浙江省温州市鹿城区2025-2026学年九年级上学期数学期中复习试卷（教师版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页浙江省温州市鹿城区2025—2026学年九年级上学期数学期中复习试卷（教师版）全卷共三大题，24小题，满分为120分．一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．下列事件中，是必然事件的是（

）A．同位角相等B．打开电视，正在播出特别节目《战疫情》C．经过红绿灯路口，遇到绿灯D．长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形．【答案】D【分析】根据必然事件的概念即可得出答案．【详解】解：∵同位角不一定相等，为随机事件，∴A选项不合题意，∵打开电视，不一定正在播出特别节目《战疫情》，为随机事件，∴B选项不合题意，∵车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，为随机事件，∴C选项不合题意，∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形为必然事件，．∴D选项符合题意，故选：D．2．对于二次函数的图像，下列说法正确的是（

）A．开口向下 B．对称轴是直线C．顶点坐标是 D．过点【答案】C【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断A、B、C，通过判定是否满足函数解析式可判断D，即可解答．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，故A、B均不正确，C正确；令可得，即函数图像不过点，故D不符合题意；故选：C．3．如图，点A、B、C在上，若，的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧上的圆周角等于圆心角的一半求解即可．【详解】解：∵点A、B、C在上，∴，∵，∴，故选：A．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（

）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【详解】抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D．在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列表法进行计算即可．【详解】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，∴；故选B．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据已知可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由，可得，等量代换可得，进而根据三角形的外角的性质可得．【详解】解：连接，如图，，，，，，，而，，，，．故选：B．

7．已知点，，都在抛物线上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可求解，理解“抛物线开口方向向上时，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大.”是解题的关键.【详解】解：，抛物线开口向上，对称轴为，到对称轴的距离为个单位长度，到对称轴的距离为个单位长度，到对称轴的距离为个单位长度，抛物线开口向上，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大，．故选：A．8．小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（

）掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率【答案】C【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键．根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为；D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率．故选：C．9.如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解．【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴，∵，∴，根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，∴，∵，，．故选：A．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键．根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，把，代入，可得：，解得，∴，故②正确；∵抛物线开口方向向下，∴，∴，，∴，故①错误；∵，，∴，又∵，，∴，即（其中），故③正确；∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，∴当时，随的增大而减小，∵，∴，故④错误，故选：B．二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．11．某商店现推出亚运会吉祥物盲盒，内含三款吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，则小明任意抽一个盲盒，抽到“琮琮”的概率是．

【答案】【分析】根据概率公式直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，总的有3种情况，∴，故答案为：；12．如图，圆铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形的弦长为，则该圆的半径为．【答案】50【分析】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，连接，过点作交于点，利用垂径定理得出，再利用勾股定理得出，解方程即可得出答案．【详解】解：如图所示：连接，过点作交于点，∵，∴设圆的半径为，在中，，即，解得：，故答案为：50．如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽米．【答案】8【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．依据题意，当拱顶到水面的距离为4米时，可令，得，从而求出，进而得出A、B的坐标，从而可以计算的解．【详解】解：由题意，当拱顶到水面的距离为4米时，∴令，得，∴，∴，，∴（米）．故答案为：8．14．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：试验种子数（粒）10020050010002000400010000发芽频数92188476951190038009500该麦芽的发芽概率是．（精确到0.01）【答案】0.95【分析】本题考查了用频率估计概率，根据大量试验的前提下，用发芽频数除以试验种子数即可解答．【详解】解：由表可知，估计该麦种的发芽概率是，故答案为：0.95．15．已知二次函数的图象如图，该函数在自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数图象的最值问题解答即可．【详解】解：由图可知，时，该二次函数时，有最小值，时，有最大值3．故答案为：．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．【答案】18【分析】连接OP，因为PA⊥PB，所以在中AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解即可得．【详解】解：如图所示，连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝5，MQ＝12，在中，根据勾股定理，得，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案为：18．三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．甲选择“校园安全”主题的概率为______；请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可．【详解】（1）解：由题意，甲选择“校园安全”主题的概率为，故答案为：；（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，则甲和乙选择不同主题的概率为我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长．【答案】的半径为米【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解．【详解】解：如图，连接，连接交于点，由题意得，米，米，，∴米，设的半径为米，则米，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴的半径为米．19．已知二次函数，经过点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)若点在该函数图象上，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质：（1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式；（2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值．【详解】（1）将点代入二次函数得：，二次函数解析式为：．（2）将点坐标代入得：，解得：．20．如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

连接，求的度数；若，求的长．【答案】(1)(2)6【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．（1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数；（2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长．【详解】（1）解：∵是直径，∴，∵点在上且平分，，；（2）解：点D在上且平分，，，，，．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．求y关于x的函数表达式；根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】(1)y关于x的函数表达式为；(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，∴设，∵经过点(0，)，∴解得∶∴，∴y关于x的函数表达式为；（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数，当y=0时，有∴，解得∶，(舍去)，∵>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．请求出与的函数关系式；(2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元，①写出与的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入得，，解得：．∴y与x的函数关系式为．（2）解：①由题意可得，∴w与x的函数关系式为．②，∵且对称轴为直线，∴抛物线开口向下，∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大，∴当时，（元）．答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．23．已知：如图1，四边形内接于，于点，为延长线上一点．

求证：过作于点(如图2)，试猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．当图2中点运动到圆外时，即、的延长线交于点，且时如图所示，（2）中的猜想是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)结论成立，证明见解析【分析】本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理、垂径定理，是一道难度较大的综合题，（1）利用三角形外角的性质可以得到，再根据，，即可得到结论；（2）连接并延长交于点，连接，利用三角形中位线的性质即可得到，（3）利用（2）的证明方法即可得到结论．【详解】（1）证明：是的外角，∴，∵，，∴．（2）解：，理由如下：证明：连接并延长交于点，连接，

∵过点且为圆直径，∴，∵于点，∴为中点，∴，∵，∴，∴．∵且，∴，∵，∴．（3）解：（2）的结论成立．证明：连接并延长交于点，连接，

∴，∵于