3-4 不等式的解集与一元一次不等式（要点梳理、类型讲解）

不等式的解集与一元一次不等式（知识讲解）【学习目标】不等式解集的概念并会在数轴上表示解集；理解一元一次不等式的概念；3.会解一元一次不等式．【要点梳理】要点一、不等式的解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．特别说明：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：特别说明：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．要点二、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．特别说明：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点三、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.特别说明：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．特别说明：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【典型例题】类型一、不等式的解集➽➼解集的理解与认识1．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a．若两个不等式解集相同，求a的值；若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围．【答案】(1)a=1； (2)a≥1．【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可．（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2，由−1+x<a得：x＜a+1，由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，解得：a=1；（2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，得到2≤a+1，解得：a≥1．【点拨】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．举一反三：【变式1】在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7，并利用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式﹣3≤x＜6，哪些不满足？【答案】﹣2，0，满足不等式；﹣4，7不满足不等式【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表示满足不等式，否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x的下列值：﹣2，0，满足不等式；x的下列值：﹣4，7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式2】不等式的解集中是否一定有无限多个数？不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？【答案】见分析.整体分析：根据不等式的解集的定义和非负数的性质，绝对值的性质解题.解：不等式的解集中不一定有无数多个数.|x|≤0的解集是x=0，x2＜0无解.x2＞0的解集为x＞0或x＜0，x2+4＞0的解集为一切实数.类型二、一元一次不等式➽➼定义的认识✭✭数轴上表示解集2．已知是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．【答案】或，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【分析】根据一元一次不等式的定义得到且，求得a的值，然后把a的值代入原不等式，解不等式即可．解：∵是关于x的一元一次不等式，∴且，解得或，当时，不等式为，解集为．当时，不等式为，解得．【点拨】本题考查了一元一次不等式的定义和解一元一次不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．举一反三：【变式1】已知(b＋2)xb＋1＜－3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．【答案】b=0，x＜－1.5试题分析：先根据一元一次不等式的概念，知b+1=0，求得b，然后代入解不等式即可.解：∵(b＋2)xb＋1＜－3是关于x的一元一次不等式，∴b＋1＝1，则b＝0，∴2x＜－3，解得x＜－1.5.【变式2】下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？（1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8【答案】（2）、（3）是一元一次不等式【分析】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可，根据定义逐一判断即可．解：（1）是等式；（4）不等式的左边不是整式；（5）含有两个未知数，所以不是一元一次不等式，所以一元一次不等式有：（2）、（3）【点拨】本题考查的是一元一次不等式的识别，掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键.3．解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．，【答案】，它的解集在数轴上表示见分析【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．解：去分母，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得将不等式的解集表示在数轴上如下：【点拨】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．举一反三：【变式1】解下列不等式，并把解集表示在数轴上．解不等式，并在数轴上表示解集．【答案】(1)，详见分析 (2)，详见分析【分析】（1）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上；（2）通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可．（1）解：，移项，得，合并同类项，得，两边都除以2，得；这个不等式的解表示在数轴上如图所示．；（2）解：，去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项得，系数化为1，得，在数轴上表示解集如图：．【点拨】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确地解一元一次不等式，解集为“”时要用实心点表示．【变式2】解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．【答案】x≥2，见分析【分析】先根据解一元一次不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1求得解集，再表示在数轴上即可解：去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：，解集在数轴上表示为：【点拨】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，正确求解是解答的关键，特别注意不等号的方向．类型三、解一元一次不等式的解集➽➼整数解✭✭最值4．已知关于的不等式．当时，求该不等式的正整数解取何值时，该不等式有解，并求出其解集【答案】(1) (2)当时，不等式有解，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解为【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．解：（1）当时，原不等式为∶．去分母，得：．解得．∴它的正整数解为．（2）．去分母，得∶．移项，合并同类项，得∶．当时，不等式有解，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解为．【点拨】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．举一反三：【变式1】若代数式的值不小于的值，求满足条件的x的最小整数值．【答案】0【分析】根据题意得出关于x的不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得x的范围，继而可得答案．解：根据题意得，去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，，则满足条件得x的最小整数值为0．【点拨】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式2】求解不等式的非正整数解．【答案】-1，0【分析】根据不等式的性质，先求出不等式的解集，再根据不等式的解集，写出满体题意的整数解即可．解：去分母：4（1-x）-12x<36-3（x+2）去括号：4-4x-12x<36-3x-6移项合并：-13x<26化系数为1：x>-2∴原不等式的非正整数解有：-1，0．【点拨】本题主要考查了解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意不等式的性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．5．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．【答案】0【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值．解：原方程可化为：，即7x=7，解得：x=1，把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，解不等式得：，所以整数a的最小值为0．【点拨】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键．举一反三：【变式1】已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值．【答案】1【分析】先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值．解：不等式的解集，则最大整数解；不等式的解集，则最小整数解；则．【点拨】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键．【变式2】已知、满足和，求的最小值．【答案】3【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可．解：解方程组，得，∵，∴，即，解得：，∴的最小值为3．【点拨】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．类型四、解一元一次不等式➽➼求绝对值不等式的解集✭✭列一元一次不等式6．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当，即时：解这个不等式，得：由条件，有：（2）当，即时，解这个不等式，得：由条件，有：∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）；

（2）．【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即

x＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1

∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即

x＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，由条件x＜2，有：x≤1，∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．【点拨】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．举一反三：【变式】解下列不等式：（1）（2）【答案】（1）或；（2）【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．解：（1）当时，则，解得，，当时，则，解得，，综上，或；（2）当，即时，，解得，，当时，则，解得，，综上，．【点拨】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．7．取什么值时，代数式的值是非负数．【答案】【分析】先列不等式得：，去分母得：，移项得：，解得：即可．解：列不等式得：，

去分母得：，移项得：，解得：．答：当时，代数式的值是非负数．【点评】本题考查了不等式的解法，掌握不等式的解法与过程，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．举一反三：【变式1】表示下列关系：x的与－5的和是非负数；y的3倍与9的差不大于－1．【答案】(1)x－5≥0 (2)3y－9≤－1【分析】（1）先表示出x的是x，与−5的和为x−5，是非负数得出x−5≥0；（4）先表示出y的3倍是3y，再表示出与9的差3y−9，然后根据不大于−1即为小于等于，列出不等式即可．（1）解：根据题意得：x−5≥0；（2）解：根据题意得：3y−9≤−1．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．【变式2】y取什么值时，代数式2y－3的值：（1）大于5y－3的值？（2）不大于5y－3的值？【答案】（1）y＜0；（2）y≥0【分析】（1）先列不等式，然后解不等式即可，（2）先列不等式，然后解不等式即可．解：(1)由2y-3＞5y-3，解得y＜0；(2)由2y-3≤5y-3，解得y≥0．【点拨】本题考查列不等式和解不等式，掌握抓住不等关系语言列不等式，和解不等式是解题关键．类型五、一元一次不等式的应用➽➼解决实际问题✭✭解决几何问题8．新型冠状肺炎疫情爆发以来，很多地方防护物资紧缺，开学前期，某爱心人士准备购买额温枪送给母校，经了解市场，购买甲种品牌的额温枪支和乙种品牌的额温枪支共需元，购买甲种品牌的额温枪支和乙种品牌的额温枪支共需元．求两种品牌的额温枪的价格各是多少元？经与商家协商，甲种品牌的额温枪可以打八折出售，乙种品牌的额温枪降价，若购买两种品牌的额温枪共支且总费用不超过元，甲种品牌的额温枪至少要购买多少支？【答案】(1)甲种品牌的额温枪的价格为元，乙种品牌的额温枪的价格为元甲种品牌的额温枪至少要购买个【分析】（1）设甲种品牌的额温枪的价格为元，乙种品牌的额温枪的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设购买甲种品牌的额温枪支，则购买乙种品牌的额温枪支，根据题意列出一元一次不等式，根据为正整数，求得最小值，进而即可求解．（1）解：设甲种品牌的额温枪的价格为元，乙种品牌的额温枪的价格为元，根据题意得，，解得：，答：甲种品牌的额温枪的价格为元，乙种品牌的额温枪的价格为元；（2）设购买甲种品牌的额温枪支，则购买乙种品牌的额温枪支，根据题意得，解得：，∵为正整数，∴可取的最小值为答：甲种品牌的额温枪至少要购买个．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是∶（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．举一反三：【变式1】随着“父亲节”的临近，某商场决定开展“感恩父爱，回馈顾客”的促销活动，对部分节日大礼包进行打折销售，其中款节日大礼包打折，款节日大礼包打折，已知打折前，购买盒款节日大礼包和盒款节日大礼包需要元；打折后买盒款节日大礼包和盒款节日大礼包需要元．求打折后，两款节日大礼包每盒分别为多少元？打折期间，某公司计划为员工采购盒节日大礼包，总费用不超过元，则最多可以购买款节日大礼包多少盒？【答案】(1)打折后两款节日大礼包每盒分别为元，元； (2)最多可以购买款节日大礼包盒【分析】（1）根据题意列出关于，两种大礼盒的二元一次方程组，求解即可；（2）根据题意列出关于购进，两种礼盒费用的不等式，求解即可．（1）解：设打折前款节日大礼包每盒元，款节日大礼包每盒元，根据题意，列方程组得解得打折后款节日大礼包每盒价格为(元)，打折后款节日大礼包每盒价格为(元)．答：打折后两款节日大礼包每盒分别为元，元（2）设购买款大礼盒个，则购买款大礼盒个，根据题意，得：，解得，答：最多可以购买款节日大礼包盒．【点拨】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．【变式2】某学校购买一批篮球和排球，已知购买2个篮球和1个排球需170元，购买5个篮球和2个排球需400元．分别求篮球和排球的单价．该学校准备购买篮球和排球共100个，每种球至少买一个且篮球个数不少于排球个数的3倍．①设购买篮球（个），总费用为（元），写出关于的函数表达式并写出自变量的取值范围；②请设计总费用最低的购买方案，并求出最低费用．【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是50元(2)①；②总费用最低的购买方案是购买篮球75个，排球25个，此时的费用为5750元．【分析】（1）根据费用可得等量关系为：购买2个篮球和1个排球需170元，购买5个篮球和2个排球需400元，列出方程组，求解即可；（2）①根据题意和（1）中的结果，可以写出W关于m的函数解析式；②根据①中的结果和一次函数的性质，可以得到总费用最低的购买方案，并求出最低费用．（1）解：设购买一个篮球需要x元，购买一个排球需要y元，根据题意，得，解得：，答：篮球的单价是60元，排球的单价是50元；（2）解：①由题意可得：，∵篮球个数不少于排球个数的3倍∴解得：关于的函数表达式为：；②由①知：，∴随m的增大而增大，∵，∴当时，取得最小值，此时，，答：总费用最低的购买方案是购买篮球75个，排球25个，此时的费用为5750元．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．9．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．写出用表示的式子______．当时，求的值；受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．【答案】(1)a=50-2b，15． (2)【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可；（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式