云南省昭通市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页云南省昭通市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．直线在轴上的截距为（

）A． B． C．-1 D．3．抛物线的焦点到准线的距离等于（

）A．12 B．9 C．6 D．34．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，5．下列方程一定表示圆的是（

）．A． B．C． D．6．如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（

）A． B． C． D．7．已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（

）A． B． C． D．8．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题9．关于双曲线的以下论述中，正确的是（

）A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16C．渐近线方程为 D．离心率为10．下列说法正确的是（）A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．当点到直线的距离最大时，的值为D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是11．一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论正确的是（

）A．B．当时，C．若，，则D．平行六面体的体积三、填空题12．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为.13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则．14．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为四、解答题15．已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线BC的方程．16．如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，．(1)求的长度；(2)求与夹角的余弦值．17．已知的三个顶点是．(1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；(2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.

(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.19．已知圆，直线过点．(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；(3)已知，斜率为且过点的直线与的轨迹交于两点，求的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《云南省昭通市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DACABACBACDACD题号11答案ABD1．D【分析】根据方向向量求斜率，再求倾斜角.【详解】根据题意：向量所在的直线斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为．故选：D2．A【分析】直线方程中令求得值即得.【详解】在中令得，故选：A.3．C【分析】由抛物线中的几何意义为焦点到准线的距离，可得到答案.【详解】由抛物线中的几何意义为焦点到准线的距离抛物线的.所以抛物线的焦点到准线的距离等于6.故选：C【点睛】本题考查抛物线中的几何意义，属于基础题.4．A【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，使得，显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；由于，则，，共面，故B错误；由于，则，，共面，故C错误；由于，则，，共面，故D错误；故选：A.5．B【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断.【详解】对于A，方程表示点，A不是；对于B，方程化为，此方程表示圆，B是；对于C，当时，方程表示点，C不是；对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是.故选：B6．A【分析】建立空间直角坐标系，设，表示出、，由解出，得到线段的长度.【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则．由于，所以，解得，所以线段的长度为．故选：A．7．C【分析】根据题意，点A、B在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案.【详解】设为点关于直线的对称点，则的中点为，由轴对称的性质，可得，解得，即.直线的方程为，即，由，解得，即直线与交于点.，当点三点共线时，即直线上的点与重合时，达到最小值，故满足条件的点坐标为.故选：C8．B【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解.【详解】由椭圆的定义得，又，故，由，得，又椭圆的离心率，则.故选：B9．ACD【分析】由有，逐项验证即可求解.【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确；由，所以虚轴长为，故B错误；由得，故C正确；由，所以，即，所以，故D正确.故选：ACD.10．ACD【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D.【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得，直线，即，则与的距离为，选项A正确；对于B，由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；对于C，将直线方程变形为，由得，则直线过定点，斜率为，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，因为，所以，选项C正确；

对于D，如图，，由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确.故选：ACD．11．ABD【分析】根据的定义以及数量积的几何意义逐项分析.【详解】对于A，，而，故，正确；对于B，，当，有意义则，正确；对于C，，，，，，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OABC的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面OABC的方向上的投影向量的模长（即为高）乘以底面的面积，即为体积，正确；故选：ABD．12．【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可.【详解】因为，所以点到平面的距离.故答案为：.13．【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长.【详解】由条件知，又二面角的平面角为，则，所以，所以．故答案为：.14．4【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.【详解】直线化为，当，得，即直线恒过点，即点，直线化为，当，得，即直线恒过点，即点，且两条直线满足,,即，,,当且仅当时，等号成立，的最大值为4.故答案为：4.15．(1)(2)【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；【详解】（1）解：设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．（2）设，则，解得．∴．∴．∴直线BC的方程为，即为．16．(1)(2)【分析】（1）利用空间的基向量表示出，再根据向量数量积运算律计算模长即可；（2）根据向量的线性运算表示，再运用空间向量的夹角公式求解即得.【详解】（1）因则，，于是.又，则，故.（2）因为，则，故，又则，故，则，则，故与夹角的余弦值为．17．(1)或(2)【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程.（2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值.【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即；②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即．综上：直线的方程为或．（2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当即时，取得最小值24，所以面积，所以当时，面积最小，此时直线的方程为，即．18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据长度关系先证明，再根据条件证明出平面，由此可得，根据线面垂直的判定定理可完成证明；（2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，先计算出法向量夹角的余弦值，则二面角的正弦值可求；（3）设，然后根据与平面法向量夹角的正弦值求解出的值，则的长度可求.【详解】（1）因为，所以，且，所以四边形为矩形，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面.（2）以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可知，所以，所以，所以，设平面的一个法向量为，所以，取，则，所以，设平面的一个法向量为，所以，取，则，所以，所以，设二面角的平面角为，所以，故二面角的正弦值为.

（3）设，因为，所以，因为，所以，取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，所以，解得，因为，所以.19．(1)或(2)(3)【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离分别求出直线方程即可.