2025年下学期高中数学与精算学入门试卷

2025年下学期高中数学与精算学入门试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）若函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\ln(3-x)$，则其定义域为（）A.$(1,3]$B.$[1,3)$C.$(1,3)$D.$[1,3]$已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(m,-6)$，且$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$m$的值为（）A.$-9$B.$9$C.$-4$D.$4$在等比数列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_4=16$，则公比$q$的值为（）A.$2$B.$-2$C.$\sqrt{2}$D.$-\sqrt{2}$函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的单调递减区间是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,2)$C.$(2,+\infty)$D.$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$已知直线$l:y=kx+1$与圆$C:x^2+y^2-2x-3=0$相交于$A$，$B$两点，若$|AB|=2\sqrt{3}$，则$k$的值为（）A.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\pm\sqrt{3}$C.$\pm1$D.$0$精算学中用来描述单一风险单位损失分布的模型是（）A.个体风险模型B.集体风险模型C.破产模型D.信度模型已知某险种的索赔次数服从参数为$\lambda=2$的泊松分布，则该险种一年内索赔次数为3的概率为（）A.$\frac{e^{-2}2^3}{3!}$B.$\frac{e^{-3}2^3}{3!}$C.$\frac{e^{-2}3^2}{2!}$D.$\frac{e^{-3}3^2}{2!}$在保费厘定中，考虑保险人经营费用和利润附加的保费称为（）A.净保费B.毛保费C.纯保费D.风险保费生命表中，$l_x$表示的是（）A.$x$岁人的死亡概率B.$x$岁人的生存概率C.存活到$x$岁的人数D.$x$岁人在一年内的死亡人数已知年利率为$5%$，则现值系数$v^{10}$的值为（）（精确到小数点后四位）A.$0.6139$B.$0.6209$C.$0.6302$D.$0.6406$设随机变量$X$服从正态分布$N(10,4)$，则$P(X>12)$的值为（）（已知$\Phi(1)=0.8413$）A.$0.1587$B.$0.3174$C.$0.6826$D.$0.8413$精算学中，用来衡量保险人在一定时期内可能发生的最大损失的风险度量方法是（）A.方差B.标准差C.风险价值（VaR）D.期望损失已知某定期寿险保单的保险金额为10万元，被保险人现年30岁，若采用UDD假设，死亡力$\mu=0.001$，年利率$i=0.05$，则该保单的趸缴净保费为（）A.$100000\times0.001\timesv$B.$100000\times0.001\timesv^{30}$C.$100000\times\int_{0}^{\infty}e^{-\mut}e^{-\deltat}dt$D.$100000\times\int_{0}^{\infty}\mue^{-(\mu+\delta)t}dt$在信度理论中，Bühlmann模型的核心思想是（）A.利用先验信息估计风险参数B.利用后验信息估计风险参数C.综合先验信息和后验信息估计风险参数D.仅利用样本数据估计风险参数已知某保险公司的初始盈余为50万元，年保费收入为10万元，年索赔总额服从均值为8万元的正态分布，则该公司在一年内发生破产的概率为（）A.$\Phi\left(\frac{50+10-8}{\sigma}\right)$B.$1-\Phi\left(\frac{50+10-8}{\sigma}\right)$C.$\Phi\left(\frac{50-8+10}{\sigma}\right)$D.$1-\Phi\left(\frac{50-8+10}{\sigma}\right)$二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）函数$y=\sin2x+\cos2x$的最小正周期为________。曲线$y=x^2-2x+3$在点$(1,2)$处的切线方程为________。已知$P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，$P(A\cupB)=0.7$，则$P(AB)=$________。抛物线$y^2=4x$的焦点坐标为________。行列式$\begin{vmatrix}1&2\3&4\end{vmatrix}$的值为________。精算学中，描述剩余寿命随机变量的分布称为________。已知某生命表中$l_{50}=90000$，$d_{50}=500$，则$q_{50}=$________。责任准备金是保险公司为履行未来________而提存的资金。信度因子$Z$的取值范围是________。破产理论中，破产概率是指在初始盈余和________的条件下，保险公司盈余首次变为负的概率。三、解答题（本大题共5小题，共45分）1.（8分）已知函数$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax$（$a\inR$）。（1）若函数$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$a$的值；（2）求函数$f(x)$的单调区间。2.（8分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）设直线$l:y=kx+m$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，若以$AB$为直径的圆过原点$O$，求$m^2$与$k^2$的关系。3.（9分）某保险公司推出一款1年期定期寿险产品，保险金额为10万元，已知被保险人的死亡概率为$q=0.001$，年利率$i=0.05$。（1）计算该产品的趸缴净保费；（2）若该产品的毛保费为净保费的1.2倍，计算毛保费；（3）若有1000名相同年龄的被保险人购买该产品，计算保险公司的期望赔付总额。4.（10分）已知某险种的索赔额$X$服从参数为$\alpha=2$，$\beta=1000$的伽马分布，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\Gamma(2)1000^2}x^{2-1}e^{-\frac{x}{1000}}$，$x>0$。（1）计算索赔额的期望$E(X)$和方差$Var(X)$；（2）若该险种的年索赔次数服从参数为$\lambda=5$的泊松分布，且索赔次数与索赔额相互独立，计算年总索赔额的期望和方差。5.（10分）某保险公司的初始盈余为$u=10$万元，每年收取保费$c=5$万元，每年的索赔总额$S$服从均值为3万元，标准差为2万元的正态分布。（1）计算该公司的安全系数$\theta$；（2）利用正态近似计算该公司在一年内发生破产的概率（已知$\Phi(1.5)=0.9332$）；（3）若要使破产概率降低到$0.0013$，求所需的初始盈余（已知$\Phi(3)=0.9987$）。四、综合应用题（本大题共2小题，共30分）1.（14分）某汽车保险公司对某地区的车辆进行保险，根据历史数据，该地区车辆的年索赔次数服从二项分布$B(12,0.1)$，每次索赔金额服从均值为5000元，标准差为2000元的正态分布，且索赔次数与索赔金额相互独立。（1）计算该地区一辆车的年平均索赔次数和年平均索赔金额；（2）计算该地区一辆车的年总索赔额的期望和方差；（3）若该保险公司对每辆车收取年保费6000元，计算该公司承保100辆相同车辆的期望利润。2.（16分）某寿险公司推出一款20年期两全保险产品，保险金额为20万元，被保险人现年30岁，根据生命表，30岁人的生存函数为$S(x)=e^{-0.001x}$，年利率$i=0.04$，采用UDD假设。（1）计算30岁人在20年内的死亡概率$q_{30:20|}$；（2）计算该两全保险的趸缴净保费；（3）若该产品采用均衡保费方式，分20年缴清，计算年缴净保费；（4）计