，y=43所以函数y=1t+故1tanB-17．在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形ABCDEF中，△ABE≌△AFC，∠CDB=∠CAE=60°.将△BCD和△DEF分别沿BD，DF翻折至△BMD和△DNF，使得MB//（1）证明：MB⊥平面ABCDEF；（2）求二面角D-AN-M的正弦值.（1）证明：为△ABE≌△AFC，所以∠ABE=∠AFC.因∠CDB=∠CAE，所以∠BAF+∠BDF=180°，从而∠ABE=∠AFC=90°.即MB⊥BE，NF⊥FC，因为MB//NF，所以因为BE∩FC=D，BE,FC⊂平面ABCDEF，故MB⊥平面ABCDEF；（2）解：由（1）知，MB⊥平面ABCDEF，又AB,BE⊂平面ABCDEF，所以MB⊥AB，MB⊥BE，又∠ABE=90°，故MB,EB,AB两两垂直，以B为坐标原点，BE,BA,BM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图：设BD=a，因为∠CDB=∠CAE=60°，则DF=a,AB=AF=3则Da,0,0，A0,3a,0，所以DA=-a,3设平面DAN的一个法向量为n=则AN⋅令y=1得x=3,z=-1，所以平面DAN的一个法向量可取为又因MA=0,3a,-3则AN⋅令x1=1，则所以平面MAN的一个法向量为m=所以cosm设二面角D-AN-M的大小为θ，则sinθ=从而二面角D-AN-M的正弦值为47018．在△ABC中，已知B-1,0，C1,0，设G,H,W分别是△ABC的重心、垂心、外心，且存在λ∈R（1）求点A的轨迹Γ的方程；（2）求△ABC的外心W的纵坐标m的取值范围；（3）设直线AW与Γ的另一个交点为M，记△AWG与△MGH的面积分别为S1,S2，是否存在实数λ使S解：（1）设Ax,yy≠0，则△ABC的重心B-1,0，C1,0，则H为垂心，故H因为存在λ∈R使GH=λBC=2λ,0，故y而BA=x+1,y，由垂心定义得CH⋅BA=0所以点A的轨迹Γ的方程为x2（2）由外心的定义知点W在y轴上，则W0,mAB的中点Nx-12,所以WN⋅BA=与Γ的方程为x2+y因为y∈-3,0（3）由对称性，不妨设点A在第一象限，设Ax1,y1，M联立方程x=ty-mx2Δ=36m2ty1+y2=由条件知Gx13,y13，H由GH=2x13所以S1令3t2+123t又点Ax1,y1在直线AM即x1=12y1-y13又GH=λBC，所以GH=λBC所以，当点A在第一、四象限时，λ=16；当点A在第二、三象限时，故存在实数λ=±16使19．已知函数fx（1）求函数fx在0,2（2）当x∈0,π时，fx（3）证明：方程fx=sinx+（1）解：因为fx=exsin则x+π当x+π4∈π4,π当x+π4∈π,2π时，即当x+π4∈2π,9π4故所求单调递减区间为34（2）解：因为x∈0,π，所以sinx>0，故由f设gx=e①当a≤0时，则g'x>0，所以gx从而g0=1-b≥0，解得b≤1，此时，②当0<a≤1时，g'x>0在0,则需g0≥0，即b≤1，此时当1<a<eπ时，则0<x<lna时，lna<x<π时，g'x所以glna=a-a此时，a+b≤2a-aln设ha=2a-alna，当1<a<e时，h'a当e<a<eπ时，h'所以hamax=he=e，即a+b≤综合可知a+b的最大值为e.③当a≥eπ时，gx在从而gπ=e此时a+b≤e综上，a+b的最大值为e.（3）证明：设φx则φ'设mx=sin设nx=2e而n'x的导数所以n'x在0,因为n'0=3>0所以存在唯一x1∈0,当x∈0,x1时、n'x>0，m'x又因为m'0=0,m所以存在唯一x2∈0,当x∈0,x2时，mx即φ'又因为φ'0=0，φ所以存在唯一x3∈0,当x∈0,x3时，φ'x>0，φx又因为φ0=0，φx所以存在唯一x4∈0,即方程fx=sinx+四川省达州市2026届高三“零诊”模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合A=x|1<x2<9,B=A．0,1,2 B．1,2 C．-2,2 D．-2,-1,1,2【答案】C【解析】1<x即x2-1>0且即(x+1)(x-1)>0且(x+3)(x-3)<0，得-3<x<-1或1<x<3，则A=-3,-1所以A∩B=-2,2故选：C.2．已知复数z满足z=3-i1-i，则复数A．2i B．i C．2 D．1【答案】D【解析】因为z=3-i1-i故选：D.3．已知向量a→，b→的夹角为120°，a→=2，b=1A．3 B．2 C．23 D．【答案】C【解析】因为a→所以a→故选：C.4．三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和种植的果树数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和种植的果树数，i=1,2,3.记pi为第iA．p1，p2，p3中最大的是p1 B．p1，C．p1，p2，p3中最大的是p3 D．p1，【答案】B【解析】若pi为第i则pi为线段A故p1,p故选：B.5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（

）A．25 B．22 C．π3【答案】D【解析】如图：△ABC为圆锥的轴截面，其中BC=2，AB=AC=3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O.由于AM=32-设内切圆半径为r，则S=1解得r=22，其体积故选：D.6．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线lA．2 B．2 C．22 D．【答案】B【解析】因为P，Q两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得PF1-又PF1=2PF又QF2=3PF在△PF2F在△QF2F因为∠PF2F化简整理得c2=4a故选：B.7．已知函数f(x)=2sinωx-π6(ω>0)在0,π3A．0,23 B．114,173【答案】D【解析】当0<x<π3时，因为ω>0，则因为函数fx在0,π3上存在最值，可得ω当2π3<x<因为函数fx在2π3所以2πω3-π所以32k-1又因为ω>2，则43<k≤73，所以因此ω的取值范围是52故选：D．8．关于x的不等式ex2+lnx-A．1+ln2,+∞ B．2+ln2,+∞【答案】C【解析】题中式子变形为ex-令fx=e且原不等式等价于fx-所以，x-ln2>3.即故选：C.二、多选题9．已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（

）A．共有A7B．若女生互不相邻，共1440种不同的排法C．若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法D．若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法【答案】ABD【解析】对于A，7个人全排列，共有A77种不同的排法，对于B，先排男生，再把女生插入空隙，有A44A对于C，分别把男生、女生视为一个整体排列，共有A44A对于D，7个人全排列，而男生的排列方法只占1A44，共有A7答案：ABD.10．已知曲线C:3x2+2xy+3A．曲线C关于原点对称B．直线x=1与曲线C有公共点C．曲线C上任一点的纵坐标的取值范围是-D．曲线C上任一点与原点距离的取值范围是1【答案】AD【解析】选项A，取曲线C上任一点a,b，其关于原点的对称点为-a,-b.仍然满足曲线C方程，所以A正确；选项B，将x=1代入曲线C的方程，得3y2+2y+2=0，则Δ=2选项C，由3x2+2xy+3由Δ=4y2-123y选项D，设曲线C上任一点坐标为a,b，该点到原点的距离为d=a则一方面，1=3即a2+b2≥另一方面，1=3a即a2+b2≤因此曲线C上任一点与原点距离的取值范围为12,22故选：AD.11．设5+22n+1的整数部分为an，小数部分为bA．数列an+bn为等比数列C．bnan+b【答案】ABC【解析】由5+25-2两式相减可得，5=2=2C由于C2n+115所以5+22n+1的整数部分即为5+2所以an=5+22n+1数列an+bn是以5+2由5+23>1，5数列an+bn为递增数列，数列故B正确；bnanan的个位数与22n+2的个位数相同，只能是4或6，故D故选：ABC.三、填空题12．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C【答案】3,0【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知AF=xA∴p2=3，所以抛物线C故答案为：3,0.13．设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差，随机变量ξ等可能地取x1，x2，x3，【答案】203【解析】因为等差数列x1，x2，x3，…，x所以Eξ所以x1则Eξ=x所以方差为Dξ故答案为：20314．若函数fx（x∈R）满足fx=f2-x，且函数y=x2-2x-3的图象与函数fx的图象的交点分别为x1【答案】7【解析】函数fx（x∈R）满足fx函数y=x2-2x-3故它们图象的交点也关于直线x=1对称，两函数图象的交点分别为x1,y1，x2不妨设x1<x2<…<x7x1故7∑故答案为：7.四、解答题15．为了让学生感受文学名著的语言魅力，品味文学名著的博大精深，某中学规定了包含中国四大名著在内的20本中外名著作为该校学生的必读书目.为了了解活动进行的情况，学校在高三年级男生、女生中按分层抽样的方式随机抽取了100名学生进行阅读书目数的调查.根据调查结果将阅读书目数分组为0,4，4,8，8,12，12,16，16,20，得到这100名学生阅读书目数的频率分布直方图（左图）和其中男生阅读书目数的频数分布表（右表）.已知该校高三年级男生、女生人数比例为3:2.（1）求右表中a的值并估计出该校高三年级女生的阅读书目数的众数.（2）学校规定阅读书目数不低于12的同学获优秀奖.完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关.附：K2=n解：（1）抽取的100名学生中，男生有100×35=60人，所以5+a+18+18+2=60所以女生的阅读书目数的众数估计值为12+162（2）列联表为：假设H0所以，K2故没有95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关.16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c-b=2bcos（1）设A与B存在函数关系，并记A=fB，求函数f（2）求1tanB解：（1）由正弦定理得，sinC-所以sinA+B即sinA-B解得A-B=B或A-B+B=π（舍），所以A=2B因为△ABC为锐角三角形，A=2B，C=π由0<B<π20<2B<故函数fB=2B，（2）1tan当且仅当1sinA=43sinA即sin所以等号取不到.令sinA=t，则t∈32,1，对函数y=1所以函数y=1t+当t=32时，y=43所以函数y=1t+故1tanB-17．在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形ABCDEF中，△ABE≌△AFC，∠CDB=∠CAE=60°.将△BCD和△DEF分别沿BD，DF翻折至△BMD和△DNF，使得MB//（1）证明：MB⊥平面ABCDEF；（2）求二面角D-AN-M的正弦值.（1）证明：为△ABE≌△AFC，所以∠ABE=∠AFC.因∠CDB=∠CAE，所以∠BAF+∠BDF=180°，从而∠ABE=∠AFC=90°.即MB⊥BE，NF⊥FC，因为MB//NF，所以因为BE∩FC=D，BE,FC⊂平面ABCDEF，故MB⊥平面ABCDEF；（2）解：由（1）知，MB⊥平面ABCDEF，又AB,BE⊂平面ABCDEF，所以MB⊥AB，MB⊥BE，又∠ABE=90°，故MB,EB,AB两两垂直，以B为坐标原点，BE,BA,BM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图：设BD=a，因为∠CDB=∠CAE=60°，则DF=a,AB=AF=3则Da,0,0，A0,3a,0，所以DA=-a,3设平面DAN的一个法向量为n=则AN⋅令y=1得x=3,z=-1，所以平面DAN的一个法向量可取为又因MA=0,3a,-3则AN⋅令x1=1，则所以平面MAN的一个法向量为m=所以cosm设二面角D-AN-M的大小为θ，则sinθ=从而二面角D-AN-M的正弦值为47018．在△ABC中，已知B-1,0，C1,0，设G,H,W分别是△ABC的重心、垂心、外心，且存在λ∈R（1）求点A的轨迹Γ的方程；（2）求△ABC的外心W的纵坐标m的取值范围；（3）设直线AW与Γ的另一个交点为M，记△AWG与△MGH的面积分别