2026年高考数学一轮复习专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（举一反三讲义）（全国）（原卷版）

专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线与圆的位置关系的判断】 6【题型2圆的弦长问题】 6【题型3圆的切线方程、切线长问题】 7【题型4圆上的点到直线距离个数问题】 7【题型5直线与圆位置关系中的最值问题】 8【题型6直线与圆的实际应用】 8【题型7圆与圆的位置关系】 9【题型8两圆的公共弦】 10【题型9两圆的公切线】 101、直线与圆、圆与圆的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题2023年新高考I卷：第6题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15题，5分2023年全国乙卷（理数）：第12题，5分2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分2025年全国一卷：第7题，5分2025年天津卷：第12题，5分直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长问题等，有时会与距离公式等内容结合考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.知识点1直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组解的情况有两组不

同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．自一点引圆的切线的条数

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

3．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：①经过圆上一点P的切线方程为.

②经过圆上一点P的切线方程为.

③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.4．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.知识点2圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.2．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.3．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系.

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.知识点3与圆有关的最值问题的解题策略1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧与总结】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.【题型1直线与圆的位置关系的判断】【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）直线l:x+ay−a=0与圆C:x2+y2A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）“a>0”是“直线x−ay+2a−1=0(a∈R)与圆x2+yA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2025·辽宁·三模）已知直线l:y=x+m和圆O:x2+y2=2，则“m=2”是“直线A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（2025·江苏·二模）已知圆C：x2+y−22=103，将直线l1：A．直线l2过圆心C B．直线l2与圆C．直线l2与圆C相切 D．直线l2与圆【题型2圆的弦长问题】【例2】（2025·重庆·三模）直线l:3x−2y+5=0截圆A．2 B．4 C．25 D．【变式2-1】（2025·北京·三模）已知直线y=kx−3+1与圆x−12+y−22=25交于AA．5 B．10 C．25 D．【变式2-2】（2025·吉林·模拟预测）已知圆O:x2+y2=1，过点A2,0的直线与圆O交于B、CA．22 B．32 C．32【变式2-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线kx−y−k+1=0与圆x2+y2=4相交于A,BA．2 B．3 C．22 D．【题型3圆的切线方程、切线长问题】【例3】（2025·江西萍乡·二模）过点P3, 1作圆C:x2+yA．16 B．4 C．21 D．21【变式3-1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点P(1,−1)且与圆C:x2+A．x+y=0 B．x−y−2=0C．x−y=0 D．x−y+2=0【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．2【变式3-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆C的圆心为C(0,2)，且经过点(2,2)，过点P(−2,−1)作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A．2x+3y−2=0 B．2x+3y+2=0C．2x−3y−2=0 D．2x−3y+2=0【题型4圆上的点到直线距离个数问题】【例4】（2025·广东茂名·二模）已知圆C:x2+y2=1，直线x+y−m=0m∈R，若圆CA．2 B．22 C．±2 D．【变式4-1】（2025·四川·三模）已知圆C:x2+y2−2x+4y−20=0上恰有两个点到直线A．32,72C．22,72【变式4-2】（2025·山东青岛·三模）若圆x2+y2=4上总存在两个点到点(a,1)的距离为3，则实数a【变式4-3】（2025·甘肃·模拟预测）若圆C:x2+y2+2x+m=0上恰有三个不同的点到直线l:x+【题型5直线与圆位置关系中的最值问题】【例5】（2025·河南信阳·模拟预测）P是圆x−a22+y−a2=1上的动点，QA．2−1 B．2 C．728【变式5-1】（2025·北京·三模）经过点(0,0)，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线x−y+2=0的距离最大值为（

）A．2 B．2+C．2−2 D．【变式5-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线l：2+tx−1+ty−12−8t=0，Q是圆O：x2+y2=4上的一动点，则点A．0,42−2 B．0,42+2 C．【变式5-3】（2025·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【题型6直线与圆的实际应用】【例6】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（

）（参考数据21≈4.6，5A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米【变式6-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东30km的A处出发，径直驶向位于海监船正北40km的B处岛屿，速度为28A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时【变式6-2】（24-25高二上·北京·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是【变式6-3】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台A正西方向1003km处有一台风中心，它正向北偏东60∘方向移动，移动速度的大小为20km/h，距台风中心【题型7圆与圆的位置关系】【例7】（2025·安徽·一模）圆O:x2+y2A．内切 B．外离 C．外切 D．内含【变式7-1】（2025·浙江温州·三模）已知圆x2+y2=1和圆x−3A．2,+∞ B．2,4 C．3,4 D．【变式7-2】（2025·山东临沂·一模）圆C1:x2+A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【变式7-3】（2025·河南·模拟预测）圆x2+y2−2x−2y+1=0A．相切 B．外离 C．内含 D．相交【题型8两圆的公共弦】【例8】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆x2+y2−4=0A．22 B．23 C．14【变式8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知圆O1:x2+y2=5与圆O2A．52 B．5 C．15 D．【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y−2=0 C．x+y+1=0 D．x+y−1=0【变式8-3】（2025·黑龙江·模拟预测）圆C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【题型9两圆的公切线】【例9】（2025·山东·模拟预测）已知圆C1:x2+y2A．21 B．29 C．±29 D．【变式9-1】（24-25高三下·山东·开学考试）圆C1:x2+A．y=−x+1 B．y=−x+1或y=x+5C．y=−x+5 D．y=x+1或y=2x+5【变式9-2】（2025·全国·模拟预测）圆C1:x2+y2【变式9-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知圆C1:x2+y2=1与圆C2一、单选题1．（2025·北京海淀·三模）已知直线y=kx−2与圆C:x−12+y−12A．23 B．34 C．432．（2025·河南·模拟预测）已知不重合的圆C1,C2都过点−1,2，且均与两坐标轴相切，则圆A．1 B．2 C．22 D．3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2−2ax=0a>0A．外离 B．外切 C．相交 D．内切4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线l:x−y+4=0与圆x2+y2=9交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,DA．2 B．2 C．22 5．（2025·四川成都·模拟预测）过点P(m,3)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=1的切线，切点为A．26 B．5 C．26 D．6．（2025·山东泰安·二模）已知直线l与圆(x−2)2+(y−3)2=1和圆(x+1)A．x+2y−23=0 B．x+2y+23=0C．3x+4y−23=0 D．3x+4y+23=07．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+∞) 8．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆O:x2+y2=4与y轴负半轴的交点，直线l:y=kx+32与圆O交于A．3 B．143 C．4 D．二、多选题9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，点P2,1在圆C上，则（

A．y轴与圆C可能相切B．直线x+y=0与圆C可能相交C．x轴被圆C所截得的弦长的最大值是2D．原点O与圆C上的点的距离的最大值为510．（2025·宁夏银川·二模）已知圆C:(x+2)2+y2A．直线l与圆C可能相切B．当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1C．直线l与直线2x−(m+1)y=0垂直D．若圆C与圆x2+11．