2025年下学期高中基于问题学习数学试卷

2025年下学期高中基于问题学习数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.情境应用题：快递配送优化某快递公司为提升配送效率，对某区域的配送路线进行优化。已知该区域内有A、B、C三个配送点，其中A到B的距离为5km，B到C的距离为12km，A到C的距离为13km。若配送员从A点出发，依次经过B、C两点后返回A点，且在每个配送点停留时间均为10分钟，配送车行驶速度为30km/h，则全程总耗时（含停留时间）为（）A.1小时14分钟B.1小时22分钟C.1小时30分钟D.1小时40分钟2.跨学科融合题：物理运动模型某物体做斜抛运动，其运动轨迹的参数方程为(x=10t\cos30^\circ)，(y=10t\sin30^\circ-5t^2)（t为时间，单位：秒；x、y为位移，单位：米）。则该物体的最大高度为（）A.1.25米B.2.5米C.5米D.10米3.逻辑推理题：AI工具甄别已知某AI模型生成的函数图像满足以下特征：①关于原点对称；②在区间(0,+∞)上单调递减；③过点(1,1)。则该函数可能是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\frac{1}{x})C.(f(x)=-x+2)D.(f(x)=\lnx)4.数据分析题：校园消费统计某高中为了解学生每月消费情况，随机抽取100名学生进行调查，得到消费金额（单位：元）的频率分布直方图如下（部分数据缺失）：若消费金额在[300,400)的频率为0.3，在[400,500]的频率为0.2，则样本中消费金额低于400元的学生人数为（）A.50B.60C.70D.805.数学文化题：《九章算术》中的几何问题《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？”其意为：现有圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径。用锯子锯它，锯口深1寸（即CD=1寸），锯道长1尺（即AB=1尺=10寸）。则该圆柱形木材的直径为（）A.13寸B.26寸C.30寸D.50寸6.函数创新题：新定义运算定义新运算“⊗”：对于任意实数a，b，有(a\otimesb=\begin{cases}a^2-b,&a\geqb\b^2-a,&a<b\end{cases})。若函数(f(x)=(x\otimes2)-(x\otimes1))，则f(x)的最小值为（）A.-2B.-1C.0D.17.立体几何题：空间几何体体积在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱A₁B₁的中点，则三棱锥E-AFD的体积为（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{2}{3})C.1D.(\frac{4}{3})8.概率统计题：游戏抽奖概率某手机游戏设置抽奖机制：每次抽奖消耗100金币，有10%概率获得稀有道具，50%概率获得普通道具，40%概率获得材料道具。若玩家连续抽奖3次，至少获得1次稀有道具的概率为（）A.0.271B.0.280C.0.290D.0.3009.数列应用题：人口增长模型某地区2025年初人口为100万，若人口年增长率为r，且每年新增就业岗位数为上一年人口的5%。设第n年初人口为aₙ（单位：万），就业岗位数为bₙ（单位：万），则以下关系式正确的是（）A.(a_{n+1}=a_n(1+r))，(b_n=0.05a_n)B.(a_{n+1}=a_n+r)，(b_n=0.05a_{n-1})C.(a_{n+1}=a_n(1+r))，(b_n=0.05a_{n-1})D.(a_{n+1}=a_n+r)，(b_n=0.05a_n)10.开放探究题：多解法比较关于方程(x^2-2x-3=0)的解法，以下说法错误的是（）A.可通过因式分解法化为(x-3)(x+1)=0B.可通过配方法化为(x-1)²=4C.可通过求根公式得(x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2})D.可通过函数图像法，观察(y=x^2-2x-3)与x轴的交点二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）11.数学建模题：环保行动方案为减少碳排放，某城市推行“绿色出行”计划，鼓励市民选择公交或自行车出行。已知该市常住人口100万，现对出行方式进行调查，得到以下数据：选择公交出行的人数占比为40%，其中每天公交出行的概率为0.8选择自行车出行的人数占比为30%，其中每天自行车出行的概率为0.6选择其他方式出行的人数占比为30%则以下说法正确的有（）A.任选1名市民，其每天选择公交出行的概率为0.32B.任选1名市民，其每天选择绿色出行（公交或自行车）的概率为0.5C.若某天有10万人选择自行车出行，则当天选择自行车出行的市民中，非日常使用者约有4万人D.若“绿色出行”计划使公交出行人数占比提升至50%，则每天公交出行的人数将增加10万12.空间几何题：动态轨迹分析在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在棱AA₁上运动，点Q在棱CC₁上运动，且AP=CQ。则以下轨迹可能正确的有（）A.线段PQ的中点M的轨迹是一条直线B.三棱锥P-BDQ的体积为定值C.直线PQ与平面ABCD所成角的大小为定值D.当P与A重合时，PQ与B₁D₁所成角为60°13.函数综合题：数据拟合与预测某公司2020-2024年的年利润（单位：万元）如下表：|年份|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------||利润|100|120|150|190|240|若用函数模型拟合该数据，以下说法正确的有（）A.线性函数模型(y=35x+65)（x为年份-2020）的拟合效果较好B.指数函数模型(y=100\times1.2^x)的拟合误差小于线性模型C.预测2025年利润时，线性模型的结果为275万元，指数模型的结果为288万元D.若2025年实际利润为300万元，则指数模型的预测精度更高三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14.算法流程图题执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为________。（流程图描述：开始→输入x→若x>0，则y=x²-1；否则y=2x+3→输出y→结束）15.几何证明题在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC中点，以D为圆心，r为半径作圆。若圆D与AB相切，则r=________。16.概率分布题某射击运动员每次射击命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，且各次射击相互独立。若该运动员连续射击3次，则命中10环次数X的数学期望E(X)=________。17.开放创新题请写出一个同时满足以下条件的函数解析式：①定义域为R；②是偶函数；③在区间(0,+∞)上单调递增；④导函数过点(1,2)。________四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（12分）三角函数与解三角形在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\sinB=\frac{5}{13})，a=10。（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积。19.（12分）立体几何如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D为A₁B₁的中点。（1）求证：CD⊥平面A₁B₁BA；（2）求二面角C-AB₁-A₁的余弦值。20.（12分）概率统计与数据素养某中学为提升学生体质，开展“阳光体育”活动，随机抽取高一年级50名学生，测量其参加体育锻炼前后的体重（单位：kg），得到以下数据：|锻炼前体重|[40,50)|[50,60)|[60,70)|[70,80]||------------|---------|---------|---------|---------||人数|5|20|15|10||锻炼后体重|[40,50)|[50,60)|[60,70)|[70,80]||人数|8|25|12|5|（1）完成锻炼前后体重的频率分布直方图，并比较锻炼前后学生体重的分布特征；（2）若从锻炼后体重在[70,80]的学生中随机选取2人，求至少有1人体重比锻炼前下降的概率（注：体重下降指锻炼后体重<锻炼前体重）。21.（12分）解析几何已知椭圆C：(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（a>b>0）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若线段AB的中点为M，直线OM（O为原点）与直线x=4交于点N，求证：MN⊥AB。22.（12分）函数与导数已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（a∈R）。（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，求a的取值范围；（3）讨论函数f(x)零点的个数。23.（12分）数学建模与综合应用某科技公司研发的智能机器人需完成一项任务：在矩形区域OABC内（O为原点，A(4,0)，C(0,3)），从O点出发，沿直线运动到边AB或BC上一点P，再沿直线运动到点B(4,3)，完成任务。已知机器人运动速度为1m/s，且在P点需停留1秒进行数据采集。（1）设P点坐标为(x,3)（x∈[0,4]），求完成任务的总时间T(x)的函数解析式；（2）当P点在边AB或BC上运动时，求总时间T的最小值及此时P点的坐标。（全卷共150分，考试时间120分钟）命题说明：本试卷严格遵循2025年高中数学教学改革方向，突出“问题驱动、