辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高二上学期第一次质量监测（10月）数学试题（解析版）

沈阳市第120中学2025-2026学年度上学期

高二年级第一次质量监测

数学试题

满分：150分时间：120分钟命题人：王新宇校对人：王平平

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.直线l:3xy20的倾斜角为（）

A.30B.60C.45D.90

【答案】B

【解析】

【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.

【详解】直线l:3xy20的斜率为3，所以直线l的倾斜角为60.

故选：B

2.已知a4,2,5，b2,1,x，且ab，则x（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量垂直关系的坐标表示，列式计算即得.

【详解】依题意，ab422(1)5x0，所以x2.

故选：B

3.若直线l1:xay10与直线l2:1ax2y10平行，则实数a（）

1

A.2B.1C.2或1D.

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.

【详解】因为直线l1:xay10与直线l2:1ax2y10平行，

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12a(1a)0

所以，解得a1.

121a0

故选：B.

21

4.如图所示，正方体ABCDABCD中，点E,F分别在AD,AC上，AEAD，AFAC，则

111111313

EF与C1D1所成角的余弦值为（）

36

A.B.

96

36

C.D.

33

【答案】C

【解析】

【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，求出点的坐标，EF(1,1,1)，

，进而可得结果

C1D10,1,0.

【详解】

以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则

uuur

E(1,0,1),F(2,1,0),EF(1,1,1)

，设与所成的角为，

C10,1,1,D10,0,1,C1D10,1,0EFC1D1

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uuuruuuur

EFgCD0103

则cosuuuru1uuu1r=

g3

EFC1D131

故选：C

5.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点Px0,y0,z0，且以向量m(a,b,c)(abc0)为方向向量，

xxyyzzx1

则这条直线可以用方程000来表示．已知直线l的方程为yz1，则点

abc2

Q(2,4,4)到直线l的距离为（）

5525636

A.B.C.D.

2222

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线方程，求出直线l经过点P(1,0,1)，且m(2,1,1)为一个方向向量，再利用向量法求

解即可．

【详解】由题意可得直线l的方向向量m(2,1,1)，

直线经过点P(1,0,1)，又Q(2,4,4)，

则PQ(3,4,5)，

所以|PQ|232425250,PQm64515,|m|6，

22

2PQm1552

则点Q(2,4,6)到直线l的距离为d|PQ|50.

|m|62

故选：B.

6.一条光线从点A2,3射出，经x轴反射后，与圆C:(x3)2(y2)21相切，则反射后光线所在直

线的斜率为（）

43543253

A.或B.或C.或D.或

34452335

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆心坐标与半径，点A2,3关于x轴对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在

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直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出答案.

【详解】圆C:(x3)2(y2)21的圆心坐标为3,2，半径为1，

点2,3关于x轴对称点的坐标为2,3，

根据题意可得，点2,3在反射光线所在的直线上，

设反射光线所在的直线方程为y3kx2，即kxy2k30，

因为反射光线所在直线与圆(x3)2(y2)21相切，

3k22k343

所以d1，解得k或k，

k2134

故选：A.

7.如图1，平面四边形ABCD中，ACBD，垂足为O,OAOB1,OCOD2，如图2，将△ABD

沿BD翻折至△PBD，使得平面PBD平面BCD，若点E为线段BD上的动点，则点E到直线PC距

离的最小值为（）

12525

A.B.C.D.

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，以点O为坐标原点，OB,OC,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求

出点E到直线PC的距离，进而求出最小值.

【详解】因为平面PBD平面BCD，PO平面PBD，平面PBD平面BCDBD，POBD，

所以PO平面BCD，OC平面BCD，则POOC，又POOB，OBOC，

以点O为坐标原点，OB,OC,OP分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，连接EP，

则P0,0,1，C0,2,0，设Em,0,0，2m1，

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所以CP0,2,1，EPm,0,1，设EP与CP的夹角为，

EPCP15m24

cos，则sin1cos2，

EPCP5m215m21

22

25m45m4

所以点E到直线PC的距离为EPsinm1，

5m215

5m2425

由2m1，则0m24，所以，

55

25

所以点E到直线PC距离的最小值为.

5

故选：D.

8.已知点P在直线yx3上运动，M是圆x2y21上的动点，N是圆(x9)2(y2)216上的

动点，则PMPN的最小值为（）

A.13B.11C.9D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的性质可得PMPNPOPC5，故求PMPN的最小值，转化为求

PCPO的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.

【详解】如图所示，

圆(x9)2(y2)216的圆心为C9,2，半径为4，

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圆x2y21的圆心为O0,0，半径为1，

可知PC4PNPC4,PO1PMPO1，

所以PMPNPOPC5，

故求PMPN的最小值，转化为求PCPO的最小值，

设O0,0关于直线yx3的对称点为G，设G坐标为m,n，

n

1

mm3

则，解得，故G3,3，

nmn3

3

22

因为POPG，可得POPCPGPCGC(93)2(23)213，

当P,G,C三点共线时，等号成立，

所以PMPN的最小值为1358.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

如图，在平行六面体中，，

9.ABCDA1B1C1D1ABADAA12

与BD的交点为，设，则（）

BADA1ABA1AD60,A1C111MABa,ADb,AA1c

1111

A.AMabcB.AMabc

2222

511

C.AM11D.cos<AM,AB

22

【答案】ACD

【解析】

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π

【分析】由题意可知，abacbc22cos2，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个

3

判断各个选项即可．

π

【详解】由题意可知，abacbc22cos2.

3

1111

对于A，AMAAAMAAACAA(ABAD)abc，

1112111222

故A正确、B不正确；

2

111212211

对于C，AMabcabca·bb·ca·c11422211

224422

故C正确;

11121

对于D，AM·ABabc·aaa·ba·c5

2222

AM·AB5511

cos<AM,AB，故D正确．

AMAB21122

故选：ACD.

10.已知圆C的方程为x2(y2)21，点Q(0,3)，点P是x轴上的一个动点，过点P作圆C的两条切线，

切点分别为A,B，则（）

3

A.存在切点A,B使得AQB为直角B.直线AB过定点(0,)

2

33

C.QAQB的取值范围是[0,]D.QAB面积的取值范围是(0,3]

24

【答案】BD

【解析】

【分析】通过分析知AQB不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线AB的方程

3

xxy2021，令x0，y，即可得直线AB恒过的定点可判断B；求出QAB面积的取

002

值范围可判断D.

【详解】对于A，圆的上顶点为0,3，即Q点，若AQB为直角，则AB为直径，

显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以AQB不可能为直角，故A错误；

同理C选项的数量积也取不到0，所以C错误；

对于B,设Px0,0,Ax1,y1,Bx2,y2，

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y2

1

因为C0,2，Ax1,y1，kAC，

x1

x

则的方程为：yy1xx，因为22

PA11x1y121

y12

化简可得：xx1y2y121，

同理PB的方程为：xx2y2y221，

而Px0,0在切线PA，PB上，所以

x0x1y02021，x0x2y02021，

因为Ax1,y1,Bx2,y2在直线x0xy02021

3

故直线AB的方程为xx2y21，令x0，y，

002

3

即AB过定点0,，故B正确；

2

2

1

对于D，圆心C0,2到直线AB的距离平方为，

2

x04

2

1x23

线段AB一半的平方为：10，

2x24

x040

9

点Q到直线AB的距离的平方为：2，

x04

所以QAB面积的平方为：

29x2322

x0390x03x03

29292

x24x242222

00x04x031x03+12x03

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1

=92

21①，因为x033，

x0322

x03

16

所以由对勾函数的性质可知当x233时，①的分母取得最小值，

03

9327

9

所以QAB面积平方的最大值161616，

3

333

故QAB面积的最大值为，故QAB面积的取值范围是(0,3]，故D正确.

44

故选：BD.

11.在棱长为2的正方体OBCDO1B1C1D1中，E为O1B1的中点，以O为原点，OB，OD，OO1所在直线

分别为x轴、y轴、z轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点P(x,y,z)，满足

yz20

，则（）

222

(x1)y(z2)1

点的轨迹长为的最小值为

A.P2πB.CPCB1822

2

C.EPBCD.三棱锥OPCD体积的最小值为

13

【答案】BC

【解析】

【分析】由已知方程可得点P的轨迹，画出图形，再计算轨迹长度可得A错误；由投影法可得，当点P在CB1

上投影最小时，向量积最小，求出投影长可得B正确；由BC1平面CDO1B1可得C正确；当点P位于半

圆弧中点时，可由棱锥的体积公式计算体积的最小值可得D错误；

【详解】对于A：由(x-1)2+y2+(z-2)2=1可知，点P在以E为球心，1为半径的球上，

又由yz20可知，点P在平面CDO1B1上，所以点P为球面与平面的交线，

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如图（2）所示，在矩形CDO1B1中，以E为圆心，1为半径的半圆，

所以点P的轨迹长为π，故A错误；

对于B：由投影法可得，当点P在CB1上投影最小时，向量积最小，此时点P位于半圆弧中点，投影长为

221，

所以，故正确；

CPCB122221822B

对于C：因为BC1平面CDO1B1，EP平面CDO1B1，

所以EPBC1，故C正确；

对于D：因为BC1平面CDO1B1，

1

所以点到平面平面的距离为=，则2，

OCDO1B1BC12V-=S

2OPCD3PCD

1

由图（2）可知当点P位于半圆弧中点时，△PCD的面积最小为2221221，

2

2242

所以，故D错误；

VOPCDSPCD221

333

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题选项A关键是能根据已知点P的方程结合图形画出点P的轨迹平面图形，从而

计算即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.点P1,2到直线l:4x3y50的距离为______．

【答案】1

【解析】

【分析】运用点到直线距离公式计算即可.

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|4(1)325|

【详解】运用点到直线距离公式,得到d1.

42(3)2

故答案为：1.

2

13.由直线yx1上的一点P向圆C:x3y21引切线,切点分别为A,B，则四边形PACB面积的

最小值为_____.

【答案】7

【解析】

【分析】

根据切线的性质可确定所求四边形面积为2，可知当所求面积最小时，，利用点

2SPACPC1PCl

到直线距离公式可求得PC，进而得到所求面积的最小值.

【详解】

由题意知，圆C的圆心C3,0，半径r1

12

两切线关于PC对称四边形PACB面积为2S2PAACPC1

PAC2

301

当PCl时，PC最小，此时PC22

11

四边形PACB面积的最小值为817

故答案为：7

【点睛】本题考查与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是能够根据切线的性质将问题转化

为圆心到直线距离的求解问题.

14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F,G分别在棱AA1，A1D1，D1C1上，E为AA1的中点，

D1A13D1F，D1C13D1G，记平面EFG与平面A1B1CD的交线为m．则直线m与平面ABCD所成角

的正切值为______．

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3583

【答案】##58

5858

【解析】

【分析】先作出平面EFG截正方体的截面为六边形EFGQMH，并得到平面EFG与平面A1B1CD的交线

m为WU，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，写出点的坐标，平面ABCD的

一个法向量为n0,0,1，利用公式先求出线面角的正弦值，进而求出余弦和正切值.

【详解】设直线EF与直线DD1,DA分别相交于点R,P，

连接RG并延长，交CC1于点Q，交DC的延长线与点N，

连接PN，交AB于点H，交BC于点M，连接EH,QM，

其中QM与B1C相交于点U，

故六边形EFGQMH即为平面EFG截正方体的截面，

设EF与A1D相交于点W，连接WU，则平面EFG与平面A1B1CD的交线m为WU，

以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，

因为E为AA1的中点，D1A13D1F，D1C13D1G，

所以EAEA13，D1F2,A1F4，

A1EA1F315

因为，所以，故，

2RD1RDDD1RD1

RD1FD122

A1E32

6xW230

故，所以，解得，

RD155xW

x57

2W

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30301212

故W,0,，同理可得U,6,，

7777

1818

故UW,6,，

77

显然平面ABCD的一个法向量为n0,0,1，

设直线m与平面ABCD所成角大小为，

1818

18

UWn,6,0,0,1

7773

则sin，

UWn32432466767

36

49497

2

358sin358

故cos1，tan.

6767cos58

故答案为：358

58

四、解答题：本题共5小题，共77分

15.菱形ABCD中，A（-4，7），C（2，-3），BC边所在直线过点P（3，-1）．求：

（1）AD边所在直线的方程；

（2）对角线BD所在直线的方程．

【答案】（1）2x-y+15=0；（2）3x-5y+13=0.

【解析】

【分析】（1）利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出．

（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出

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13

【详解】（1）kBC==2，∵AD∥BC，∴kAD=2，

32

∴直线AD方程为y-7=2（x+4），即2x-y+15=0．

375

（2）kAC==-，

243

3

∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD=-，

5

而AC中点（-1，2），也是BD的中点，

3

∴直线BD的方程为y-2=（x+1），即3x-5y+13=0．

5

【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率相等、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、

菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

16.已知圆C经过点A1,1,B2,2，且圆心在直线xy10上．

（1）求圆C的标准方程；

（2）若直线2xy60与圆C的交点为M,N，求MN．

【答案】（1）(x2)2(y3)225

（2）45

【解析】

【分析】（1）法一：设圆的标准方程，圆心坐标代入直线方程，已知两点坐标代入所设方程后联立方程组

求得参数得结论；

法二：求出直线AB的垂直平分线，联立直线方程求得圆心，利用两点距离公式求解半径，即可求解方程；

法三：设圆的一般方程，圆心坐标代入直线方程，已知两点坐标代入所设方程后联立方程组求得参数得结

论；

法四：设圆心坐标，利用半径建立方程求解圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.

（2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长．

【小问1详解】

（法一）设圆C的标准方程为(xa)2(yb)2r2r0，则圆心为Ca,b．

ab10,a2

222

由题意可得a1b1r,解得b3,

22

2r5

a2b2r.

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圆C的标准方程为(x2)2(y3)225．

21113

（法二）由题意可得k,AB中点为,，

AB21322

31

线段AB的垂直平分线为y3x，即3xy30，

22

3xy30,

圆心C在直线xy10上，联立解得

xy10.

x2,

即圆心C为2,3，

y3.

圆的半径rCA(21)2(31)25

圆C的标准方程为(x2)2(y3)225．

（法三）设圆C的一般方程为x2y2DxEyF0D2E24F0，

DE

则圆心为C,．

22

DE

10,

22D4

由题意可得2DEF0,解得E6

,

82D2EF0.F12

圆C的一般方程为x2y24x6y120，

即圆C的标准方程为(x2)2(y3)225．

（法四）设圆心Ct,1t,CACB，

(t1)2(1t1)2(t2)2(1t2)2

整理，得4t8,t2,圆心C2,3,rCA(21)2(31)25．

圆C的标准方程为(x2)2(y3)225．

【小问2详解】

436

由（1）知，圆心C2,3到直线2xy60的距离为d5,

5

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圆的半径r5,MN2r2d245．

17.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，E为AD的中点，PAAD，BE//CD，

BEAD，PAAEBE2，CD1．

（1）求点A到平面PBC的距离；

（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM//平面PBC?若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理

由．

314

【答案】（1）

7

（2）存在，点M是PE中点

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离；

（2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可.

【小问1详解】

因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，

且BEAD，BE平面ABCD，故BE平面PAD．

以E为原点，EB,ED所在直线为x,y轴，过点E平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系Exyz，

则E0,0,0，P0,2,2，A0,2,0，B2,0,0，C1,2,0，D0,2,0，

所以PB2,2,2，BC1,2,0，PE0,2,2，AP0,0,2，

设平面PBC的法向量为nx,y,z，

nPB02x2y2z0

则，即，

nBC0x2y0

令y1，得平面PBC的一个法向量为n2,1,3，

APn6314

所以点A到平面PBC的距离为d；

n147

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【小问2详解】

由（1）知，平面PBC的一个法向量为n2,1,3，

“线段PE上存在点E，使得DM//平面PBC”等价于“DMn0”．

因为PE0,2,2，设PMPE0,2,2，0,1，

则M0,22,22，DM0,24,22，

1

所以DMn24660，解得，

2

所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM//平面PBC.

18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PAPBAB4,PD26，DAB60，

且BEBC01,M,N,F分别为PA,PB,AB的中点．

（1）求证：PF平面ABCD；

10

（2）若平面MNE与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线PC与平面MNE所成角的正弦值；

10

（3）在平面PCD内是否存在点H，满足HPHB0？若存在，请求出点H的轨迹长度；若不存在，请

说明理由．

【答案】（1）证明见解析

3

（2）

5

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（3）存在；10π

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定直接证明即可；

（2）利用向量法求得线面角的正弦值即可；

10

（3）推出H点的轨迹是半径为的一个圆，求出圆的周长即可.

2

【小问1详解】

（法一）如图：连接BD,DF，

PAB中，PAPBAB4,PAB为等边三角形．

F为AB中点，PFAB，且PF422223，

底面ABCD为菱形，所以ABAD,DAB60，

ABD为等边三角形．

F为AB中点，DFAB，且DF422223，

222

PD26,PFDFPD,PFDF，

PFAB,ABDFF,AB,DF平面ABCD，

PF平面ABCD，

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（法二）如图：连接DF，

PAB中，PAPBAB4,PAB为等边三角形，

F为AB中点，PFAB，且PF422223，

底面ABCD为菱形，ABAD4，

F为AB中点，AF2,DAB60，

在△DAF中，由余弦定理得：

2221

DFADAF2ADAFcos6016424212，

2

222

即DF23,PD26,PFDFPD,PFDF，

PFAB,ABDFF,AB,DF平面ABCD

PF平面ABCD

【小问2详解】

由（1）知：PFAB,PFDF,DFAB，

如图：以F为原点，FB,FD,FP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

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B2,0,0,A2,0,0,P0,0,23,C4,23,0，

M,N分别为PA,PB的中点，M1,0,3,N1,0,3，

PC4,23,23,MN2,0,0，

BEBC2,23,001，

NENBBE1,0,32,23,012,23,3，

设平面MNE的一个法向量为nx1,y1,z1，则nMN,nNE．

nMN2x10

则，所以x10，取y1，则z12，

1

nNE12x123y13z0

平面MNE的一个法向量为n0,1,2．

平面ABCD的一个法向量为m0,0,1，

nm210211

则cosn,m,,01，

nm114210366

1

平面MNE的一个法向量为n0,1,，

3

43

nPC

33

设直线PC与平面MNE所成角为，则sincosPC,n．

nPC105

210

9

3

即直线PC与平面MNE所成角的正弦值为．

5

【小问3详解】

（3）（法一）存在点H，使HPHB0．

理由如下：HPHBHPHBH点在以线段BP中点N为球心，2为半径的球面

上．D0,23,0,CD4,0,0,PC4,23,23,NP1,0,3，

设平面PCD的一个法向量为ux2,y2,z2，则uCD,uPC．

uCD4x0

则2，则x0，取y1，则．

22z21

uPC4x223y223z20

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平面PCD的一个法向量为u0,1,1．

uNP36

点N到平面PCD的距离为．

u22

6610

2，记r22，

242

10

在平面PCD内存在点H，且H点的轨迹是半径为的一个圆，

2

10

即H点的轨迹长度为2π10π．

2

（3）（法二）存在点H，使HPHB0．

理由如下：HPHBHPHBH点在以线段BP中点N为球心，2为半径的球面上．

1

Q是的中点点到平面PCD的距离是B到平面PCD的距离的．

NPBN2

设点B到平面PCD的距离为d，连接CF，

在VBCF中，由余弦定理得：

2221

CFBCBF2BCBFcos12016424228