2025年上学期高三数学“直线与圆锥曲线的位置关系”小专题试题

2025年上学期高三数学“直线与圆锥曲线的位置关系”小专题试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）若圆(x^2+y^2=r^2)上到直线(3x+4y-12=0)的距离为1的点有且仅有2个，则(r)的取值范围是（）A.((\frac{7}{5},\frac{17}{5}))B.([\frac{7}{5},\frac{17}{5}])C.((1,\frac{17}{5}))D.((\frac{7}{5},3))已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，椭圆上一点(P(\frac{a}{2},\frac{b}{2}))到左焦点的距离是（）A.(\frac{a}{2})B.(\frac{b}{2})C.(\frac{\sqrt{2}a}{2})D.(\frac{\sqrt{2}b}{2})双曲线(x^2-\frac{y^2}{3}=1)的离心率为（）A.(\sqrt{2})B.(\sqrt{3})C.2D.4已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过点(M(3,0))的直线与抛物线相交于(A)，(B)两点，与抛物线的准线相交于点(C)。若(|BF|=3)，则(\frac{|AC|}{|BC|}=)（）A.2B.(\frac{3}{2})C.3D.(\frac{4}{3})已知椭圆(E:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1)的右焦点为(F_2)，直线(x-y+3=0)与椭圆交于(A)，(B)两点，则线段(AB)中点的横坐标为（）A.(-\frac{25}{17})B.(-\frac{20}{17})C.(-\frac{15}{17})D.(-\frac{10}{17})设斜率为2的直线(l)过抛物线(y^2=ax(a>0))的焦点(F)，且和(y)轴交于点(A)，若(\triangleOAF)（(O)为坐标原点）的面积为4，则(a)的值为（）A.8B.16C.32D.64已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的右焦点为(F)，下顶点为(A)，过(A)，(F)的直线(l)与椭圆(C)交于另一点(B)，若直线(l)的斜率为1，且(|AB|=\frac{3\sqrt{2}}{2})，则椭圆(C)的标准方程为（）A.(\frac{x^2}{2}+y^2=1)B.(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)D.(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1)若直线(y=2x+m)与双曲线(x^2-\frac{y^2}{4}=1)没有公共点，则双曲线(C)的离心率(e)满足（）A.(1<e<\sqrt{2})B.(e>\sqrt{2})C.(1<e<2)D.(e>2)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1)的右焦点为(F_2)，直线(x-y+3=0)与椭圆交于(A)，(B)两点，则（）A.(\triangleABF_2)的周长为20B.(\triangleABF_2)的面积为(\frac{72\sqrt{2}}{17})C.线段(AB)中点的横坐标为(-\frac{16}{17})D.线段(AB)的长度为(\frac{30\sqrt{2}}{17})设抛物线(E:x^2=2py(p>0))的焦点为(F)，过点(P(0,3))的直线与抛物线(E)相交于点(A)，(B)，与(x)轴相交于点(C)，(|AF|=2)，(|BF|=10)，则（）A.(E)的准线方程为(y=-2)B.(p)的值为4C.(|AB|=4\sqrt{10})D.(\triangleBFC)的面积与(\triangleAFC)的面积之比为9已知(F_1)，(F_2)为双曲线(C:x^2-y^2=\lambda(\lambda>0))的左、右焦点，点(M(1,\sqrt{3}))满足(\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}=0)，(N)为双曲线(C)的右支上的一个动点，(O)为坐标原点，则（）A.双曲线(C)的焦距为4B.直线(MF_2)与双曲线(C)的左、右两支各有一个交点C.(\triangleNOM)的面积的最小值为1D.(\angleONM<\frac{\pi}{2})已知抛物线(C:y^2=4x)，圆(F:(x-1)^2+y^2=1)，直线(l:y=k(x-1)(k\neq0))自上而下顺次与上述两曲线交于(M_1)，(M_2)，(M_3)，(M_4)四点，则下列各式结果为定值的是（）A.(|M_1M_2|\cdot|M_3M_4|)B.(|FM_1|\cdot|FM_4|)C.(|M_1M_3|\cdot|M_2M_4|)D.(|FM_1|\cdot|M_1M_2|)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知直线(l:y=kx+1)与圆(x^2+y^2=4)交于(C)、(D)两点，且(|CD|=2\sqrt{3})，则(k=)________。已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的一个焦点的坐标为((1,0))，一条切线的方程为(x+y=7)，则(C)的离心率(e=)________。已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的右焦点为(F)，双曲线(C)上有两点(A)，(B)关于直线(l:3x+y-8=0)对称，若(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OF})（(O)为坐标原点），则双曲线(C)的方程为________。已知抛物线(y^2=4x)的弦(AB)的中点横坐标为5，则(|AB|)的最大值为________。四、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{1}{2})，长轴长为4。（1）求(C)的方程；（2）过点(P(1,1))的直线(l)与(C)交于(A)，(B)两点，(O)为坐标原点，若(\triangleOAB)的面积为(\frac{\sqrt{3}}{2})，求直线(l)的方程。（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左焦点为(F)，右顶点为(A)，(P)为椭圆上一点，且直线(PF)的斜率为(\frac{\sqrt{15}}{7})，(\trianglePAF)的面积为(\frac{3\sqrt{15}}{4})，离心率为(\frac{1}{2})。（1）求椭圆的方程；（2）过点(P)的直线与椭圆有唯一交点(B)（异于点(A)），求证：(PF)平分(\angleAPB)。（12分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，椭圆(E)上的点到两焦点的距离之和为4。（1）求椭圆(E)的方程；（2）设(O)为坐标原点，点(Q(0,1))在椭圆(E)上，直线(l:y=kx+t)与直线(OQ)，(PQ)分别交于点(A)，(B)（其中(P)为椭圆上异于(Q)的一点）。设(\triangleOPA)与(\triangleOPB)的面积分别为(S_1)，(S_2)，比较(S_1)与(S_2)的大小。（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(b>0))长轴的顶点与双曲线(D:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1)实轴的顶点相同，且(C)的右焦点(F)到(D)的渐近线的距离为(\frac{\sqrt{21}}{7})。（1）分别求(C)与(D)的方程；（2）若直线(l)的倾斜角是直线(y=(\sqrt{3}-2)x)倾斜角的2倍，且(l)经过点(F)，(l)与(C)交于(A)，(B)两点，与(D)交于(M)，(N)两点，求(\frac{|AB|}{|MN|})。（12分）设椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，下顶点为(A)，右顶点为(B)，(|AB|=\sqrt{5})。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）已知动点(P)不在(y)轴上，点(R)在射线(AP)上，且满足(|AP|\cdot|AR|=8)。（i）设(AP)的斜率为(k)，求点(R)的坐标（用(k)表示）；（ii）设(O)为坐标原点，(