2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 群论与代数结构

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——群论与代数结构考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.设G是一个群，a,b∈G，若a⁴b=e且b⁵a=e，则a的阶为________，b的阶为________。2.设G是群，H和K是G的两个子群，则H∩K也是G的________。3.设φ:G→G'是一个群同态，ker(φ)={g∈G|φ(g)=e'}，则ker(φ)是G的________。4.设G是一个n阶循环群，其生成元为a，则G的子群共有________个。5.设R是一个有单位元的环，a,b∈R，若ab=0且a≠0，则称a为R中的左零因子，b为R中的右零因子。若R中没有左零因子（也没有右零因子），则称R为________。二、判断题1.()若H是群G的一个子群，a∈G，则aH=Ha。2.()任何一个有限群G都存在一个阶为|G|的元素。3.()如果群G的每一个子群都是平凡子群，那么G必是平凡群。4.()若环R满足(ab)²=a²b²对所有a,b∈R都成立，则R必是交换环。5.()域一定是整环，但整环不一定是域。三、证明题1.(15分)设G是一个群，a∈G，定义G上的一个二元关系*如下：对任意x,y∈G，x*y当且仅当xy=a。证明：*是G上的等价关系。2.(15分)设G是一个群，H是G的一个非空子集，且对任意a,b∈H，都有ab⁻¹∈H。证明：H是G的一个子群。3.(15分)设φ:G→G'是一个群同态，K=ker(φ)。证明：(1)G/K是一个群；(2)存在唯一的群同态ψ:G/K→G'使得ψ(gK)=φ(g)对所有g∈G成立。4.(15分)设R是一个有单位元的交换环，a,b∈R是零因子。证明：ab是零因子。5.(10分)设F是一个域，a∈F是一个非零元素。证明：a的阶（即满足xa=1的最小正整数x的存在性及唯一性）要么是1，要么是某个素数p的幂次pⁿ(p为素数，n为正整数)。---试卷答案一、填空题1.5,62.子群3.子群4.n5.整环二、判断题1.×2.×3.√4.√5.√三、证明题1.证明思路：*自反性：对任意x∈G，需要证明x*x。根据定义，需要证明xx=a。由于a∈G且G是群，单位元e∈G，所以a⁻¹∈G。考虑xx=a⁻¹a。因为G是群，所以a⁻¹a=e。因此，xx=e。由a的定义，如果xy=a，则y=x⁻¹。所以，x*x当且仅当xx=a⁻¹，即x*x当且仅当x=a⁻¹。因为e*e=ee=e=a⁻¹，所以x*x成立。故*是自反的。*对称性：对任意x,y∈G，假设x*y成立，即xy=a。需要证明y*x成立，即yx=a。由xy=a，两边同时右乘y⁻¹，得到x=ay⁻¹。因为a⁻¹∈G，所以ay⁻¹∈G。根据题设条件，ab⁻¹∈H对任意a,b∈H成立。令a=x,b=a⁻¹，得到x(a⁻¹)⁻¹=x(a⁻¹)⁻¹=x(a⁻¹)⁻¹=x(a⁻¹)⁻¹∈H。所以x=ay⁻¹∈H。因为x,y∈H，且H是一个子集，所以xy,yx∈H。由于xy=a∈H，且x=ay⁻¹∈H，根据定义，y*x当且仅当yx=a。故*是对称的。*传递性：对任意x,y,z∈G，假设x*y和y*z成立，即xy=a且yz=a。需要证明x*z成立，即xz=a。由xy=a，两边同时右乘y⁻¹，得到x=ay⁻¹。由yz=a，两边同时左乘x⁻¹，得到x⁻¹(yz)=x⁻¹a。因为群中运算结合，所以(x⁻¹y)z=e。所以x⁻¹y=z⁻¹。因此，x=(z⁻¹)y。因为x,y,z∈G，所以x,y,z⁻¹∈G。根据题设条件，ab⁻¹∈H对任意a,b∈H成立。令a=x,b=z⁻¹y，得到x(z⁻¹y)⁻¹=x(zy⁻¹)⁻¹=x(zy)⁻¹=x(zy)⁻¹∈H。所以x=(z⁻¹)y∈H。因为x,z∈H，且H是一个子集，所以xz∈H。由于xy=a∈H，且x=(z⁻¹)y∈H，根据定义，x*z当且仅当xz=a。故*是传递的。*结论：因为*是自反的、对称的、传递的，所以*是G上的等价关系。2.证明思路：*利用子群判别定理：需要证明H对G的运算封闭，且H中每个元素的逆元也在H中。*封闭性：对任意a,b∈H，需要证明ab∈H。根据题设，ab⁻¹∈H。因为H非空，设a₀∈H。考虑a₀(ab⁻¹)⁻¹。根据群的性质，(ab⁻¹)⁻¹=b⁻¹a。所以a₀(ab⁻¹)⁻¹=a₀(b⁻¹a)=(a₀b⁻¹)a。因为a₀∈H且ab⁻¹∈H，根据H的定义，a₀b⁻¹∈H。又因为a∈H，所以(a₀b⁻¹)a∈H。即a₀(ab⁻¹)⁻¹∈H。由于a₀∈H，且H对G运算封闭，所以a₀(ab⁻¹)⁻¹=a₀a⁻¹b∈H。因此，ab∈H。H对运算封闭。*逆元：对任意a∈H，需要证明a⁻¹∈H。根据题设，aa⁻¹=e∈H。因为H非空，设a₀∈H。考虑a₀(aa⁻¹)⁻¹。根据群的性质，(aa⁻¹)⁻¹=a⁻¹a。所以a₀(aa⁻¹)⁻¹=a₀(a⁻¹a)=(a₀a)a⁻¹。因为a₀∈H且aa⁻¹∈H，根据H的定义，a₀a∈H。又因为a∈H，所以(a₀a)a⁻¹∈H。即a₀(aa⁻¹)⁻¹∈H。由于a₀∈H，且H对G运算封闭，所以a₀(aa⁻¹)⁻¹=a₀e=a₀∈H。因此，a⁻¹∈H。H对逆元封闭。*结论：由子群判别定理，H是G的一个子群。3.证明思路：*(1)G/K是一个群：*非空性：K=ker(φ)是G的子群，所以K≠∅。因此G/K≠∅。*封闭性：对任意g₁K,g₂K∈G/K，需要证明(g₁K)(g₂K)∈G/K。根据商集的定义，(g₁K)(g₂K)=g₁g₂K。因为φ是群同态，φ(g₁g₂)=φ(g₁)φ(g₂)。所以φ(g₁g₂)K=φ(g₁)φ(g₂)K。因为g₁K∈G/K，所以φ(g₁)∈G'。因为g₂K∈G/K，所以φ(g₂)∈G'。所以φ(g₁)φ(g₂)∈G'。因此φ(g₁g₂)K∈G/K。即(g₁K)(g₂K)∈G/K。G/K对运算封闭。*单位元：G的单位元为e，eK=K。因为φ(e)=e'(G'的单位元)。所以φ(e)K=e'K。K是G的子群，包含单位元e。因此e'K=K。即K是G/K的单位元。*逆元：对任意gK∈G/K，需要证明(gK)⁻¹∈G/K。根据商集的定义，(gK)⁻¹=g⁻¹K。因为φ是群同态，φ(g⁻¹)=φ(g)⁻¹。所以φ(g⁻¹)K=φ(g)⁻¹K。因为gK∈G/K，所以φ(g)∈G'。所以φ(g)⁻¹∈G'。因此φ(g⁻¹)K∈G/K。即(gK)⁻¹∈G/K。G/K对逆元封闭。*结论：G/K满足群的定义，是一个群。*(2)ψ的存在性与唯一性：*存在性：定义ψ:G/K→G'如下：对任意gK∈G/K，ψ(gK)=φ(g)。需要证明ψ是良定义的。即如果g₁K=g₂K，则ψ(g₁K)=ψ(g₂K)。假设g₁K=g₂K，则g₁K=g₂K。所以g₁=g₂k₁对某个k₁∈K成立。因为k₁∈K=ker(φ)，所以φ(k₁)=e'。因此φ(g₁)=φ(g₂k₁)=φ(g₂)φ(k₁)=φ(g₂)e'=φ(g₂)。所以ψ(g₁K)=φ(g₁)=φ(g₂)=ψ(g₂K)。ψ是良定义的。ψ是群同态：对任意g₁K,g₂K∈G/K，ψ((g₁K)(g₂K))=ψ(g₁g₂K)=φ(g₁g₂)=φ(g₁)φ(g₂)=ψ(g₁K)ψ(g₂K)。ψ是满射：对任意y∈G'，取g∈G使得φ(g)=y(存在性由φ是同态保证)。则ψ(gK)=φ(g)=y。因此ψ是满射。ψ是群同态且满射，因此是群同态。*唯一性：假设存在ψ':G/K→G'也是满足ψ'(gK)=φ(g)对所有g∈G成立的群同态。对任意gK∈G/K，有ψ'(gK)=φ(g)=ψ(gK)。因此ψ'(gK)=ψ(gK)对所有gK∈G/K成立。即ψ'=ψ。ψ的唯一性得证。*结论：存在唯一的群同态ψ:G/K→G'使得ψ(gK)=φ(g)对所有g∈G成立。4.证明思路：*反证法：假设ab不是零因子。根据零因子的定义，ab不是零因子意味着ab≠0且存在c∈R使得(ab)c=0且c≠0。*推导矛盾：因为a是零因子，存在d∈R使得ad=0且d≠0。考虑(ab)c=0。因为R是交换环，所以bca=0。因为R有单位元1，所以b(ac)=0。因为R是交换环，所以(ba)c=0。因为a是零因子，ad=0，且d≠0。所以a(bc)=0。因为R是交换环，所以(ab)c=0。现在假设ab不是零因子。则ab≠0。因为(ab)c=0且ab≠0，根据环的定义，c必须为0。但这与c≠0矛盾。*结论：假设ab不是零因子导致矛盾，所以ab必是零因子。5.证明思路：*情况1：a=1。1a=1。令x=1，则xa=1。x是正整数，且是最小的满足xa=1的正整数。所以a的阶为1。*情况2：a≠1。令a的阶为m(m≥2)。根据阶的定义，am=1且对任意1≤k<m，ak≠1。*证明m是素数：假设m不是素数。则存在正整数p,q(