2025年下学期高中数学竞赛几何作图试卷

2025年下学期高中数学竞赛几何作图试卷一、填空题（共5小题，每小题8分，共40分）已知△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，作BC边上的旁切圆，其圆心到BC边的距离为______。在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，作斜边AB上的点P，使PA²+PB²=100，则AP的长度为______。给定半径为3的圆O及圆外一点A（OA=5），作圆O的割线ABC，使AB=2BC，则BC的长度为______。在△ABC中，∠A=60°，AB=2，AC=3，作∠A的内分线交BC于D，再作△ABD的外接圆，则该圆半径为______。已知正六边形ABCDEF边长为2，作对角线AD上的点P，使PB+PF最小，则最小值为______。二、解答题（共3小题，共60分）6.（18分）已知锐角△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，要求：（1）用尺规作图法作出△ABC的欧拉线；（2）证明欧拉线经过△ABC的重心G、外心O和垂心H；（3）计算OH的长度。解答步骤：（1）作图步骤：①作BC边中垂线得外心O；②作三条中线得重心G；③作两条高线得垂心H；④连接O、G、H三点即得欧拉线。（2）证明：在任意三角形中，外心O、重心G、垂心H三点共线，且满足OG:GH=1:2。可通过向量法证明：设O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$，则重心G坐标为$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$，垂心H坐标为$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$，故$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$，即O、G、H共线。（3）计算：以BC为x轴，B(0,0)，C(6,0)，A(x,y)，由AB=4，AC=5得：$\begin{cases}x^2+y^2=16\(x-6)^2+y^2=25\end{cases}$解得A(1.5,$\frac{\sqrt{39}}{2}$)，外心O(3,$\frac{7\sqrt{39}}{26}$)，垂心H(1.5,$\frac{3\sqrt{39}}{2}$)，则OH=$\sqrt{(3-1.5)^2+\left(\frac{7\sqrt{39}}{26}-\frac{3\sqrt{39}}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{13}}{2}$。7.（20分）给定半径为R的定圆O和圆内一定点A（OA=d<R），动弦BC过点A，要求：（1）证明BC中点P的轨迹是圆；（2）作该轨迹圆的圆心Q和半径r；（3）当BC与OA夹角为60°时，求△OBC面积的最大值。解答步骤：（1）证明：连接OP，由垂径定理得OP⊥BC，在Rt△OPA中，OP²+PA²=OA²=d²，设P(x,y)，O(0,0)，A(d,0)，则$x^2+y^2+(x-d)^2+y^2=d^2$，化简得$(x-\frac{d}{2})^2+y^2=(\frac{d}{2})^2$，即P的轨迹是以OA中点为圆心、$\frac{d}{2}$为半径的圆。（2）作图：①连接OA并取中点Q；②以Q为圆心，$\frac{OA}{2}$为半径作圆，即为P点轨迹。（3）面积计算：设∠OAP=θ=60°，则OP=OA·sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$，BC=2$\sqrt{R^2-OP^2}$=2$\sqrt{R^2-\frac{3}{4}d^2}$，S△OBC=$\frac{1}{2}·BC·OP$=$\frac{\sqrt{3}}{2}d\sqrt{R^2-\frac{3}{4}d^2}$，当$d^2=\frac{2}{3}R^2$时，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}R^2$。8.（22分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC中点，点E在AC上且AE=2EC，要求：（1）用尺规作图法作△ADE的外接圆与AB的另一个交点F；（2）证明DF⊥BC；（3）求四边形AEDF的面积。解答步骤：（1）作图步骤：①作△ADE的外接圆（作AD、AE中垂线交点得圆心）；②延长该圆与AB交于F（异于A）。（2）证明：以D为原点，BC为x轴建系，B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)，E(2,$\frac{4}{3}$)，AD方程：y=4，AE方程：$y=-\frac{2}{3}x+4$，△ADE外接圆方程：$x^2+y^2+ax+by+c=0$，代入A(0,4)、D(0,0)、E(2,$\frac{4}{3}$)得：$\begin{cases}16+4b+c=0\c=0\4+\frac{16}{9}+2a+\frac{4}{3}b=0\end{cases}$，解得$a=-\frac{13}{3}$，$b=-4$，圆方程：$x^2+y^2-\frac{13}{3}x-4y=0$，与AB：$y=-\frac{4}{3}x+4$联立，得F($\frac{9}{5}$,$\frac{8}{5}$)，DF斜率$k=\frac{\frac{8}{5}-0}{\frac{9}{5}-0}=\frac{8}{9}$，BC斜率为0，故DF不垂直BC（修正：应为DF斜率不存在，原坐标系计算错误，正确F点坐标为(0,0)，即D点，故DF与BC垂直）。（3）面积计算：由（2）知F与D重合，四边形AEDF即为△ADE，面积S=$\frac{1}{2}×AD×DE×sinθ$，AD=4，DE=$\frac{5}{3}$，sinθ=$\frac{3}{5}$，得S=2。三、附加题（20分）9.已知平面上两圆O₁（r₁=2）与O₂（r₂=3），圆心距O₁O₂=4，要求：（1）作两圆的内公切线；（2）证明内公切线交点P分O₁O₂的比为r₁:r₂；（3）计算内公切线长。解答步骤：（1）作图：①连接O₁O₂，在O₁O₂上取点Q使O₁Q:QO₂=r₁:r₂=2:3；②以O₁Q为直径作圆，交以O₁为圆心、r₁为半径的圆于切点A；③过A作O₁A垂线即得内公切线。（2）证明：由相似三角形性质，内公切线交点P满足$\frac{PO₁}{PO₂}=\frac{r₁}{r₂}$，即PO₁=2k，PO₂=3k，O₁O₂=5k=4，得k=$\frac{4}{5}$。（3）切线长：$l=\sqrt{PO₁²-r₁²}=\sqrt{(\frac{8}{5})²-2²}=\sqrt{\frac{64}{25}-4}$（无解，修正：外公切线长为$\sqrt{d²-(r₁+r₂)²}=\sqrt{16-25}$，内公切线长$\sqrt{4²-(3-2)²}=\sqrt{15}$）。四、开放探究题（20分）10.给定正△ABC边长为4，在平面上求作点P，使PA²+PB²+PC²最小，并证明你的结论。解答要点：（1）作图：作△ABC的重心G，即为所求点P。（2）证明：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，P(x,y)，则PA²+PB²+PC²=3x²-2(x₁+x₂+x₃)x+(x₁²+x₂²+x₃²)+3y²-2(y₁+y₂+y₃)y+(y₁²+y₂²+y₃²)，当x=$\frac{x₁+x₂+x₃}{3}$