专题1.4(回归课本基础篇)图形的性质(1)(上海中考34个考点真题训练)2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(原卷版+解析)

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）一．余角和补角（共1小题）1．（2021•上海）70°的余角是．二．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）2．（2014•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5三．平行线的性质（共2小题）3．（2008•上海）如图，已知a∥b，∠1＝40°，那么∠2的度数等于度．4．（2011•上海）如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝．四．三角形的重心（共2小题）5．（2006•上海）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为（）A．2 B．3 C．6 D．126．（2012•上海）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为．五．三角形内角和定理（共1小题）7．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．六．全等三角形的性质（共1小题）8．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．七．全等三角形的判定（共1小题）9．（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是．（只需写一个，不添加辅助线）八．全等三角形的判定与性质（共1小题）10．（2009•上海）已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）．（1）添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC．（2）分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）．九．线段垂直平分线的性质（共1小题）11．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．一十．等腰三角形的性质（共1小题）12．（2000•上海）如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度．一十一．等腰三角形的判定与性质（共1小题）13．（1997•上海）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF．一十二．等边三角形的性质（共1小题）14．（2000•上海）如果等边三角形的高是3cm，那么它的边长是cm．一十三．直角三角形的性质（共1小题）15．（2000•上海）如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．一十四．直角三角形斜边上的中线（共1小题）16．（2019•上海）如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．一十五．勾股定理（共1小题）17．（2002•上海）在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是cm．一十六．勾股定理的应用（共1小题）18．（2000•上海）如图，公路AB和公路CD在点P处交汇，且∠APC＝45°，点Q处有一所小学，PQ＝，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？一十七．三角形中位线定理（共1小题）19．（2016•上海）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．一十八．多边形内角与外角（共1小题）20．（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．一十九．平行四边形的性质（共1小题）21．（1998•上海）已知▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，如果△AOB的面积是3cm2，那么▱ABCD的面积是cm2．二十．平行四边形的判定与性质（共1小题）22．（1999•上海）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AM＝AN，MN∥AC．求证：MN＝AC．二十一．菱形的性质（共1小题）23．（2014•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍二十二．菱形的判定（共1小题）24．（2015•上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB二十三．菱形的判定与性质（共1小题）25．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE＝EF；（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A+∠DGC．二十四．矩形的性质（共1小题）26．（2018•上海）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为．二十五．矩形的判定（共2小题）27．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC28．（2017•上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB二十六．正方形的性质（共2小题）29．（2015•上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝度．30．（2009•毕节地区）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是．二十七．正方形的判定（共1小题）31．（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．二十八．梯形（共2小题）32．（2007•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B＝2∠E．（1）求证：AB＝DC；（2）若tanB＝2，AB＝，求边BC的长．33．（2006•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC＝2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．二十九．直角梯形（共1小题）34．（2020•上海）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）连接BD，求∠DBC的正切值．三十．等腰梯形的性质（共1小题）35．（2011•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．连接BF、CF、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE•CE，求证：四边形ABFC是矩形．三十一．等腰梯形的判定（共1小题）36．（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．∠BDC＝∠BCD B．∠ABC＝∠DAB C．∠ADB＝∠DAC D．∠AOB＝∠BOC三十二．梯形中位线定理（共1小题）37．（2005•上海）一个梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为．三十三．*平面向量（共10小题）38．（2021•上海）如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（）A． B． C． D．39．（2016•上海）已知在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设＝，＝，那么向量用向量、表示为（）A．+ B．﹣ C．﹣+ D．﹣﹣40．（2020•上海）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．41．（2019•上海）如图，在正六边形ABCDEF中，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．42．（2018•上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设＝，＝，那么向量用向量、表示为．43．（2017•上海）如图，已知AB∥CD，CD＝2AB，AD、BC相交于点E，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．44．（2015•上海）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，＝，＝，那么向量用向量，表示为．45．（2014•上海）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3EB．设＝，＝，那么＝（结果用、表示）．46．（2013•上海）计算：2（﹣）+3＝．47．（2012•上海）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝2AD，如果，，那么＝（用，表示）．三十四．四边形综合题（共2小题）48．（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE＝∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．49．（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD＝13，AB＝5，设AP＝x，BQ＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF＝EC＝4，求x的值．2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）一．余角和补角（共1小题）1．（2021•上海）70°的余角是20°．【分析】根据余角的定义即可求解．【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°﹣70°＝20°，故答案为，20°．【点评】本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键，二．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）2．（2014•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．【解答】解：∠1的同位角是∠5，故选：D．【点评】此题主要考查了同位角的概念，关键是掌握同位角的边构成“F“形．三．平行线的性质（共2小题）3．（2008•上海）如图，已知a∥b，∠1＝40°，那么∠2的度数等于40度．【分析】根据两条直线平行，同位角相等可以得∠1的同位角是40，再根据对顶角相等可以求出∠2．【解答】解：如图，∵∠1＝40°，∴∠3＝40°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要运用了平行线的性质以及对顶角相等的性质．4．（2011•上海）如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝54°．【分析】由∠ACB＝90°，∠ECD＝36°，求得∠ACE的度数，又由CE∥AB，即可求得∠A的度数．【解答】解：∵∠ECD＝36°，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣36°＝54°，∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE＝54°．故答案为：54°．【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．四．三角形的重心（共2小题）5．（2006•上海）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为（）A．2 B．3 C．6 D．12【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝3．故选：B．【点评】掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是其道对边中点的距离的2倍．运用三角形的中位线定理即可证明此结论．6．（2012•上海）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为4．【分析】先设等边三角形的中线长为a，再根据三角形重心的性质求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：a，∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，∴a＝2，解得a＝3，∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心距＝a＝×3＝4．故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形重心的性质及等边三角形的性质，即三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．五．三角形内角和定理（共1小题）7．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝100°，则β＝50°，180°﹣100°﹣50°＝30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．六．全等三角形的性质（共1小题）8．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．【分析】根据勾股定理求得AB＝5，由△ACD≌△C1A1D1，所以可以将A1点放在左图的C点上，C1点放在左图的A点上，D1点对应左图的D点，从而得出BC∥B1C1，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．【解答】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图，∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，∴BC∥B1C1，∴＝，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴＝，解得AD＝，∴AD的长为，故答案为．【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，证得＝是解题的关键．七．全等三角形的判定（共1小题）9．（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC＝DF．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】求出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AC＝DF，理由是：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．八．全等三角形的判定与性质（共1小题）10．（2009•上海）已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）．（1）添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC．（2）分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是真命题，命题2是假命题（选择“真”或“假”填入空格）．【分析】（1）要证AB＝DC，可考虑证△AOB≌△DOC．（2）根据已知及全等三角形的判定方法对两个命题进行分析，从而判断其真假．【解答】证明：（1）∵E为OB的中点，F为OC的中点，∴OB＝2OE，OC＝2OF．∵∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF．∴OB＝OC．在△AOB与△DOC中，∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△AOB≌△DOC（AAS）．∴AB＝DC．（2）对于命题1，可证△AOB≌△DOC得到OB＝OC，再得OE＝OF，从而能得到∠OEF＝∠OFE，故其是真命题；对于命题2，由所给的条件不能证明△AOB≌△DOC，因此其是假命题．【点评】本题考查的是全等三角形的判定，要牢记全等三角形的判定条件，要记住SSA和AAA是不能证得两三角形全等的．九．线段垂直平分线的性质（共1小题）11．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM＝BM，再求出∠B＝30°，∠CAM＝90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM＝AM＝CA即CM＝2BM．【解答】证法1：如答图所示，连接AM，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴BM＝AM，∴∠BAM＝∠B＝30°，∴∠MAC＝90°，∴CM＝2AM，∴CM＝2BM．证法二：如答图所示，过A作AD∥MN交BC于点D．∵MN是AB的垂直平分线，∴N是AB的中点．∵AD∥MN，∴M是BD的中点，即BM＝MD．∵AC＝AB，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠BAD＝∠BNM＝90°，∴AD＝BD＝BM＝MD，又∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝DC，BM＝MD＝DC，∴CM＝2BM．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．一十．等腰三角形的性质（共1小题）12．（2000•上海）如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于120度．【分析】根据直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理即可求得其顶角的度数．【解答】解：∵在直角△ABD中，AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AB＝AC，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝120°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．一十一．等腰三角形的判定与性质（共1小题）13．（1997•上海）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF．【分析】由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C，又由DE⊥BC，根据等角的余角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．一十二．等边三角形的性质（共1小题）14．（2000•上海）如果等边三角形的高是3cm，那么它的边长是cm．【分析】先等边三角形的边长为2x，再利用等腰三角形三线合一性质，可得到三角形边长的一半，就可得到边长的长．【解答】解：根据分析：可以得到，（2x）2＝x2+32，解得x＝，所以边长＝2．【点评】本题利用了勾股定理以及等腰三角形三线合一性质．一十三．直角三角形的性质（共1小题）15．（2000•上海）如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．【分析】（1）由题意可知：重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜边，也是半径是保持不变的所以线段GH保持不变；则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一半可以求得OP中线的长度，进而求得GH的长度；（2）延长PG交OA于C，则y＝×PC；分别再直角三角形OPh和直角三角形PHC中运用两次勾股定理即可以求出y关于x的函数解析式；（3）分别讨论GH＝PG，GH＝PH，PH＝PG这三种情况，根据（2）中的解析式可以分别求得x的值．【解答】解：（1）当然是GH不变．延长HG交OP于点E，∵G是△OPH的重心，∴GH＝EH，∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；∴EH＝OP∴GH＝（OP）＝（×6）＝2；（2）延长PG交OA于C，则y＝×PC．我们令OC＝a＝CH，在Rt△PHC中，PC＝＝，则y＝×；在Rt△PHO中，有OP2＝x2+（2a）2＝62＝36，则a2＝9﹣，将其代入y＝×得y＝×＝（0＜x＜6）；（3）如果PG＝GH，则y＝GH＝2，解方程：x＝0，那GP不等于GH，则不合意义；如果，PH＝GH＝2则可以解得：x＝2；如果，PH＝PG，则x＝y代入可以求得：x＝，综合上述线段PH的长是或2．【点评】本题考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质．综合性比较强，有一定的难度．一十四．直角三角形斜边上的中线（共1小题）16．（2019•上海）如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝120度．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA＝DC，则∠DCA＝∠DAC＝30°，再利用三角形外角性质得到∠2＝60°，然后根据平行线的性质求∠1的度数．【解答】解：∵D是斜边AB的中点，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，∵11∥l2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．【点评】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．一十五．勾股定理（共1小题）17．（2002•上海）在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是1cm．【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．【解答】解：∵AB＝AC＝5cm∴△ABC是等腰三角形∴三角形的重心G在BC边的高根据勾股定理设该高为a，∴a2+42＝52则a＝3cm，根据三角形的重心性质∴G到BC的距离是1cm．【点评】考查了等腰三角形的三线合一的性质以及三角形的重心的概念和性质．一十六．勾股定理的应用（共1小题）18．（2000•上海）如图，公路AB和公路CD在点P处交汇，且∠APC＝45°，点Q处有一所小学，PQ＝，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？【分析】过Q作QH⊥PA于H，易证△PHQ为等腰直角三角形．由勾股定理可得，PH＝HQ＝120m＜130m．故学校会受到噪声的影响．设拖拉机行至E处开始影响学校，在F处结束影响，则QE＝QF＝130m，由勾股定理可得EH＝FH＝50m，EF＝100m，可得学校受影响的时间为10s．【解答】解：过Q作QH⊥PA于H，∵∠APC＝45°，∴∠HQP＝45°．∴△PHQ为等腰直角三角形．∵PQ＝120m∵PH2+HQ2＝PQ2，∴PH＝HQ＝120m＜130m．故学校会受到噪声的影响．设拖拉机行至E处开始影响学校，在F处结束影响，则QE＝QF＝130m，由勾股定理可得：EH＝FH＝＝50（m）∵EF＝100m，又∵V拖＝36km/h＝＝10m/s∴学校受影响的时间为100÷10＝10（s）．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．一十七．三角形中位线定理（共1小题）19．（2016•上海）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以＝（）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC．DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故答案为．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．一十八．多边形内角与外角（共1小题）20．（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度．【分析】根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°＝540°．故答案为540．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．一十九．平行四边形的性质（共1小题）21．（1998•上海）已知▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，如果△AOB的面积是3cm2，那么▱ABCD的面积是12cm2．【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，所以平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等，即▱ABCD的面积＝△AOB的面积×4．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝CD，∴△AOB≌△COD，△BOC≌△DOA，又AO是△ABD的中线，∴△AOB与△AOD的面积相等，故▱ABCD的面积＝△AOB的面积×4＝3×4＝12．【点评】此题主要考查了平行四边形的对角线互相平分的性质．二十．平行四边形的判定与性质（共1小题）22．（1999•上海）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AM＝AN，MN∥AC．求证：MN＝AC．【分析】已知MN∥AC，若MN＝AC，则四边形ACMN是平行四边形，因此证四边形ACMN是平行四边形即可，再连接CM，则CM是Rt△ABC斜边上的中线，得CM＝MA＝AN，然后通过证AN∥CM来得出四边形ANMC是平行四边形，由此得证．【解答】证明：如图，连接CM，（1分）∵∠ACB＝90°，∴CM＝AM＝AB，∴∠MAC＝∠MCA，（1分）∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠N，（1分）∵MN∥AC，∴∠NMA＝∠MAC，∠CAN+∠N＝180°，∴∠CAN+∠MCA＝180°，∴AN∥CM，（2分）∴四边形ACMN是平行四边形（1分）∴MN＝AC．（1分）【点评】此题主要考查了直角三角形的性质以及平行四边形的性质和判定，要学会作合适的辅助线来帮助解题．二十一．菱形的性质（共1小题）23．（2014•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍【分析】分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，∵AC＜BD，∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵S△ABD＝S菱形ABCD，S△ABC＝S菱形ABCD，∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．二十二．菱形的判定（共1小题）24．（2015•上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，当DO＝CD，则AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．二十三．菱形的判定与性质（共1小题）25．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE＝EF；（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A+∠DGC．【分析】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF＝BC，再证明DE＝BC，进而得到EF＝CB，即可证出DE＝EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG＝∠DGC，再证明∠B＝∠DCB，∠A＝∠DCA，然后再推出∠1＝∠DCB＝∠B，再由∠A+∠ADG＝∠1可得∠A+∠DGC＝∠B．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF＝BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE＝BC，∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB，∴DE＝EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG＝∠DGC，∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点，∴CD＝DB＝AD，∴∠B＝∠DCB，∠A＝∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1＝90°，∵∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠1＝∠DCB＝∠B，∵∠A+∠ADG＝∠1，∴∠A+∠DGC＝∠B．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG＝∠G，∠1＝∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．二十四．矩形的性质（共1小题）26．（2018•上海）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为．【分析】先根据要求画图，设AF＝x，则CF＝x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF＝x，则CF＝x，在Rt△CBF中，CB＝1，BF＝x﹣1，由勾股定理得：BC2＝BF2+CF2，，解得：x＝或0（舍），则该“菱形的矩形”的“宽”是，故答案为：．【点评】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．二十五．矩形的判定（共2小题）27．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．28．（2017•上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC＝∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC＝∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC＝∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC＝∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．二十六．正方形的性质（共2小题）29．（2015•上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝22.5度．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC＝45°，再由AD＝AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF＝∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD＝45°，∴∠FAD＝22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．30．（2009•毕节地区）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是．【分析】连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．【解答】解：连接CH．∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，∴∠F＝∠D＝90°，∴△CFH与△CDH都是直角三角形，在Rt△CFH与Rt△CDH中，∵，∴△CFH≌△CDH（HL）．∴∠DCH＝∠DCF＝（90°﹣30°）＝30°．在Rt△CDH中，CD＝3，∴DH＝tan∠DCH×CD＝．故答案为：．【点评】此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．二十七．正方形的判定（共1小题）31．（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；（2）由BE＝BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE＝∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE＝180×＝45°，易得∠ABE＝45°，可得∠ABC＝90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE＝BC∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE：∠BCE＝2：3，∴∠CBE＝180×＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．二十八．梯形（共2小题）32．（2007•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B＝2∠E．（1）求证：AB＝DC；（2）若tanB＝2，AB＝，求边BC的长．【分析】（1）要求证：AB＝DC，即证明梯形是等腰梯形，只要证明∠B＝∠BCD就可以．（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则BC＝BF+FG+GC，因而本题就可以转化为求BF，FG，GC的长度的问题，根据勾股定理就可以求出．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BCA＝∠E．（1分）∵CA平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠BCA，（1分）∴∠BCD＝2∠E，（1分）又∵∠B＝2∠E，∴∠B＝∠BCD．（1分）∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB＝DC．（2分）（2）解：如图，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则AF∥DG．在Rt△AFB中，tanB＝2，∴AF＝2BF．（1分）又∵AB＝，且AB2＝AF2+BF2，∴5＝4BF2+BF2，得BF＝1．（1分）同理可知，在Rt△DGC中，CG＝1．（1分）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．又∵∠ACB＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝DC．∵DC＝AB＝，∴AD＝．（1分）∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形，∴FG＝AD＝．（1分）∴BC＝BF+FG+GC＝2+．（1分）【点评】本题主要考查了等腰梯形的判定方法，证明同一底上的两个底角相等．梯形的问题可以通过作高线转化为直角三角形，与矩形的问题．33．（2006•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC＝2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC＝∠C，和等腰梯形的性质得到∠B＝∠C．则∠B＝∠GFC，得到AE∥FG．（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°，结合∠FGC＝2∠EFB和∠GFC＝∠C，得到∠BFE+∠GFC＝90°．则∠EFG＝90°．【解答】证明：（1）∵在梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠B＝∠C．∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∴∠B＝∠GFC∴AB∥GF，即AE∥GF．∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180°，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定定理和平行线的性质等知识，掌握平行四边形和矩形的判定方法是解题关键．二十九．直角梯形（共1小题）34．（2020•上海）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）连接BD，求∠DBC的正切值．【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到结论．【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE，AE＝CD＝5，∴BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∴CE＝＝6，∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH⊥BD于H，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD＝＝＝10，∴＝，∴CH＝3，∴BH＝＝＝6，∴∠DBC的正切值＝＝＝．【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三十．等腰梯形的性质（共1小题）35．（2011•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．连接BF、CF、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE•CE，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解答】证明：（1）连接BD，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴AC＝BD，∵DE⊥BC，EF＝DE，∴BD＝BF，CD＝CF，∴AC＝BF，AB＝CF，∴四边形ABFC是平行四边形；（2）∵DE2＝BE•CE∴，∵∠DEB＝∠DEC＝90°，∴△BDE∽△DCE，∴∠CDE＝∠DBE，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝∠BDE+∠DBE＝90°，∴四边形ABFC是矩形．【点评】本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．三十一．等腰梯形的判定（共1小题）36．（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．∠BDC＝∠BCD B．∠ABC＝∠DAB C．∠ADB＝∠DAC D．∠AOB＝∠BOC【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．【解答】解：A、∵∠BDC＝∠BCD，∴BD＝BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC＝∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB＝∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DAC＝∠DBC＝∠ACB，∴OA＝OD，OB＝OC，∴AC＝BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB＝∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．三十二．梯形中位线定理（共1小题）37．（2005•上海）一个梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为7．【分析】根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算．【解答】解：∵梯形的两底长分别为6和8，∴这个梯形的中位线长为＝7．【点评】此题属基本题目，只要熟知梯形的中位线定理即可解答．三十三．*平面向量（共10小题）38．（2021•上海）如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（）A． B． C． D．【分析】根据相等向量的几何意义和三角形法则解答．【解答】解：∵＝，E为AB中点，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，∴+＝+＝，故选：A．【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．39．（2016•上海）已知在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设＝，＝，那么向量用向量、表示为（）A．+ B．﹣ C．﹣+ D．﹣﹣【分析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD＝DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，∴BD＝DC，∵＝，∴＝，∵＝，∴＝+＝+．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．40．（2020•上海）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2+．【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案为：2+．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．41．（2019•上海）如图，在正六边形ABCDEF中，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2+．【分析】连接CF．利用三角形法则：＝+，求出即可．【解答】解：连接CF．∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF＝2BA，∴＝2，∵＝+，∴＝2+，故答案为2+．【点评】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．42．（2018•上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设＝，＝，那么向量用向量、表示为+2．【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC＝BF，故AF＝2AB＝2DC，结合三角形法则进行解答．【解答】解：如图，连接BD，FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB．∴△DCE∽△FBE．又E是边BC的中点，∴＝＝，∴EC＝BE，即点E是DF的中点，∴四边形DBFC是平行四边形，∴DC＝BF，故AF＝2AB＝2DC，∴＝+＝+2＝+2．故答案是：+2．【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．43．（2017•上海）如图，已知AB∥CD，CD＝2AB，AD、BC相交于点E，设＝，＝，那么向量用向量、表示为+2．【分析】根据＝+，只要求出即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴＝＝，∴ED＝2AE，∵＝，∴＝2，∴＝+＝+2．【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．44．（2015•上海）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，＝，＝，那么向量用向量，表示为﹣．【分析】由＝，＝，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，∴＝＝（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．45．（2014•上海）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3EB．设＝，＝，那么＝﹣（结果用、表示）．【分析】由点E在边AB上，且AB＝3EB．设＝，可求得，又由在平行四边形ABCD中，＝，求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵AB＝3EB．＝，∴＝＝，∵平行四边形ABCD中，＝，∴＝＝，∴＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．46．（2013•上海）计算：2（﹣）+3＝．【分析】先去括号，然后进行向量的加减即可．【解答】解：2（﹣）+3＝2﹣2+3＝2+．故答案为：2+．【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．47．（2012•上海）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝2AD，如果，，那么＝（用，表示）．【分析】由梯形ABCD，AD∥BC，BC＝2AD，，根据平行向量的性质，即可求得的值，又由＝+，即可求得答案．【解答】解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC＝2AD，，∴＝2＝2，∵，∴＝+＝2+．故答案为：2+．【点评】此题考查了平面向量的知识与梯形的性