2025年下学期高中数学思想点渗透试卷

2025年下学期高中数学思想点渗透试卷一、函数与方程思想的渗透（一）函数思想在解题中的应用在本次试卷中，函数思想的考查贯穿于多个题型。例如选择题第3题，已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求其在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。解决这一问题，需要学生运用函数思想，通过求导来分析函数的单调性，进而确定函数在给定区间内的极值点和端点值，最终比较得出最大值和最小值。具体步骤如下：首先对函数$f(x)$求导，得到$f^\prime(x)=3x^2-6x+2$，令$f^\prime(x)=0$，解方程$3x^2-6x+2=0$，可得$x=[6±\sqrt{36-24}]/(2×3)=[6±\sqrt{12}]/6=[6±2\sqrt{3}]/6=1±\sqrt{3}/3$。由于$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$\sqrt{3}/3\approx0.577$，则$1+\sqrt{3}/3\approx1.577$，$1-\sqrt{3}/3\approx0.423$，这两个极值点均在区间$[0,2]$内。接下来判断函数在区间内的单调性，当$x\in[0,1-\sqrt{3}/3)$时，$f^\prime(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(1-\sqrt{3}/3,1+\sqrt{3}/3)$时，$f^\prime(x)<0$，函数单调递减；当$x\in(1+\sqrt{3}/3,2]$时，$f^\prime(x)>0$，函数单调递增。然后计算函数在极值点和端点处的值，$f(0)=0^3-3×0^2+2×0+1=1$，$f(1-\sqrt{3}/3)=(1-\sqrt{3}/3)^3-3×(1-\sqrt{3}/3)^2+2×(1-\sqrt{3}/3)+1$，经过复杂计算可得该值约为1.539，$f(1+\sqrt{3}/3)\approx(1+0.577)^3-3×(1+0.577)^2+2×(1+0.577)+1\approx-0.385$，$f(2)=2^3-3×2^2+2×2+1=8-12+4+1=1$。比较这些值可得，函数在区间$[0,2]$上的最大值约为1.539，最小值约为-0.385。（二）方程思想的实践体现填空题第8题体现了方程思想的应用，题目为：若关于$x$的方程$x^2+2(m-1)x+m^2-3=0$有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围。学生需要根据一元二次方程根的判别式来建立关于$m$的不等式，从而求解$m$的取值范围。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根。在本题中，$a=1$，$b=2(m-1)$，$c=m^2-3$，所以$\Delta=[2(m-1)]^2-4×1×(m^2-3)=4(m^2-2m+1)-4m^2+12=4m^2-8m+4-4m^2+12=-8m+16$。因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta>0$，即$-8m+16>0$，解得$m<2$。二、数形结合思想的应用（一）以形助数解决代数问题解答题第19题，已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图像经过点$(1,0)$，$(3,0)$，且与$y$轴交于点$(0,3)$，求该二次函数的解析式。学生可以通过数形结合的思想，根据二次函数图像与坐标轴的交点来确定函数的解析式。因为二次函数图像经过点$(1,0)$和$(3,0)$，所以可设二次函数的解析式为$f(x)=a(x-1)(x-3)$，又因为函数图像与$y$轴交于点$(0,3)$，将$x=0$，$y=3$代入解析式可得$3=a(0-1)(0-3)=3a$，解得$a=1$，所以该二次函数的解析式为$f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。（二）以数解形分析几何图形选择题第10题考查了以数解形的思想，题目为：在平面直角坐标系中，已知圆$C$的方程为$(x-2)^2+(y+1)^2=9$，直线$l$的方程为$y=kx+1$，若直线$l$与圆$C$相交于$A$，$B$两点，且$|AB|=4\sqrt{2}$，求$k$的值。首先，圆$C$的圆心坐标为$(2,-1)$，半径$r=3$。根据圆的弦长计算公式，弦长$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$，其中$d$为圆心到直线的距离。已知$|AB|=4\sqrt{2}$，则$4\sqrt{2}=2\sqrt{9-d^2}$，两边同时除以2可得$2\sqrt{2}=\sqrt{9-d^2}$，两边平方可得$8=9-d^2$，解得$d^2=1$，即$d=1$。根据点到直线的距离公式，圆心$(2,-1)$到直线$l:kx-y+1=0$的距离$d=\frac{|2k-(-1)+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，两边平方可得$(2k+2)^2=k^2+1$，展开得$4k^2+8k+4=k^2+1$，移项化简得$3k^2+8k+3=0$，解方程可得$k=\frac{-8±\sqrt{64-36}}{6}=\frac{-8±\sqrt{28}}{6}=\frac{-8±2\sqrt{7}}{6}=\frac{-4±\sqrt{7}}{3}$。三、分类讨论思想的渗透（一）根据数学概念进行分类选择题第5题，已知集合$A={x|x^2-3x+2=0}$，$B={x|mx-1=0}$，若$B\subseteqA$，求$m$的值。首先求解集合$A$，$x^2-3x+2=0$，即$(x-1)(x-2)=0$，解得$x=1$或$x=2$，所以$A={1,2}$。因为$B\subseteqA$，所以集合$B$可能为空集，或$B={1}$，或$B={2}$。当$B$为空集时，方程$mx-1=0$无解，此时$m=0$；当$B={1}$时，将$x=1$代入方程$mx-1=0$，得$m×1-1=0$，解得$m=1$；当$B={2}$时，将$x=2$代入方程$mx-1=0$，得$m×2-1=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。综上，$m$的值为$0$或$1$或$\frac{1}{2}$。（二）根据运算性质分类讨论解答题第22题，已知函数$f(x)=\frac{1}{x-a}$，若函数$f(x)$在区间$(2,+\infty)$上单调递减，求$a$的取值范围。首先，函数$f(x)=\frac{1}{x-a}$是反比例函数经过平移得到的，其定义域为$x\neqa$。反比例函数$y=\frac{1}{x}$在区间$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上分别单调递减。函数$f(x)=\frac{1}{x-a}$的图像是由$y=\frac{1}{x}$向右平移$a$个单位得到的，所以其单调递减区间为$(-\infty,a)$和$(a,+\infty)$。已知函数$f(x)$在区间$(2,+\infty)$上单调递减，所以$(2,+\infty)\subseteq(a,+\infty)$，则$a\leqslant2$。四、转化与化归思想的运用（一）将复杂问题转化为简单问题填空题第15题，计算$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+2n}{n^2+1}$。这是一个数列极限的计算问题，学生可以将分子分母同时除以$n^2$，将其转化为较为简单的形式，即$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}$。当$n\rightarrow\infty$时，$\frac{2}{n}\rightarrow0$，$\frac{1}{n^2}\rightarrow0$，所以该极限的值为$\frac{3+0}{1+0}=3$。（二）将陌生问题化归为熟悉问题解答题第20题，已知三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，求三棱锥$P-ABC$的体积。学生可以将三棱锥$P-ABC$的体积计算转化为以$\triangleABC$为底面，$PA$为高的三棱锥体积计算。因为$PA\perp$平面$ABC$，所以$PA$是三棱锥的高，其长度为3。$\triangleABC$是一个直角三角形，两条直角边$AB=AC=2$，所以其面积为$\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×2×2=2$。根据三棱锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$为底面积，$h$为高），可得该三棱锥的体积为$\frac{1}{3}×2×3=2$。五、整体思想的渗透（一）整体代入简化计算选择题第7题，已知$x+y=5$，$xy=3$，求$x^2+y^2$的值。学生可以利用整体思想，将$x^2+y^2$转化为$(x+y)^2-2xy$，然后将$x+y=5$，$xy=3$整体代入，可得$x^2+y^2=5^2-2×3=25-6=19$。（二）整体把握问题结构解答题第21题，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$，求椭圆的标准方程。首先，椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的半焦距，且$c^2=a^2-b^2$。由$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$可得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，则$c^2=\frac{3}{4}a^2$，所以$a^2-b^2=\frac{3}{4}a^2$，化简得$b^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2$。因为椭圆过点$(2,1)$，将该点代入椭圆方程可得$\frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1$，即$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$。将$b^2=\frac{1}{4}a^2$代入上式可得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1$，即$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1$，$\frac{8}{a^2}=1$，解得$a^2=8$，则$b^2=\frac{1}{4}×8=2$，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。六、数学建模思想的考查应用题第23题，某工厂生产一种产品，已知该产品的月产量$x$（吨）与每吨产品的价格$p$（元/吨）之间的关系为$p=24200-\frac{1}{5}x^2$，且生产$x$吨产品的成本为$R=50000+200x$元。问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）首先，根据利润的计算公式，利润$L=收入-成本$，收入为$x×p=x(24200-\frac{1}{5}x^2)=24200x-\frac{1}{5}x^3$，成本为$R=50000+200x$，所以利润$L=24200x-\frac{1}{5}x^3-(50000+200x)=24000x-\frac{1}{5}x^3-50000$。对利润函数求导，$L^\prime=24000-\frac{3}{5}x^2$，令$L^\prime=0$，即$24000-\frac{3}{5}x^2=0$，$\frac{3}{5}x^2=24000$，$x^2=24000×\frac{5}{3}=40000$，解得$x=200$或$x=-200$（舍去）。当$x\in(0,200)$时，$L^\prime>0$，利润函数单调递增；当$x\in(200,+\infty)$时，$L^\prime<0$，利润函数单调递减。所以当$x=200$时，利润达到最大，最大利润为$L(200)=24000×200-\frac{1}{5}×200^3-50000=4800000-\frac{1}{5}×80