专题2.5四边形综合五种题型与真题训练-2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(原卷版+解析)

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）题型一：平行四边形综合1.（2022嘉定一模25题）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．题型二：菱形综合1.（2022闵行一模25题）已知四边形是菱形，，点在射线上，点在射线上，且．（1）如图，如果，求证：；

（2）如图，当点在的延长线上时，如果，设，试建立与的函数关系式，并写出的取值范围

（3）联结，当是等腰三角形时，请直接写出的长．2.（2020黄浦二模）在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当＝时，求值；（3）当cos∠D＝，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．3.【2021松江二模】如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．4.（2020浦东二模）已知：如图，在菱形中，，．点为边上的一个动点（与点、不重合），，与边相交于点，联结交对角线于点．设，．（1）求证：是等边三角形；（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）点是线段的中点，联结，当时，求的值．题型三：正方形综合1.（2022崇明一模25题）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证：（1）当时，求的值；（2）当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值．2.（2022宝山一模25）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．（1）求证：；（2）联结，如果，求的正切值；（3）联结，如果，求的值．3.【2021年崇明二模】（14分）如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．题型四：矩形综合1．（2022松江区一模）如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AD′E′，使得点D的对应点D'落在AE上，如果D′E′的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于．2.【2021闵行二模】（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P在边BC上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，PB为半径作圆，圆P与射线BD的另一个交点为点E，直线CE与射线AD交于点G．点M为线段BE的中点，联结PM．设BP＝x，BM＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结AP，当AP∥CE时，求x的值；（3）如果射线EC与圆P的另一个公共点为点F，当△CPF为直角三角形时，求△CPF的面积．题型五：梯形综合1.（2022青浦一模25题）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．2.（2020松江二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD<BC，AB=BC=1，E是边AB上一点，联结CE.（1）如果CE=CD，求证：AD=AE；（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长；（3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD=，且M在直线AD上时，求的值.（第25题图）（第25题图）ABCDE（备用图1）ABCDABCD（备用图2）3.（2020徐汇二模）.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，点O是边BC上的动点，以OB为半径的与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；（2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长；（3）将绕着点M旋转180°得到，如果以点N为圆心的与都内切，求的半径长．4.（2020虹口二模）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．（1）求sin∠BDC的值；（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．5.【2021普陀二模】（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cosC＝（如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．【真题训练】1.（2021年上海中考真题25）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E.(1)当点E在边CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值;(2)若DE=2，OE=3，求CD的长.2.（2020上海中考真题23）．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．3.(2018上海中考真题23)．（12.00分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．4.（2017年上海中考真题）23．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）题型一：平行四边形综合1.（2022嘉定一模25题）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．【解答】解：（1）如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，设AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四边形ABCD的周长是16，∴2（AB+BC）＝16，即2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由题意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定义域是：5＜x≤．（3）解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①当点F在边AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∵AC＝4，∴S△DAF＝×2×4＝4，∴，∴S△CDE＝，②当点F在AB的延长线上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝6，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∴S△DAF＝AF•AC＝12，∴，∴S△CDE＝．综上所述，△CDE的面积是或．题型二：菱形综合1.（2022闵行一模25题）已知四边形是菱形，，点在射线上，点在射线上，且．（1）如图，如果，求证：；

（2）如图，当点在的延长线上时，如果，设，试建立与的函数关系式，并写出的取值范围

（3）联结，当是等腰三角形时，请直接写出的长．【小问1详解】解：证明：四边形是菱形，，菱形是正方形，，，，，；【小问2详解】解：如图1，在上截取，四边形是菱形，，，是正三角形，，，，，∵∠BAE=∠DAF，，，；【小问3详解】如图2，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，，，，，，四边形是菱形，，，，，①，，，，②，由①②得，，，如图3，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，作于，，，由得，，，，由第一种情形知：，，，，①，②，由①②得，，，，，即，综上所述：或．2.（2020黄浦二模）在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当＝时，求值；（3）当cos∠D＝，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．【整体分析】（1）连接AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得GF∥EH，GF＝EH，从而可知四边形EFGH是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG，由菱形的性质及FG∥EH可得∠BGF＝∠DEH，及∠B＝∠D，从而判定△BGF∽△DEH，结合＝及菱形的性质可得答案；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，根据cos∠D＝及菱形的边长可求得BM＝AN＝，MG＝NE＝．设AF＝x，则MF＝﹣x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①△GMF∽△FNE，②△GMF∽△ENF．满分解答：（1）连接AC、BD，∵菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F是边AB中点，∴AF＝AE＝AB，EF∥BD，∵FG⊥EF，EH⊥EF．∴GF∥EH∥AC，∴GF＝HE＝AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵FG⊥EF，∴∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形；（2）连接EG，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠BGE＝∠DEG，∵FG∥EH，∴∠FGE＝∠HEG，∴∠BGF＝∠DEH，又∵菱形ABCD中，∠B＝∠D，∴△BGF∽△DEH，∴＝∵＝，∴BG＝BC，DE＝AD＝BC，∴＝＝；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，∵四边形EFGH是矩形，∴GF＝EH，∵由（2）可知，△BGF∽△DEH，∴此时△BGF≌△DEH，又∵菱形ABCD边长为2，∴BG＝DE＝1，∴BG＝CG＝1，∴cos∠B＝cos∠EAN＝cos∠D＝，∴BM＝AN＝，∴MG＝NE＝．设AF＝x，则MF＝2﹣﹣x＝﹣x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型）．①若△GMF∽△FNE，则＝，∴＝，解得x1＝，x2＝1（点F不与AB中点重合，舍去）；②若△GMF∽△ENF，则＝，∴＝1，解得x＝．综上，AF的长为或．3.【2021松江二模】如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由题目条件可证得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），进而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四边形AFED是菱形．（2）根据条件可证得△ABG∽△CBA，即可证明结论．（3）由条件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC•BC，得到点E是BC的黄金分割点，可得出，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四边形AFED菱形．（2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四边形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG•BC．（3）解：如图，∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，∴BE2＝EC•BC，∴点E是BC黄金分割点，∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键．4.（2020浦东二模）已知：如图，在菱形中，，．点为边上的一个动点（与点、不重合），，与边相交于点，联结交对角线于点．设，．（1）求证：是等边三角形；（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）点是线段的中点，联结，当时，求的值．【整体分析】（1）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利由∠BAC=∠EAF=60°，可证明∠BAE=∠CAF，从而可证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形；（2）过点E作EH⊥AC于点H，过点F作FM⊥AC于点M，先用含x的代数式表示出HM，然后证明△EGH∽△FGM，得出，从而可用含x的代数式表示出HG，最后在Rt△EHG中，利用勾股定理可得出x，y之间的关系；（3）先用含x的代数式表示出CG的长，然后证明△COE∽△CGF，得出，从而可得出关于x的方程，解出x的值即可．【满分解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°，

∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形．（2）解：过点E作EH⊥AC于点H，过点F作FM⊥AC于点M，∵∠ECH=60°，∴CH=，EH=x，∵∠FCM=60°，由（1）知，CF=BE=2-x，∴CM=（2-x），FM=（2-x），∴HM=CH-CM=-（2-x）=x-1．∵∠EHG=∠FMG=90°，∠EGH=∠FGM，∴△EGH∽△FGM，∴，∴，∴，∴HG=．在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，∴y2=（x）2+[]2，∴y2=，∴y=（舍去负值），故y关于x的解析式为y=（0＜x＜2）．（3）解：如图，∵O为AC的中点，∴CO=AC=1．∵EO=EG，EH⊥OC，∴OH=GH，∠EOG=∠EGO，∴∠CGF=∠EOG．∵∠ECG=60°，EC=x，∴CH=，∴OH=GH=OC-CH=1-，∴OG=2OH=2-x，∴CG=OC-OG=x-1．∵∠CGF=∠EOC，∠ECO=∠GCF=60°，∴△COE∽△CGF，∴，∴，整理得x2=2，∴x=（舍去负值），经检验x是原方程的解．故x的值为．【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．准确作出辅助线，综合运用相关性质是解题的关键．题型三：正方形综合1.（2022崇明一模25题）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证：（1）当时，求的值；（2）当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值．【小问1详解】解：过点E作EH⊥BD与H，∵正方形的边长为1，，∴EB=1-，∵BD为正方形对角线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∵EH⊥BD，∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，∴EH=BH，∴EH=BH=BEsin45=，AB=BDcos45°，∴，∴DH=DB-BH=，；【小问2详解】解：如上图，∵AE=x，∴BE=1-x，∵将△ADE绕点D针旋转90°，得到△DCF，∴CF=AE=x，ED=FD=,∴BF=BC+CF=1+x，在Rt△EBF中EF=，∵∠EDF=90°，ED=FD，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE=∠DEF=45°，∴∠EBM=∠MFD=45°，∵∠EMB=∠DMF，∴△BEM∽△FDM，∴，即，∵∠DEM=∠FBM=45°，∠EMD=∠BMF，∴△EMD∽△BMF，∴，即，∴，∴，∴即，∴，0≤x≤1；【小问3详解】解：当点GBC上，，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BG，∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∵由（2）知△BEM∽△FDM，∴，∵DB=，∴，∴，∴，∵，∴即，解，舍去；当点G在CB延长线上，，过M作ML⊥BC，交直线BC于L，∵GB∥AD，∴∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∴，∴，∵∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，∴△MLB为等腰直角三角形，∵ML∥CD，∴∠LMB=∠CDB，∠L=∠DCB，∴△MLB∽△DCB，∴，CD=1，∴ML=∵ML∥BE，∴∠L=∠FBE，∠LMF=∠BEF，∴△LMF∽△BEF，∴，∵BE=AE-AB=x-1，LF=LB+BC+CF=，BF=BC+CF=1+x，∴，整理得：，解得，舍去，∴AE的值为或．2.（2022宝山一模25）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．（1）求证：；（2）联结，如果，求的正切值；（3）联结，如果，求的值．【小问1详解】：如图所示，作CG⊥CE，交FD延长线于G点，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四边形FECG为矩形，∠G=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四边形FECG为正方形，∴CE=EF；

【小问2详解】解：如图所示，连接CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，则△CEF为等腰直角三角形，由旋转的性质得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，∵AP=AB，∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也为等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，设PF=DF=x，则FE=CE=3x，由（1）知四边形CEFG为正方形，∴FG=FE=3x，∴DG=FG-DF=2x，∵△BCE≌△DCG，∴BE=DG=2x，∴在Rt△BEC中，，∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ABP=∠BCE，∴；【小问3详解】解：∵，∴如图所示，连接AF和对角线AC，由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，∴∠CFD=45°，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，AC=AB，∴∠CAD=∠CFD，∴点A、C、D、F四点共圆，∴∠AFC=∠ADC=90°，∵AF=AB，∴AF=AC，则在Rt△AFC中，，∵∠ACF为锐角，∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，∴∠FAD=60°-45°=15°，∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，∴△AFP≌△AFD，∴∠FAD=∠FAP=15°，∴∠PAD=30°，∴n=30．3.【2021年崇明二模】（14分）如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠PAE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．题型四：矩形综合1．（2022松江区一模）如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AD′E′，使得点D的对应点D'落在AE上，如果D′E′的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于．【分析】如图，连接BE、BE′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再运用面积法可得：AB•AD＝AE•BD′，求出AE＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，连接BE、BE′，∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，∴∠D＝90°，由旋转知，△AD′E′≌△ADE，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延长线恰好经过点B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝4，∵AB•AD＝AE•BD′，∴AE＝＝＝，在Rt△ADE中，DE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用面积法求得AE．2.【2021闵行二模】（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P在边BC上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，PB为半径作圆，圆P与射线BD的另一个交点为点E，直线CE与射线AD交于点G．点M为线段BE的中点，联结PM．设BP＝x，BM＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结AP，当AP∥CE时，求x的值；（3）如果射线EC与圆P的另一个公共点为点F，当△CPF为直角三角形时，求△CPF的面积．【分析】（1）先由垂径定理证明PM⊥BE，得出△BMP与△BCD相似，利用△BCD三边之间的特殊比值求出y与x之间的函数关系式；（2）当AP∥CE时，则DG＝BP＝x，再用△DGE与△BCE相似，列出方程，求得结果；（3）△CPF为直角三角形分两种情况，第一种是点E与点D重合，第二种是PF⊥BC，利用∠EPC的正切值为这一隐含条件，即可求解．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴BD＝＝6，∵M为弦BE的中点，P为圆心，∴PM⊥BE，∠BMP＝90°，∵AD∥BC，∴∠PBM＝∠DBC，∴＝＝cos∠DBC，∴＝，∴y＝x，当点G与点A重合时，则点E为BD中点BD＝，由x＝，∴y关于x的函数解析式y＝x（；（2）如图1，当AP∥CE时，AG＝PC，∴DG＝BP＝x．由BM＝x，得BE＝x﹣x∵DG∥BC∴△DGE∽△BCE，∴＝＝＝；∴＝，整理，得x2+4x﹣40＝0，解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2（不符合题意∴x＝﹣4+3．（3）如图2，若∠PFC＝90°，不符合题意；如图3，当∠PCF＝90°时，此时y＝＝5，由x＝2，∴PC＝8﹣5＝5，CF＝CD＝4，∴S△CPF＝×3×4＝2；如图4，当∠CPF＝90°时，在BC边上取一点H，连接DH，由图3得，当点E与点D重合时，此时，DH＝5，∴CH：CD：DH＝3：4：2，∵∠EPQ＝∠DHC＝2∠DBC，∠Q＝∠DCH＝90°，∴△EPQ∽△DHC，∴PQ：EQ：PE＝3：5：5，∵PE＝BP＝PF＝x，∴EQ＝x，PQ＝x∵PF∥EQ，∴△CPF∽△CQE，∴＝＝＝，∴PC＝PQ＝×x，∴4﹣x＝x，解得x＝5，∴PC＝8﹣6＝2，PF＝6，∴S△CPF＝×2×6＝2．综上所述，△CPF的面积为6．【点评】此题重点考查垂径定理与相似三角形的性质的综合应用，涉及点和图形的运动，要求在不同的位置上画出相应的图形，进行分类讨论，解题的关键是正确地作出辅助线并利用相似比找出数量之间的关系．此题综合性强，难度较大．题型五：梯形综合1.（2022青浦一模25题）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【解答】解：（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四边形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四边形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，FM2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．∵DE∥CN，∴四边形DCNE是平行四边形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，则四边形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．2.（2020松江二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD<BC，AB=BC=1，E是边AB上一点，联结CE.（1）如果CE=CD，求证：AD=AE；（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长；（3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD=，且M在直线AD上时，求的值.（第25题图）（第25题图）ABCDE（备用图1）ABCDABCD（备用图2）解（1）过C点作AD垂线,垂足为F………………1分∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC∴四边形ABCF是正方形,∴AB=BC=CF=FA又∵CE=CD,∴△CBE≌△CFD…………1分∴BE=FD…………………1分∴AD=AE…………………1分（2）∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6如图所示，①若∠EDC=90°时，若△ADE、△BCE和△CDE两两相似那么∠4=∠5=∠6=60°,∠1=∠2=∠3=30°…1分在△CBE中，∵BC=1,∴,AABCDE564213∵AB=1,∴……………1分此时△CDE与△ADE、△BCE不相似②若∠5=90°时,116ABCDE5243∵∠1+∠A=∠4+∠5,∠5=∠A=90°∴∠1=∠4,∴△ADE∽△BEC∴∠6=∠3若△CDE与△ADE相似∵AB与CD不平行,∴∠6与∠EDC不相等∴∠6=∠2=∠3………………………1分∴若△CDE与△ADE、△BCE相似那么,∴AE=BE,∵AB=1，∴AE=BE=……………1分∴AD=………………1分（3）令EM交CD于Q,DN交CE于P,∵E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，在△CDP与△CEQ中,∵∠CPD=∠CQE=90°,∠PCD=∠QCENNMABCDEFQP∴△CDP∽△CEQ……………1分∴…………………1分∵AD∥BC，AB⊥BC,AB=BC=1，∴………………1分∵CD垂直平分EM,∴DE=DM,CE=CM又∵CB=CF,∠CBE=∠CFM=90°,∴△CBE≌△CFM∴BE=FM,设BE=x，则FM=x，∵ED=DM,∴解得，∴……1分∴∵DN=2DP,EM=2EQ∴…1分3.（2020徐汇二模）.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，点O是边BC上的动点，以OB为半径的与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；（2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长；（3）将绕着点M旋转180°得到，如果以点N为圆心的与都内切，求的半径长．【整体分析】（1）作于，根据中位线定理得出四边形是平行四边形，从而利用解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求即可；（2）先证，再证，从而证明，得到，再通过平行证明，从而得到，通过两式相乘得出再根据平行得出，从而得出答案．（3）通过图形得出垂直平分,从而得出，再利用解三角函数即可得出答案．【满分解答】（1）如图，作于：∵为中点，∴∴∴∴设半径为，在中：解得：∵分别为中点∴又∵∴∴∴四边形是平行四边形∴∴（2）如图：连接∵∴又∵∴又∵∴∴①又∵∴∴②由①②得;∴∴故MN的长为5；（3）作如图：∵圆与圆外切且均与圆内切设圆半径为，圆半径为∴∴在的中垂线上∴垂直平分∴∵∴点在圆上∴解得：⊙O的半径长为【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．4.（2020虹口二模）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．（1）求sin∠BDC的值；（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．【分析】（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法求出BJ，BD即可解决问题．（2）分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可．（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，∴CK＝3，∵BC＝6，∴BK＝CK＝3，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°∵DK⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，∴四边形ABKD是矩形，∴AD＝BK＝3，∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，∵S△DCB＝•BC•DK＝•CD•BJ，∴BJ＝，∴DJ＝＝＝，∵BD＝BE，BJ⊥DE，∴DJ＝JE＝，∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，∴sin∠BDC＝＝＝．（2）如图2中，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DBC，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADG＝∠C，∵△ADG相似△BEC，∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，∴＝，∴＝，∴DG＝，当△ADG∽△ECB时，＝，＝，∴DG＝．（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5，∵JB＝JH，JG⊥BH，∴BG＝GH＝x，∴JG＝＝，∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝x，在Rt△QKJ中，∵JQ2＝QK2+KJ2，∴y2＝x2+（﹣y）2，∴y＝．5.【2021普陀二模】（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cosC＝（如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．【分析】（1）如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，通过计算证明AD＝CM，可得结论．（2）如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．由cosC＝＝，设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，想办法构建方程，求解即可．（3）分两种情形：如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．分别求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，在Rt△CGM中，CM＝＝＝3，∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四边形AMCD是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．∵ME＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cosC＝＝，设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，∴MH＝CM﹣CH＝k，∴tan∠EMH＝，∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB＝＝＝，∴BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，∴CE＝6k＝．（3）如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cosC＝＝，∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，设CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，∴⊙M的半径为．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝，综上所述，满足条件的⊙M的半径为或．【真题训练】1.（2021年上海中考真题25）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E.(1)当点E在边CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值;(2)若DE=2，OE=3，求CD的长.【考点】相似形综合题【解答】解：①如图2，∵AC=CD∴∠1=∠2∵AC∥BC∴∠1=∠