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文档简介
专题7.4空间直线、平面的垂直(举一反三讲义)
【全国通用】
【题型1垂直关系的有关命题的判断】...................................................................................................................5
【题型2证明线线垂直】...........................................................................................................................................7
【题型3线面垂直的判定】.....................................................................................................................................10
【题型4线面垂直的性质定理的应用】.................................................................................................................15
【题型5面面垂直的判定】.....................................................................................................................................20
【题型6面面垂直的性质定理的应用】.................................................................................................................26
【题型7平行、垂直关系的综合应用】.................................................................................................................32
【题型8垂直关系的探索性问题】.........................................................................................................................37
1、空间直线、平面的垂直
考点要求真题统计考情分析
空间直线、平面的垂直是高考的重
点、热点内容.从近几年的高考情况来
2023年新高考Ⅱ卷:第20题,
看,主要分三方面进行考查,一是空间
12分
中线面垂直关系的命题的真假判断,常
(1)理解空间中直线与直线、直2024年新高考Ⅱ卷:第17题,
以选择题、填空题的形式考查,难度较
线与平面、平面与平面的垂直15分
易;二是空间线线、线面、面面垂直的
关系2025年全国一卷:第9题,6
证明以及垂直关系的转化,一般以解答
(2)掌握直线与平面、平面与平分、第17题,15分
题的第一小问的形式考查,难度中等;
面垂直的判定与性质,并会简2025年北京卷:第14题,5
三是线面平行、垂直关系的存在性问题,
单应用分
难度中等;解题时要灵活运用直线、平
2025年天津卷:第17题,15
面的垂直的判定与性质,复习备考时要
分
强化定理条件的严谨性,避免忽略定理
核心条件导致失误.
知识点1线面垂直的判定定理和性质定理
1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面
α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度
叫做这个点到该平面的距离.
2.直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
(2)图形语言:如图所示.
(3)符号语言:a⊂α,b⊂α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直,则线面垂直”.
3.直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
②图形语言:如图所示.
③符号语言:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
知识点2面面垂直的判定定理和性质定理
1.面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记
作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直,则面面垂直”.
2.平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直;
②构造面的垂线.
知识点3空间中的垂直关系的判定方法
1.直线与直线垂直的判定方法
(1)定义法:如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂
直,记作a⊥b;
(2)利用线面垂直的性质定理;
(3)利用面面垂直的性质定理;
2.直线与平面垂直的判定方法
(1)定义法:利用定义:若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面(不常用);
(2)利用线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线就和这个平
面垂直(常用方法);
(3)可作定理用的正确命题:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平
面(选择、填空题常用);
(4)面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于这两个平面的交线的直线垂直于另
一个平面(常用方法);
(5)面面平行的性质:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则这条直线也垂直于另一个平面;
(6)面面垂直的性质:若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.
3.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法:
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理.
(2)一个转化:
在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后
进一步转化为线线垂直.
4.平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
知识点4空间中位置关系的相互转化
1.线、面垂直位置关系的相互转化
2.平行关系与垂直关系的相互转化
【方法技巧与总结】
1.三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
2.三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
3.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
【题型1垂直关系的有关命题的判断】
【例1】(2025·重庆·二模)已知是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列说法
正确的是()�,�,�,���
A.若,则
B.若�⊥�,,�//�,�,⊥�,则�⊥�
C.若�⊥�,�⊥�,�//�,则�⊥�
D.若�//�,�//�,�//�,�则//�
【答案】D�//��⊂��∩�=��//�
【解题思路】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质,对每个选项逐一判断,通过举反例可判断ABC,由
线面平行的性质可判断D.
【解答过程】对于A,如图所示:,,,但,故A错误;
�⊥��//��⊥��//�
对于B.,如图所示:满足,,,但,故B错误;
�⊥��⊥��//��//�
对于C,满足,,,但不平行,故C错误;
�//��//��//��,�
对于D,,,,由线面平行的性质可和,故D正确.
故选:D.�//��⊂��∩�=��//�
【变式1-1】(2025·重庆·三模)已知直线,和平面,其中,则“”是“”的()
A.充要条件��B.充分�不必要条�件⊂��⊥��⊥�
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】由线面垂直判定定理及线面垂直的性质即可判断得出结论.
【解答过程】由,,则可能有,或者与相交,不能推出,
若,�,⊂则�有�⊥�,�⊂��//����⊥�
所以�⊥“��”⊂是“�”的�必⊥要�不充分条件.
故选:�C⊥.��⊥�
【变式1-2】(2025·天津滨海新·三模)已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题
正确的是()����
A.若,,则B.若,,则
C.若�//�,�⊂�,�//,�则D.若�//�,�//�,�//�,则
【答案】C�⊥��⊥��⊥��⊥��⊥��∩�=��⊥��⊥�
【解题思路】根据线面平行的位置关系判断AB;根据线面垂直、面面垂直的判定及性质判断CD.
【解答过程】对于A,由,,则或异面,故A错误;
对于B,由,�,/则/��⊂或�,�/故/�B错�误,�;
对于C,由�//�,�//�,则�//�或�⊂�,
则在平面内�存⊥在�直�线⊥�,而�//�,�则⊂�,所以,故C正确;
对于D,由�,�//�,�⊥�,�⊥��⊥�
只有当�或⊥��时∩�,=��,⊥故�D错误.
故选:C�.⊂��//��⊥�
【变式1-3】(2025·天津和平·二模)已知a,b是空间两条不同的直线,,,为三个不同的平面,则下
列命题正确的为()���
A.若,,,则B.若,,则
C.若�∥��⊂,��⊂�,�∥�,则D.若�∥�,�⊥�,则�⊥�
【答案】B�∩�=��∩�=��∥��∥��⊥��⊂��⊥�
【解题思路】利用空间中点、线、面位置关系的判定定理和性质逐项判断可得正确的选项.
【解答过程】对于A,若,,,则或异面,故A错误;
对于B,若,则存在�∥直�线�⊂�,使�⊂得�,�∥��,�
由于,�则∥�,可得�⊂,�故B正确�;∥�
对于�C⊥,�若�⊥�,�⊥�,,则或相交,故C错误;
对于D,若�∩�,=��∩,�设=��∥�,�∥��,�
�⊥��⊂��∩�=�
只有当时,才能得到,故D错误.
故选:B�.⊥��⊥�
【题型2证明线线垂直】
【例2】(2025高二下·湖南株洲·学业考试)在正方体中,连接,,则直线,
位置关系是()𝐴𝐵−�1�1�1�1����1����1
A.异面且垂直B.异面但不垂直
C.相交且垂直D.平行
【答案】A
【解题思路】易知与互为异面直线,根据线面垂直的判定定理与性质即可证明.
【解答过程】如图,��易知��1与互为异面直线.
����1
连接,则,
又��面��⊥,��面,
所以��1⊥𝐴�,�又��⊂𝐴𝐵、面,
所以��1⊥面��,�又�1∩��面=�,��,1��⊂��1�
所以��⊥��.1���1⊂��1�
故选:��A⊥.��1
【变式2-1】(24-25高二上·贵州·阶段练习)如图,在长方体中,直线与的位置关系
′′′′′
是()𝐴𝐵−��������
A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面但不垂直
【答案】C
【解题思路】根据图形结合线面垂直的性质判断即可.
【解答过程】在长方体中,平面,
′′′′′
因为平面,�所��以�−����,��⊥𝐴𝐵
′
又直线��⊂与�不��相�交且不平��行⊥,��
′
所以直线���与�异面且垂直.
′
故选:C.����
【变式2-2】(24-25高二上·云南昭通·期中)如图所示,在正方体中,.证明:
𝐴𝐵−�1�1�1�1𝐴=1
(1);
(2)𝐵1与⊥�1�是异面直线.
【答�案�1】(1�)1证�明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】(1)根据当两直线所成的角是直角时,两直线垂直即可证明
(2)根据异面直线的定义可得
【解答过程】(1)如图所示,连接,
��1
为正方体,
∵𝐴𝐵−�1,�1�1�1
∴平𝐴面∥�1�1为平行四边形,
∴𝐴�1�1
.
∴𝐵1∥�为�1正,�方�1形=,��1
∵���1�1,
∴��1⊥�1�.
(∴2�)�由1⊥�1�面,面,且面面,
又与𝐵1⊂不平𝐵行�,1�1�1与�⊂是��异�面1�直1线.𝐵�1�1//���1�1
1111
【变�式�2-3�】�(24-25高一∴�下�·吉林�长�春·期末)如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为BC,
A1B1的中点.
(1)求证:AB⊥DE.
(2)若AA1=3,AB=AC=2,求三棱锥A−BCE的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【解题思路】(1)取AB中点H,连EH,HD.由中点性质知AB垂直EH,AB垂直HD,根据线面垂直判定得AB
垂直平面EHD,进而得AB⊥DE.
(2)利用三棱锥体积公式算出体积.
【解答过程】(1)取AB中点H,连接EH,HD,
在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为BC,A1B1的中点,
故EH//BB1,DH//AC,又因BB1⊥AB,则AB⊥EH,AB⊥HD,
因EH∩HD=H,EH,HD⊂平面EHD,
故AB⊥平面EHD,因为DE⊂平面EHD,所以AB⊥DE;
(2)因AA1=3,AB=AC=2,BB1⊥平面ABC,则EH⊥平面ABC,
111
则三棱锥A−BCE的体积为:V=V=S△·EH=××2×2×3=2.
A−BCEE−ABC3ABC32
【题型3线面垂直的判定】
【例3】(2025·上海青浦·模拟预测)如图,已知四棱锥的底面为菱形,.
π
�−𝐴𝐵∠�𝐵=3,��=��
(1)求证:平面BDS;
(2)若��⊥,求四棱锥的体积.
【答案�】�(=1)证2,明��见=解析3,��=1�−𝐴𝐵
(2)1
【解题思路】(1)由菱形与等腰三角形的性质,可得线线垂直,根据线面垂直判定,可得答案;
(2)由菱形的性质与勾股定理,根据(1)可分割三棱锥的底与高,结合体积公式,可得答案.
【解答过程】(1)设AC与BD相交于点,
�
因为底面ABCD为菱形,所以,且为、中点.
��⊥�������
又因为,所以、平面BDS,
所以��平=面��BDS.��⊥��,��∩��=�,����⊂
(2)因��为⊥底面ABCD是菱形,,所以是等边三角形,则.
π
3
在中,∠�𝐵=,,满𝐴足=2△𝐴�,��=𝐴=2
222
根据△勾��股�定理�逆�定=理可3,知��=1,��=2,即��+.��=��
°
∠�𝐵=90𝐵⊥𝐴
由(1)知平面BDS,所以,
1
��⊥��−𝐴𝐵=3�△𝐴�⋅��
.
3×13
�△𝐴�=2=2,��=23
则.
13
�−𝐴𝐵
【变�式3-1】(=230×252·山×西2·三3模=)1如图所示,在三棱锥中,,,,
点,,分别在棱,,上运动,且�平−面�𝐵,𝐴=平�面���,=�,�=分�别�=是�线�段��和=2�的�
中点�.������𝐵𝐴//���𝐵//�����𝐵𝐴
(1)证明:直线平面;
��⊥���
(2)当三角形面积的最大值为时,求三棱锥的体积.
1
���2�−�𝐵
【答案】(1)证明见解析
(2)
214
【解题3思路】(1)即证,,利用线面垂直的判定定理即可得证;
��⊥����⊥��
(2)利用三角形面积的最大值为,即可求出各棱长,利用三棱锥的体积公式即可求解.
1
���2
【解答过程】(1)因为平面,平面,平面,
平面平面𝐴,//所以����,�同⊂理𝐴�,𝐴⊄���
连接𝐴�,∩,���=��𝐴//��𝐵//��
∵����,所以,
��=𝐵=��=��△�𝐵≅△�𝐵
又因为,分别是线段和的中点,
所以��,所以𝐵�,�所以,
又因为��=��,��⊥,𝐴平�面�⊥�,�平面,,
所以��平⊥面𝐵�,�所⊥以𝐵��⊂,所以�𝐴��⊂,�𝐴��∩��=�
因为𝐵⊥平面�𝐴,�平�面⊥��,��⊥��,
所以��⊂平面���.��⊂�����∩��=�
��⊥���
(2)由(1)及已知可得,因为,,
������������
��+��=1𝐴=��𝐵=��
所以,又因为,所以,
����
又因为𝐴+𝐵平=面1,所�以�=𝐵,��+��=𝐴
所以𝐵⊥,所�以𝐴�,�⊥𝐴
所以𝐵⊥����⊥��,当且仅当时等号成立,
2
11��+��21𝐴1
△���
所以�=,2又��⋅��≤2,则2=2×4=2,��=��
因为𝐴=平2面��,=所2�以���=𝐵=��=��=4
1
�−�𝐵�−𝐴��−𝐴�△𝐴�
因为𝐵⊥�𝐴�=�,所以+�=3�⋅𝐵,
2222
所以��=��=��−��=15.��=��−��=14
11214
��−�𝐵=3×2×2×14×2=3
所以三棱锥的体积为.
214
�−�𝐵3
【变式3-2】(2024·陕西安康·模拟预测)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,且
,,,点,分别为,的中�−点�.�𝐵𝐴𝐵
𝐴⊥��𝐵⊥����=2��𝐴𝐵
(1)求证:平面;
(2)求点到��平⊥面�的�距𝐵离.
【答案】�(1)证明见��解�析;
(2).
23
【解题3思路】(1)根据给定条件,利用线面垂直的判定、性质推理即得.
(2)利用等体积法求出点到平面的距离.
【解答过程】(1)由底面为正方形,得,又平面,
于是平面,而𝐴�平�面,则𝐴⊥,𝐴同理𝐴⊥��,,𝐴∩��=�,𝐴,��⊂𝐴�
又𝐴⊥𝐴���平⊂面𝐴,�𝐴⊥��𝐵⊥��
所以𝐴∩𝐵平=面�,𝐴,�.�⊂𝐴𝐵
(2)由��(⊥1)得𝐴𝐵,点为的中点,在中,,点为的中点,同理,
在中,��⊥𝐴�,�因�此Rt△�𝐴��=,2�𝐵��=2
1133
△𝐴���=2��=2�△���=2×2×2×2=2
在直角中,,
11
△�𝐴�△���=2×2×2×2=1
由(1)知平面,则平面,于是点到平面的距离为
1
𝐴⊥𝐴�𝐵⊥𝐴�����2𝐵=1
设点到平面的距离为,由,得,解得,
13123
����ℎ��−���=��−���3×2×ℎ=3×1×1ℎ=3
所以点到平面的距离为.
23
【变式3�-3】(20�25�·�四川雅安·三3模)四棱锥中,,底面为等腰梯形,,
,为线段的中点,�−�.�𝐵��=��𝐴𝐵𝐵∥𝐴𝐴=
2𝐵=2��=2�����⊥𝐴
(1)证明:平面;
(2)若��,⊥求直线�𝐴与平面所成角的正弦值.
【答案�】�(=1)证2明见解析𝐵𝐴𝐵
(2).
310
【解题10思路】(1)分析题意,利用线面垂直的判定定理求解即可.
(2)利用线面垂直找到线面角,放到三角形中求解正弦值即可.
【解答过程】(1)因为为线段的中点,所以,
在等腰梯形中,作��=��,�于,则�由���⊥��得,
1
𝐴𝐵��⊥𝐴�𝐴=2𝐵=2��=2𝐴=2��
所以,所以,
��1∘∘
cos∠𝐴�=��=2∠𝐴�=60,∠�𝐴=30
因为,所以,所以,
����1
所以𝐴=2��𝐴=,��所=以2△��,�∼所△以���,
∘∘
因为∠���=∠���=30,∠�𝐴平=面90,所以��⊥�平�面,
因为��在⊥平𝐴面,��∩内��,=所�以��,��⊂,�����⊥���
因为�����在平�面�⊥��内,所以平面.
(2)因��为∩��=�,��,��,所以�𝐴��⊥�,𝐴
取的中�点�=,2连,�接�=1,则��=,3,��=��=3
因为��平面�,��平面��P⊥CA�,�所以,
又��⊥�,����⊂平面,所以��⊥�平�面,
所以��∩��为=直�线��,与��平⊂面𝐴�所�成的角,��⊥𝐴𝐵
在正∠𝐵�中,𝐵,又因𝐴为𝐵,
311
△�����=2��=2��=2
在中,,所以,
222510
Rt△𝐵�𝐵=��+��=2𝐵=2
所以3.
��2310
10
𝐵
sin∠𝐵�==2=10
所以直线与平面所成角的正弦值为.
310
𝐵𝐴𝐵10
【题型4线面垂直的性质定理的应用】
【例4】(2025·上海杨浦·模拟预测)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,
,,,�−𝐴𝐵平面�.�𝐵
∘
∠�𝐵=90𝐵//��𝐴=2𝐵=1,��=��=4,��⊥𝐴𝐵
(1)求证:直线;
(2)求直线与��平⊥面��所成角的大小.
【答案】(1�)证�明见解�析𝐴
(2)
25
【解a题rct思an路5】(1)利用线面垂直的判定定理证明平面,再利用线面垂直的性质定理即可证明;
(2)先证明平明,从而得到为直线��⊥与平面���所成角,再在中求解即可.
【解答过程】�(�1⊥)由题��意�知∠�𝐴��,所以�𝐴,Rt△�𝐴∠�𝐴
又因为,tan所∠以𝐵�=2=tan∠���,所以∠𝐵�=∠�;��
∘∘
又因为∠���平+面∠�𝐵=,90平面∠𝐵�,+所∠�以𝐵=90,��⊥��
又因为��⊥𝐴𝐵��⊂平面𝐴�,���⊥��
所以��平∩面��=�,,�又�,��在⊂平面���内,
所以直��线⊥���;�����
(2)因为��⊥平��面,平面,所以,
因为��⊥,𝐴𝐵�,�⊂𝐴平𝐵明,�所�⊥以��平面,
所以��⊥�为�直线𝐴∩与�平�=面��所�成,�角�⊂,�𝐴��⊥�𝐴
∠�𝐴���𝐴
在中,因为,
所以Rt△�𝐴𝐴=25,��=4
��25
tan∠���=𝐴=5
所以直线与平面所成角的大小为.
25
5
【变式4-1�】(�2025·湖�南𝐴长沙·一模)在多面a体rctan中,已知
,且平面与平面均垂直于平面𝐴𝐵为�的中点𝐴.=��=2,��=22,��=��=𝐴=��=
5����𝐴𝐴�,���
(1)证明:;
(2)求直线��与∥平�面�所成角的正弦值.
【答案】(1�)证�明见解�析��
(2).
42
【解题9思路】(1)取的中点,证明四边形为平行四边形即可得证;
(2)建立空间直角坐标𝐴系,�,�运用法�向,量�求解即可.������∥��
【解答过程】(1)如图,分别取的中点,连接,
因为,故,又�平�面,��平�面,�,且平��面,��,��平面,
因此��=平��面�,�⊥𝐴�𝐴⊥𝐴��𝐴∩𝐴�=𝐴
同理可��知⊥,𝐴平�面,
因此��且⊥𝐴�,故四边形为平行四边形,所以,
又因为��∥��,��所=以��.������∥��
��∥����∥��
(2)因为,所以,所以,
222∘
以为原点𝐴,=�为�=轴2,,��=为2轴2,过且�与�平+面��=垂�直�的直线为∠𝐴轴�,=建9立0如图所示空间直角坐标系,
由题�意知,�������𝐴�,�
,�0,0,0,�2,0,0,�0,2,0,�1,0,2,�0,1,2
11
�2,2,2
所以.
11
22
设平面��=的−2法,2向,0量,�为�=−2,1,2,,��=,,2
则有���即 � =�,�,�
� ⋅� � =0,−2�+2�=0,
令,则,即平面的一个法向量为
� ⋅� � =0,−2�+�+2�=0,.
设直�=线2与平�=面2,�=所1成角为,��� � =2,2,1
则������,
� � ⋅ � 442
32
9
sin�=cos<� � , � >=�� � =2×3=
即直线与平面所成角的正弦值为.
42
�����9
【变式4-2】(2025·全国·模拟预测)如图所示,平面四边形中,,,,,
,点满足.将𝐴�沿�翻𝐴折=至8𝐵=,3使3得𝐵=9.∠𝐵�=90°
23
∠�𝐵=30°�,�� � =3� � ,� � =2� � △�����△�����=12
(1)证明:;
(2)求直线��与⊥平𝐵面所成角的余弦值.
【答案】(1�)证�明见解�析��
(2)
10
5
【解题思路】(1)根据题意先计算,利用余弦定理可得,结合勾股定理有,根据
翻折的不变关系和线面垂直的判定定�理�,证��得线面垂直,进而得到�线�=线2垂直3;��⊥��
(2)利用空间向量法计算线面夹角;
【解答过程】(1)由题意可知,,又,
23
所以由余弦定理得��=3𝐵=6,��=2𝐴=,4故3∠�𝐵.=30°
222
又�,�所=以��+��.−由2��⋅��⋅及co翻s3折0°的=性1质2知��=23,
222
又��+��=,���平�面⊥��,所�以�⊥��平面,��⊥��,��⊥𝐵
又𝐵∩平��面=�,𝐵所,以��⊂�𝐵��⊥�𝐵
(2)𝐵如⊂图所示��,�连接,��由⊥题�可�知,,
故��.��=9,𝐵=33∠𝐵�=90°
22
又��=��+𝐵=6,3所以,故.
222
又��=��=6,��=12��平+面��=,��所以��平⊥面��.
以��为⊥原�点�,,��∩��=�所,�在�直,�线�⊂分别为𝐴轴�、�轴、�轴�建⊥立空�间�直𝐵角坐标系,
则���,𝐵,�����.
由�0,0,6,�得0,9,0,�23,0,0,,�则0,−6,0,�33,9,,0,.
3
� � =2� � �4,43−6,0� � =−33,0,0� � =23,0,−6� � =4,43−6,−6
设平面的法向量为,则,即,
23�−6�=0
𝐴� � =�,�,� � ⋅��=0
令,则. � ⋅� � =04�+43−6�−6�=0
设直�=线3与平 � 面=3所,−成1角,1为,
π
𝐵𝐴��,0≤�≤2
→,
→� � ⋅�−33×3+0+015
sin�=cos� � ,�=� � � =33×5=5
则.
10
cos�=5
故直线与平面所成角的余弦值为.
10
𝐵𝐴�5
【变式4-3】(2025·全国·模拟预测)如图,在四棱锥中,底面为直角梯
形,,,�−,𝐴𝐵,𝐴𝐵.
𝐴//𝐵∠�𝐵=90°2𝐴=𝐵=��=��=2��=22��=23
(1)若,分别是,的中点,证明:;
(2)求二�面�角���的�余弦值.��⊥𝐵
【答案】(1)证�明−见��解−析�
(2)
251
【解题17思路】(1)取中点,连接,,以,,结合勾股定理的逆定理可证,
进而可得平面𝐵,利�用线面垂��直可�得�线线�垂�直∥;𝐵��∥𝐵𝐵⊥𝐵
(2)首先可𝐵得⊥,��,�两两垂直,构建空间直角坐标系,并求得平面的一个法向量,平面
的一个法向量,��利用�向�量�法�求得二面角的余弦值.𝐴�𝐴𝐵
【解答过程】(1)取中点,连接�,−��,−�
𝐵�����
因为,分别是,的中点,所以,.
因为������,所以��.∥𝐵��∥𝐵
222
𝐵+𝐵=8=��𝐵⊥𝐵
所以,又,所以.
因为𝐵⊥��,𝐵又⊥�,�平𝐵面⊥��,
所以��∩平��面=�,����⊂���
因为𝐵⊥平面���,所以.
(2)在��平⊂面�内�过�点作��⊥𝐵,交于点,
因为𝐵�,所以���⊥�,�又因为���,所以,
因为∠�𝐵=,90°��⊥,𝐵平�面�//𝐵,𝐵⊥��
所以𝐵⊥平𝐵面𝐵,∩又��=�平�面�,��,⊂所以𝐵�,
所以𝐵,⊥,𝐵�两两垂��直⊂,𝐵�𝐵⊥��
以为�原�点�,�分�别�以,,所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
����������
又所以,所以,
222
2+2−2312π
则cos∠𝐵,�=2×2×,2=−2,所以∠𝐵�=3,.
�0,−1,3�2,1,0�0,2,0� � =2,2,−3� � =0,3,−3
设平面的法向量为,
𝐴� � =�,�,�
则,令,则.
� ⋅� � =2�+2�−3�=01
�=1 � =2,1,3
易知平 � 面⋅� � =3的�一−个3法�向=量0为,所以.
� ⋅ � 251
𝐴𝐵 � =0,0,1cos � , � = � ⋅ � =17
由图知,二面角的平面角为锐角,故其余弦值为.
251
�−��−�17
【题型5面面垂直的判定】
【例5】(2025·江西南昌·二模)在三棱柱中,侧面是边长为4的正方形,
,.𝐴�−�1�1�1���1�1��1=27,𝐴=
2𝐴⊥��
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角���1�1⊥的余�弦�值�.
【答案】(1)证�明−见��解1析−�
(2)
7
【解7题思路】(1)由题意,根据勾股定理及其逆定理可证得,结合线面垂直与面面垂直的判定定
理即可证明;��1⊥��
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量法求解面面角即可.
【解答过程】(1)因为侧面是边长为4的正方形,
所以�,��1�1
因为��1⊥��,�1�=,��=4
则𝐴=2,𝐴⊥��,因为,
22
所以��=��−𝐴=,2即3��,1=27,�1�=4
222
因为��1+��=��1、��平1⊥面��,
所以��∩�平�面=�,�,�又��⊂平面𝐴�,
所以平��面1⊥𝐴�平面��1;⊂���1�1
(2)���1�1⊥𝐴�
以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
1
因为��,���,�,所以,
π
所以��=4,𝐴=2,��=23,∠���=3
则�0,0,0,�3,1,0,�10,4,,4
设平� � 面=3,的1,法0向,� 量 � 1 为=0,4,4,
11
由𝐴�,可得 � =�,�,�,令,则,
� � ⋅ � =03�+�=0
�=1 � 1 =1,−3,3
平面� � 1 ⋅ � 的=法0向量为4�+4�=,0
12
所以��� � =1,0,,0
� 1 ⋅ � 2 7
cos � 1 , � 2 = � 1 ⋅ � 2 =7
又二面角为锐角,所以其余弦值为.
7
1
【变式5-1�】(−2�0�25−·广�东广州·模拟预测)如图,在7四棱锥中,底面为矩形,,,
侧面为等边三角形,平面平面,E为PB�中−�点�.𝐵𝐴𝐵𝐴=2��=4
�𝐵�𝐵⊥𝐴𝐵
(1)证明:平面平面;
(2)求平面与��平�面⊥夹��角�的余弦值.
【答案】(1�)证��明见解析�𝐵
(2)
1
4
【解题思路】(1)根据面面垂直的性质定理得出平面,接着求证面,再根据面面垂直的
判定定理即可得证.��⊥𝐴𝐵��⊥�𝐵
(2)根据几何体的性质,建立空间直角坐标系,根据面面
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