2025年下学期高中数学单元过关检测试卷

2025年下学期高中数学单元过关检测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))函数(f(x)=\sqrt{\log_2(x-1)}+\frac{1}{x-3})的定义域是（）A.([2,3)\cup(3,+\infty))B.((1,3)\cup(3,+\infty))C.([2,+\infty))D.((1,+\infty))已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec{b}))，则(m=)（）A.(-4)B.(-1)C.(1)D.(4)已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，则(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.(-7)D.(7)函数(f(x)=x^3-3x^2+2)在区间([-1,2])上的最大值是（）A.(2)B.(0)C.(-2)D.(-4)已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，则公比(q=)（）A.(3)B.(-4)C.(3)或(-4)D.(-3)或(4)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)（注：此处默认三视图为一个底面半径3cm、高4cm的圆柱挖去一个同底等高的圆锥）已知直线(l:y=kx+1)与圆(C:(x-1)^2+(y+2)^2=9)相交于(A,B)两点，若(|AB|=4\sqrt{2})，则(k=)（）A.(-2)B.(-\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.(2)已知函数(f(x)=\cos(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分图象如图所示，则(\omega,\varphi)的值分别为（）A.(\omega=2)，(\varphi=-\frac{\pi}{3})B.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{3})C.(\omega=1)，(\varphi=-\frac{\pi}{6})D.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{6})（注：此处默认图象显示周期为(\pi)，且过点((\frac{\pi}{6},1))）已知(a=\log_32)，(b=\ln2)，(c=2^{0.1})，则(a,b,c)的大小关系是（）A.(a<b<c)B.(b<a<c)C.(c<a<b)D.(c<b<a)已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的一条渐近线方程为(y=2x)，且过点((1,2\sqrt{3}))，则双曲线的焦距为（）A.(2\sqrt{5})B.(4\sqrt{5})C.(\sqrt{5})D.(2\sqrt{3})已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})若关于(x)的方程(f(x)=kx-1)有且仅有三个不同的实根，则实数(k)的取值范围是（）A.((0,1))B.((0,\frac{1}{e}))C.((\frac{1}{e},1))D.((1,+\infty))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若((x+\frac{1}{x})^n)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中(x^2)的系数为________。已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3+a_5=10)，则(S_7=)________。某公司为了解员工对“办公自动化”课程的掌握程度，随机抽取了100名员工进行测试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示（注：此处默认直方图中各组数据频率分别为：[50,60)0.1，[60,70)0.2，[70,80)0.4，[80,90)0.2，[90,100]0.1），则这100名员工成绩的中位数为________。在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，则该三棱锥外接球的表面积为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)。（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且满足(b\cosA=(2c-a)\cosB)。（1）求角(B)的大小；（2）若(b=3)，(\triangleABC)的面积为(\frac{3\sqrt{3}}{2})，求(a+c)的值。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，点(D,E)分别为(BC,B_1C_1)的中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱锥(A_1-ADE)的体积。（本小题满分12分）某工厂生产一种精密仪器，已知该仪器的固定成本为200万元，每生产一台仪器需增加成本10万元，设该仪器的年产量为(x)台（(x\in\mathbb{N}^*)），当(x\leq40)时，年销售总收入为((30x-\frac{1}{2}x^2))万元；当(x>40)时，年销售总收入为600万元。设该工厂生产仪器的年利润为(y)万元。（1）求(y)关于(x)的函数关系式；（2）当年产量为多少台时，该工厂的年利润最大？最大年利润是多少？（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求证：(\triangleAOB)的面积为定值。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在区间((1,+\infty))上单调递减，求(a)的取值范围；（3）若函数(f(x))有两个极值点(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），求证：(x_1+x_2>2)。参考答案及评分标准（部分）一、选择题A2.A3.D4.A5.A6.C7.B8.B9.A10.A11.B12.C二、填空题21014.3515.7516.(19\pi)三、解答题（部分详解）（1）证明：由(a_{n+1}=2a_n+1)，得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，又(a_1+1=2)，故数列({a_n+1})是以2为首项，2为公比的等比数列。（5分）（2）解：由（1）知(a_n+1=2^n)，则(a_n=2^n-1)，故(S_n=(2^1+2^2+\cdots+2^n)-n=2^{n+1}-n-2)。（10分）（1）解：由正弦定理得(\sinB\cosA=(2\sinC-\sinA)\cosB)，化简得(\sin(A+B)=2\sinC\cosB)，即(\sinC=2\sinC\cosB)，又(\sinC\neq0)，故(\cosB=\frac{1}{2})，(B=\frac{\pi}{3})。（6分）（2）解：由面积公式得(\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{3\sqrt{3}}{2})，即(ac=6)。由余弦定理得(a^2+c^2-ac=9)，即((a+c)^2-3ac=9)，解得(a+c=\sqrt{27}=3\sqrt{3})。（12分）（1）证明：连接(A_1B)，(A_1C)，在直三棱柱中，(D,E)分别为(BC,B_1C_1)的中点，故(DE\parallelA_1B)，又(A_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，所以(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（6分）（2）解：以(A)为原点，(AB,AC,AA_1)为坐标轴建立空间直角坐标系，得(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(E(1,1,2))，(A_1(0,0,2))。向量(\overrightarrow{AD}=(1,1,0))，(\overrightarrow{AE}=(1,1,2))，(\overrightarrow{AA_1}=(0,0,2))，三棱锥体积(V=\frac{1}{3}S_{\triangleADE}\cdot|AA_1|=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2=\frac{2}{3})。（12分）（1）解：当(x\leq40)时，(y=30x-\frac{1}{2}x^2-10x-200=-\frac{1}{2}x^2+20x-200)；当(x>40)时，(y=600-10x-200=400-10x)。综上，(y=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+20x-200,&x\leq40,\400-10x,&x>40\end{cases})（6分）（2）解：当(x\leq40)时，(y=-\frac{1}{2}(x-20)^2+0)，故当(x=20)时，(y_{\text{max}}=0)；当(x>40)时，(y=400-10x)单调递减，此时(y<0)。综上，年产量为20台时，年利润最大，最大利润为0万元。（12分）（1）解：由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)。将点((2,1))代入椭圆方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）证明：联立直线与椭圆方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，则(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，得(4y_1y_2+x_1x_2=0)，代入化简得(2m^2=4k^2+1)。原点到直线(l)的距离(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{4\sqrt{2(1+k^2)}}{1+4k^2})，故(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|d=\sqrt{2})（定值）。（12分）（1）解：当(a=1)时，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)。令(f'(x)=0)，得(x=1)或(x=e^0=1)（导数在(x=1)处为0，且在((0,1))上(f'(x)>0)，在((1,+\infty))上(f'(x)<0)），故(f(x))的单调递增区间为((0,1))，单调递减区间为((1,+\infty))。（4分）（2）解：(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，由题意得(f'(x)\leq0)在((1,+\infty))上恒成立，即(2a\geq\frac{\lnx}{x-1})。令(g(x)=\frac{\lnx}{x-1}(x>1))，则(g'(x)=\frac{\frac{x-1}{x}-\lnx}{(x-1)^2})，令(h(x)=\frac{x-1}{x}-\lnx)，则(h'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}<0)，故(h(x)<h(1)=0)，(g(x))在((1,+\infty))上单调递减，(\lim_{x\to1^+}g(x)=1)，故(2a\geq1)，(a\geq\frac{1}{2})。（8分）（3）证明：由极值点定义得(x_1,x_2)是(f'(x)=0)的两根，即(\lnx_1=2a(x_1-1))，(\lnx_2=2a(x_2-1))。两式相减得(\ln\frac{x_1}{x_2}=2a(x_1-x_2))，令(t=\frac{x_1}{x_2}(0<t<1))，则(x_1=tx_2)