第8章幂的运算(原卷版+解析)

第8章幂的运算考察题型一幂的运算公式的直接使用典例1-1．下列运算中，正确的是A． B． C． D．变式1-1．下列计算中，正确的是A． B． C． D．典例1-2．（1）；（2）；（3）；（4）．变式1-2-1．计算：（1）；（2）．变式1-2-2．计算：（1）；（2）．考察题型二利用幂的运算公式的巧算典例2．计算等于A．1 B． C．4 D．变式2．计算：．考察题型三利用幂的运算公式确定等量关系式典例3．已知，，试用含，的式子表示．变式3．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是A． B． C． D．考察题型四利用幂的运算公式的求代数式的值或求参数典例4-1．（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．变式4-1．（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．典例4-2．计算：（1）已知，，求的值．（2）若为正整数，且，求的值．变式4-2．（1）若，求的值；（2）已知，，求的值；（3）若为正整数，且，求的值．典例4-3．对于题目：，求的值．甲：；乙：；丙：应该还有另外一个值．对于上述说法判断正确的是A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲和乙答案合在一起才可以 D．丙说的对变式4-3．已知，则．考察题型五利用幂的运算公式比较实数的大小典例5-1．若，，则，的大小关系为A． B． C． D．无法确定变式5-1．已知，，，请用“”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．典例5-2．若，，，，则A． B． C． D．变式5-2-1．已知，，，，则最大值和最小值的和为．变式5-2-2．比较与的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“”，“”或“”）①，②，③，．（2）由（1）可以猜测与为正整数）的大小关系：当时，；当时，．（3）根据上面的猜想，则有（填“”，“”或“”）．考察题型六零指数幂与负指数幂成立的条件典例6-1．等式成立的条件是A． B． C． D．变式6-1．关于代数式，下列说法正确的是A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，有意义 D．当时，有意义典例6-2．如果有意义，则满足的条件是．变式6-2．若有意义，则取值范围是A． B． C．且 D．且考察题型七科学记数法——表示较小的数典例7．近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则0.0000007用科学记数法表示为A． B． C． D．变式7．近年来，我国新冠肺炎疫情防控工作一直在有序进行，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000012米，其中数据0.00000012用科学记数法表示正确的是A． B． C． D．考察题型八新定义题型典例8-1．探究应用：用“”、“”定义两种新运算：对于两数、，规定，，例如：，．（1）求：的值；（2）求：的值；（3）当为何值时，的值与的值相等．变式8-1．定义一种幂的新运算：⊕，请利用这种运算规则解决下列问题．（1）求⊕的值；（2），，，求⊕的值；（3）若运算9⊕的结果为810，则的值是多少？典例8-2．规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：①，；②若，则．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，，，小明给出了如下的证明：设，，则，即，所以，即，所以，，．试解决下列问题：①计算，，；②若，，，请探索，，之间的数量关系．变式8-2．规定两数，之间的一种运算记作※，如果，那么※．例如：因为，所以3※．（1）根据上述规定，填空：2※，※；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：※※4，小明给出了如下的证明；设※，则，即，所以，即3※，所以※※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：5※※※63；②猜想：※※※（结果化成最简形式）．典例8-3．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，；理由如下：，，则，，，由对数的定义得，又，．解决以下问题：（1）将指数式转化为对数式；（2）计算结果，，．（直接写出结果）（3）运用对数的性质计算：．变式8-3．阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，．请解决以下问题：（1）将指数式转化为对数式；（2）求证：，，，；（3）拓展运用：计算．第8章幂的运算考察题型一幂的运算公式的直接使用典例1-1．下列运算中，正确的是A． B． C． D．【详解】解：、，故此选项错误；、，故此选项错误；、，正确；、，故此选项错误．故本题选：．变式1-1．下列计算中，正确的是A． B． C． D．【详解】解：．，故该选项不正确，不合题意；．，故该选项不正确，不合题意；．故该选项正确，符合题意；．，故该选项不正确，不合题意．故本题选：．典例1-2．（1）；（2）；（3）；（4）．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．变式1-2-1．计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）原式；（2）原式．变式1-2-2．计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）原式；（2）原式．考察题型二利用幂的运算公式的巧算典例2．计算等于A．1 B． C．4 D．【详解】解：．故本题选：．变式2．计算：．【详解】解：原式．故本题答案为：．考察题型三利用幂的运算公式确定等量关系式典例3．已知，，试用含，的式子表示．【详解】解：，，．变式3．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，．故本题选：．考察题型四利用幂的运算公式的求代数式的值或求参数典例4-1．（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【详解】解：（1）当，时，；（2），，，，解得：．变式4-1．（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【详解】解：（1）；（2），，，．典例4-2．计算：（1）已知，，求的值．（2）若为正整数，且，求的值．【详解】解：（1），，，，；（2）．变式4-2．（1）若，求的值；（2）已知，，求的值；（3）若为正整数，且，求的值．【详解】解：（1），，，，解得：；（2），，，，；（3），．典例4-3．对于题目：，求的值．甲：；乙：；丙：应该还有另外一个值．对于上述说法判断正确的是A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲和乙答案合在一起才可以 D．丙说的对【详解】解：当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，为整数）时，则，，不合题意；综上，或．故本题选：．变式4-3．已知，则．【详解】解：由于，因此或且，解得：或，故本题答案为：或4．考察题型五利用幂的运算公式比较实数的大小典例5-1．若，，则，的大小关系为A． B． C． D．无法确定【详解】解：，，，，即．故本题选：．变式5-1．已知，，，请用“”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．【详解】解：，，，又，，．典例5-2．若，，，，则A． B． C． D．【详解】解：，，，，．故本题选：．变式5-2-1．已知，，，，则最大值和最小值的和为．【详解】解：，，，，最大值和最小值的和为．故本题答案为：7．变式5-2-2．比较与的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“”，“”或“”）①，②，③，．（2）由（1）可以猜测与为正整数）的大小关系：当时，；当时，．（3）根据上面的猜想，则有（填“”，“”或“”）．【详解】解：（1）①，，，故本题答案为：；②，，，故本题答案为：；③，，，故本题答案为：；④，，，故本题答案为：；（2）由（1）猜测：为正整数时，当时，，当时，，故本题答案为：2，；（3）根据（2）得：时，，故本题答案为：．考察题型六零指数幂与负指数幂成立的条件典例6-1．等式成立的条件是A． B． C． D．【详解】解：由题意得：，解得：．故本题选：．变式6-1．关于代数式，下列说法正确的是A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，有意义 D．当时，有意义【详解】解：有意义的条件是：，解得：，即当时．故本题选：．典例6-2．如果有意义，则满足的条件是．【详解】解：有意义，，．故本题答案为：．变式6-2．若有意义，则取值范围是A． B． C．且 D．且【详解】解：若有意义，则且，解得：且．故本题选：．考察题型七科学记数法——表示较小的数典例7．近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则0.0000007用科学记数法表示为A． B． C． D．【详解】解：．故本题选：．变式7．近年来，我国新冠肺炎疫情防控工作一直在有序进行，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000012米，其中数据0.00000012用科学记数法表示正确的是A． B． C． D．【详解】解：．故本题选：．考察题型八新定义题型典例8-1．探究应用：用“”、“”定义两种新运算：对于两数、，规定，，例如：，．（1）求：的值；（2）求：的值；（3）当为何值时，的值与的值相等．【详解】解：（1）；（2）；（3）由题意得：，则，，即，解得：．变式8-1．定义一种幂的新运算：⊕，请利用这种运算规则解决下列问题．（1）求⊕的值；（2），，，求⊕的值；（3）若运算9⊕的结果为810，则的值是多少？【详解】解：（1）⊕；（2）当，，时，⊕；（3）⊕，，，，，，．典例8-2．规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：①，；②若，则．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，，，小明给出了如下的证明：设，，则，即，所以，即，所以，，．试解决下列问题：①计算，，；②若，，，请探索，，之间的数量关系．【详解】解：（1）①，，，，故本题答案为：2，4；②由题意得：，，，故本题答案为：；（2）①，，，，，，；②，，，，，，，，．变式8-2．规定两数，之间的一种运算记作※，如果，那么※．例如：因为，所以3※．（1）根据上述规定，填空：2※，※；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：※※4，小明给出了如下的证明；设※，则，即，所以，即3※，所以※※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：5※※※63；②猜想：※※※（结果化成最简形式）．【详解】解：（1），※，※，，，，故本题答案为：4，；（2）①设5※，5※，，，，，※，即5※※※63；②※※4，※※※※※，故本题答案为：，．典例8-3．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，；理由如下：，，则，，，由对数的定义得，又，．解决以下问题：（1）将指数式转化为对数式；（2）计算结果，，．（直接写出结果）（3）运用对数的性质计算：．【详解】解：（1）由对数的定义可知，将指数式转化为对数式为，故本题答案为：；（2），，，，，，