27.3垂径定理(原卷版+解析)

27.3垂径定理1.经历探索圆的轴对称性的过程2.探索并掌握垂径定理及其逆定理3.会运用垂径定理及其逆定理解决一些简单的几何问题知识点一圆的轴对称性圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴知识点二垂径定理1.定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧注意：垂径定理的条件有两个:一是直径,二是垂直,简称“垂径”.结论有两条:平分弦，平分弦所对的弧2.符号语言3.图形4.垂径定理相关概念分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点，如图所示，点C和点D分别为和的中点圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距，如图所示，OE的长就是弦AB的弦心距.拓展定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段垂径定理揭示了直径、弦、弧三者之间的关系，是证明线段相等、弧相等、两线段垂直的重要依据(3)由于垂直于弦的直径平分弦,故可以在圆中构造直角三角形利用勾股定理列方程求相关线段的长5.弦长、弦心距与半径的公式在垂径定理的运用中，常涉及弦长a,弦心距d,半径r,及弓形高h这四者之间的关系.有两个公式需要熟知并运用：公式1：公式2：即学即练1⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的直径为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm即学即练2如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB=10米，OE⊥CD(1)求CD的长：(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？知识点二垂径定理的逆定理1.垂径定理的逆定理1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧数学符号语言表述为:2.垂径定理的逆定理2平分弧的直径垂直平分弧所对的弦数学符号语言表述为:归纳:一条直线如果具有①经过圆心;②垂直于弦:③平分弦(被平分的弦不是直径)④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条那么必然具备其余的三条.简记“知二推三”即学即练1如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE=12，CD=26，那么弦AB的长为(

)

A．5 B．10 C．12 D．13题型一利用垂径定理求值例1如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB=12，CE的最大值为18，则EF的长为（

）

A．8 B．6 C．4 D．2举一反三1如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是举一反三2如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD交CD于点E，将⊙O沿弦AB折叠，点C恰好落在OD的中点，若OE=2，则弦AB为（

A．15 B．30 C．215 D．题型二利用垂径定理求平行弦问题例2如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=．举一反三1在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7举一反三2如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB题型三利用垂径定理求同心圆问题例3如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．举一反三1如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是．举一反三2如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm题型四利用垂径定理求解其他问题例4如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为0,4，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A．−1,2 B．1,−1 C．−1,1 D．2,1举一反三1垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（

） B． C． D．举一反三2如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，AD=DF，过点C作CH∥AF交AB于点G，交AD于点(1)求证：CD=CH．(2)若CG=2GH，AB=10，求AF．题型五垂径定理的推论例5如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．

(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为（______，______）；(2)请通过计算判断点D3,−5与⊙M举一反三1如图，AB是⊙O的弦，C是弧AB的中点，OC交AB于点D．若AB=8cm，CD=2cm，则⊙O的半径=举一反三2有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弧长相等；⑤一条弦平分另一条弦，则垂直于这条弦．其中正确的是（）（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型六垂径定理的实际应用例6图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中OA，OB，OC为伸缩杆，其中OA=OB=OC，支架最大宽度AB=10cm，支架的高为10cm，则△ABC外接圆O的半径为cm，当一部宽为8cm的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同（BG=AE=CF），形成的△EFG外接圆的圆心为点P，若OGGE=

举一反三1某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD=8m

(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；(2)现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5举一反三2根据以下素材，探索完成任务．如何确定拱桥形状？问题背景河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是面弧．为确定状桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动．

素材1在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了下图．测得水面宽AB为16m，拱顶离水面的距离CD为4

素材2大雨过后，水位上涨．小组成员再对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量．发现当水面宽为12m时，水位（相对正常水位）上涨1.9m；当水面宽8m素材3如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近问题解决假设1小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式．

假设2小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径．分析判断基于假设1和假设2，请分别计算水面宽12m和8m时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪一种形状．（参考数据：水面宽12水面宽8水位上涨的实际观测值（m）1.903.10假设1的预测值（m）3.00假设2的预测值（m）2.00一、单选题1．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（）A． B． C． D．42．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴3．（2023·上海金山·统考二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是(

)A．4 B．5 C．6 D．84．（2023·上海松江·统考二模）下列命题正确的是（

）A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦5．（2020·上海·校考三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C． D．4二、填空题6．（2023·上海青浦·统考二模）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．

7．（2023·上海杨浦·二模）如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为．8．（2022·上海·九年级专题练习）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度为，凹坑最大深度为，由此可算得铲车轮胎半径为．9．（2022·上海·九年级专题练习）已知是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，长为4，那么圆心O到弦的距离是．10．（2022·上海·统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为．（结果保留）三、解答题11．（2023·上海宝山·一模）如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．(1)已知，，求圆O的半径；(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

(1)求证：．(2)若，求的半径．13．（2023·上海虹口·校联考二模）如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为．(1)如图2，当时，联结，求证：；(2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长；(3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围．

27.3垂径定理1.经历探索圆的轴对称性的过程2.探索并掌握垂径定理及其逆定理3.会运用垂径定理及其逆定理解决一些简单的几何问题知识点一圆的轴对称性圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴知识点二垂径定理1.定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧注意：垂径定理的条件有两个:一是直径,二是垂直,简称“垂径”.结论有两条:平分弦，平分弦所对的弧2.符号语言3.图形4.垂径定理相关概念分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点，如图所示，点C和点D分别为和的中点圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距，如图所示，OE的长就是弦AB的弦心距.拓展定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段垂径定理揭示了直径、弦、弧三者之间的关系，是证明线段相等、弧相等、两线段垂直的重要依据(3)由于垂直于弦的直径平分弦,故可以在圆中构造直角三角形利用勾股定理列方程求相关线段的长5.弦长、弦心距与半径的公式在垂径定理的运用中，常涉及弦长a,弦心距d,半径r,及弓形高h这四者之间的关系.有两个公式需要熟知并运用：公式1：公式2：即学即练1⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的直径为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】D【分析】根据垂径定理即可求得AC的长，连接OC，在直角△AOC中根据勾股定理即可求得半径OA的长，则直径即可求解．【详解】解：连接OC，∵OC⊥AB，∴AC=12在直角△AOC中，OA=所以直径为10，故选D【点睛】本题考查了直角三角形的基本知识.此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要对直角三角函数和直角三角形的性质牢牢把握.即学即练2如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB=10米，OE⊥CD(1)求CD的长：(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】(1)8米(2)经过5小时桥洞会刚刚被灌满【分析】（1）连接OC，根据垂径定理可得CE=ED，勾股定理求得CE=4，进而求得CD=8；（2）延长OE交⊙O于点F，由（1）求得OE=3，进而求得EF，根据题意即可求解．【详解】（1）解：如图，连接OC，∵OE⊥CD，∴CE=ED，∵OE:CD=3:8，∴OE:CE=3:4，设OE=3k,CE=4k，在Rt△CEO中，CO∴CO=5k，∵直径AB是河底线，AB=10，∴CO=5，解得k=1，∴CE=4，OE=3，∴CD=8米，（2）如图，延长OE交⊙O于点F，由（1）可得OE=3，∴EF=OF−OE=5−3=2∵水位以0.4米小时的速度上升，∴2÷0.4=5（小时），即经过5小时桥洞会刚刚被灌满．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．知识点二垂径定理的逆定理1.垂径定理的逆定理1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧数学符号语言表述为:2.垂径定理的逆定理2平分弧的直径垂直平分弧所对的弦数学符号语言表述为:归纳:一条直线如果具有①经过圆心;②垂直于弦:③平分弦(被平分的弦不是直径)④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条那么必然具备其余的三条.简记“知二推三”即学即练1如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE=12，CD=26，那么弦AB的长为(

)

A．5 B．10 C．12 D．13【答案】B【分析】连接OA，由垂径定理可得AB⊥CD，AO=13，Rt△OAE中由勾股定理建立方程求解即可；【详解】如图，连接OA，

∵CD=26,∴AO=13，由垂径定理可得AB⊥CD，AE=BE=1Rt△OAE中，OA13解得：AE=5∴AB=10，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．题型一利用垂径定理求值例1如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB=12，CE的最大值为18，则EF的长为（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=12AB=6，设半径为r，根据当C，O，E在同一条直线上时CE最长得到EF=2r−18，在Rt△AOE【详解】解：如图，连接OA，

∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB=12，∴AE=1设半径为r，可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，即CE=OC+OE=18，∴r+r−EF=18，∴EF=2r−18，在Rt△AOE中，由勾股定理得OE∴r−2r−18解得r=10，∴EF=2r−18=2，故选D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得AE=1举一反三1如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是【答案】3【分析】根据垂径定理可得AD的长，根据勾股定理可得结果．【详解】解：∵BC⊥OA，∴BD=1∴OD=O故答案为：3．【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．举一反三2如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD交CD于点E，将⊙O沿弦AB折叠，点C恰好落在OD的中点，若OE=2，则弦AB为（

A．15 B．30 C．215 D．【答案】D【分析】连接OB，令OD的中点为F，根据折叠的性质可得CE=EF，OF=DF，即可求得OF=22，根据垂径定理可得AE=BE，勾股定理可求得BE=【详解】解：连接OB，令OD的中点为F，如图：

∵将⊙O沿弦AB折叠，点C恰好落在OD的中点F上，∴CE=EF，OF=DF，又∵EF=EO+OF=2∴CF=2EF=22则DC=CF+DF=22又∵DC=2OD=4OF，∴22∴OF=22故OD=2OF=42∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD交CD于点E，∴AE=BE，在Rt△OBE中，BE=O∴AB=2BE=230故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．题型二利用垂径定理求平行弦问题例2如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，则EH=FH=12∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四边形ABCD是矩形，∴四边形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案为：32【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．举一反三1在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N，可知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2−BN2，解得ON的值，在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=OD2−DM2，解得OM的值，计算ON−OM即可；②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N由题意知OM⊥CD，CM=MD=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=∴MN=ON−OM=1cm②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB由题意知PN⊥AB，EP=PF=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=∴NP=ON+OP=7cm∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故选D．【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．举一反三2如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得AF=1（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．【详解】解：（1）连接AO和DO，∵EF⊥AB，且EF过圆心，∴AF=1∵AO=5，∴OF=A∵AB//CD，∴EF⊥CD，同理DE=1OE=O∴EF=OF+OE=4+3=7；（2）如图，连接BO和DO，∵CD=46∴DE=26∴OE=O设EF=BF=x，则OF=x−1，在Rt△OBF中，OFx−12+x2=25∴BF=4，∴AB=2BF=8．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．题型三利用垂径定理求同心圆问题例3如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为17【分析】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；（2）连接OC,OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,∴AE−CE=BE−DE,∴AC=BD.（2）解：连接OC,OA，如图2，∵AC=2,BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE−AC=1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE在Rt△COE中，由勾股定理可得OC∴OC=17，即小圆的半径r为17【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．举一反三1如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是．【答案】16【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=12S矩形APND=1【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，∴S矩形APND=12∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长∴S△AOD=12S矩形APND=1∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=故S△AOD的最大值为4∴S矩形ABCD的最大值为4÷14故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．举一反三2如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE则r2解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．题型四利用垂径定理求解其他问题例4如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为0,4，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A．−1,2 B．1,−1 C．−1,1 D．2,1【答案】C【分析】连接AC，作线段AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点A的坐标即可求得答案．【详解】如图所示，连接AC，作线段AB、AC的垂直平分线，其交点H即为圆心．

∵点A的坐标为0,4，∴该圆弧所在圆的圆心坐标是−1,1．故选：C．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．举一反三1垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．【详解】解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．举一反三2如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，AD=DF，过点C作CH∥AF交AB于点G，交AD于点(1)求证：CD=CH．(2)若CG=2GH，AB=10，求AF．【答案】(1)见解析(2)AF=【分析】（1）根据垂径定理得出AC=AD，进而得出AC=DF，再根据“弧，弦，圆心角之间的关系”得出（2）作OM⊥AF，可知AM=12AF，根据“弦，弧，圆心角之间的关系”得AF=CD，进而得出CH=CD=AF，设GH=a，表示CG，AF，再表示CE=DE，然后根据勾股定理得GE，再根据平行线的性质得∠FAO=∠CGB，结合AO=5【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB∴AC=∵DF=∴AC=∴∠FAD=∠ADC．∵CH∥AF，∴∠FAD=∠CHD，∴∠CHD=∠ADC，∴CD=CH；（2）过点O作OM⊥AF，垂足为点M．则AM=1∵AC=∴AF=∴AF=CD．∵CH=CD，∴CH=CD=AF，∵CG=2GH，可设GH=a，则CG=2a，AF=CD=CH=3a，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=3由勾股定理可得GE=C∵CH∥AF，AB=10，

∴∠FAO=∠CGB，AO=5．∴cos∠FAO=cos∠CGB，即32解得a=5∴AF=3a=5【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形，两直线平行，同位角相等，构造辅助线是解题的关键．题型五垂径定理的推论例5如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．

(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为（______，______）；(2)请通过计算判断点D3,−5与⊙M【答案】(1)1，−2(2)点D在⊙M的外部【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标；（2）分别求出MD和MB的长度进行比较即可作出判断．【详解】（1）解：如图，连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两直线交于点M，∴M是过A，B，C三点的圆的圆心，

∴M1,−2故答案为：1，−2；（2）∵M1,−2，D3,−5，∴MD=1−32+∴MD>MB，∴点D在⊙M的外部．【点睛】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．举一反三1如图，AB是⊙O的弦，C是弧AB的中点，OC交AB于点D．若AB=8cm，CD=2cm，则⊙O的半径=【答案】5【分析】利用垂径定理的推论可知，OC垂直平分AB，得到AD=4cm，设OA=OC=acm，利用勾股定理列方程求解，即可求出⊙O的半径．【详解】解：如图，连接OA，∵OC为半径，AB是⊙O的弦，C是弧AB的中点，∴OC垂直平分AB，∵AB=8cm，∴AD=1设OA=OC=acm，则OD=OA−CD=a−2由勾股定理得：OA∴a解得：a=5，即⊙O的半径=5cm，故答案为：5．

【点睛】本题考查了垂径定理的推论和勾股定理，能熟记垂径定理的推论是解题关键．举一反三2有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弧长相等；⑤一条弦平分另一条弦，则垂直于这条弦．其中正确的是（）（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用垂径定理及与圆有关的性质定理，可判断结论的正误，进而确定正确结论的个数．【详解】解：①正确；②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧长相等；故④错误；⑤平分弦的直径，垂直于这条弦，故⑤错误；因此正确的结论是①②；故选：B．【点睛】本题考查有关圆的题目，需掌握垂径定理以及其他与圆有关的性质定理．题型六垂径定理的实际应用例6图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中OA，OB，OC为伸缩杆，其中OA=OB=OC，支架最大宽度AB=10cm，支架的高为10cm，则△ABC外接圆O的半径为cm，当一部宽为8cm的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同（BG=AE=CF），形成的△EFG外接圆的圆心为点P，若OGGE=

【答案】254【分析】延长CO与AB交于点D，根据对称的性质可得AD=BD=12AB=12×10=5，OD⊥AB，设⊙O的半径为r，根据勾股定理即可求解得到半径；延长CO与AB交于点D，与GE交于点H，根据对称的性质可得AD=BD=12AB=12×10=5，OD⊥AB，GH=HE=12GE=12×8=4，【详解】解：延长CO与AB交于点D，如图：

根据题意可得，点A与点B关于OC对称，∴AD=BD=12AB=设⊙O的半径为r，则OD=CD−OC=10−r，在Rt△ADO中，AD即10−r2解得：r=25延长CO与AB交于点D，与GE交于点H，连接PE，如图：

根据题意可得，点A与点B关于OC对称，点G与点E关于OC对称，∴AD=BD=12AB=GH=HE=12GE=∵BG=AE，OB=OA，∴OG=OE，又∵OGGE∴OG=OE=5，又∵OB=OA=25∴BG=AE=25即CF=5∴OF=OC+CF=25在Rt△OHE中，OH=O设OP=a，则PH=PO+OH=a+3，PF=OF−OP=15在Rt△PHE中，PE即152解得：a=125即OP的值为12584故答案为：254，125【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．举一反三1某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD=8m

(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；(2)现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5【答案】(1)该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米(2)此货船不能顺利通过这座桥【分析】（1）连接OA，根据垂径定理得出AD=12AB=12m，设OA=OC=r，则OD=r−8m（2）易得OD=OC−CD=5米，构造如图所示矩形MEFN，OM连接，推出MH=12MN=5米，根据勾股定理可得OH=OM【详解】（1）解：连接OA，

∵AB=24m，OC⊥AB，∴AD=1设OA=OC=r，∵CD=8m，∴OD=r−8在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：AD即122解得：r=13，答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米．（2）解：∵r=13米，CD=8m，∴OD=OC−CD=5米，构造如图所示矩形MEFN，OM连接，当EF=MN=10m时，∵OC⊥AB，∴OC⊥MN，∴MH=1根据勾股定理可得：OH=O∴DH=OH−OD=12−5=7（米），∵7<7.5，∴此货船不能顺利通过这座桥．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解得的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．举一反三2根据以下素材，探索完成任务．如何确定拱桥形状？问题背景河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是面弧．为确定状桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动．

素材1在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了下图．测得水面宽AB为16m，拱顶离水面的距离CD为4

素材2大雨过后，水位上涨．小组成员再对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量．发现当水面宽为12m时，水位（相对正常水位）上涨1.9m；当水面宽8m素材3如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近问题解决假设1小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式．

假设2小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径．分析判断基于假设1和假设2，请分别计算水面宽12m和8m时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪一种形状．（参考数据：水面宽12水面宽8水位上涨的实际观测值（m）1.903.10假设1的预测值（m）3.00假设2的预测值（m）2.00【答案】假设1，y=−116x【分析】根据题意，分别求得抛物线的解析式，基于假设1和假设2，请分别计算水面宽12m和8m时水位上涨的预测值，进而根据离差平方和的定义，进行判断即可求解．【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

∵测得水面宽AB为16m，拱顶离水面的距离CD为4m．∴B8,0设抛物线解析式为y=ax2+464a+4=0解得：a=−∴抛物线解析式为y=−假设2，如图所示，设圆心O，连接OB,OD，

依题意，OD⊥AB，在Rt△OBD中，OB2=D∴r解得：r=10∴该圆弧的半径为10米对于抛物线，当水面宽12m时，将x=6代入，y=−1y=−当水面宽8m时，将x=4代入，y=−1y=−对圆弧，当水面宽12m时，设EF=12，EF,OC交于点G，

则OD=10−CD=10−4=6,GE=1在Rt△OEG中，O设DG=x，则x+6解得：x=2（负值舍去）当水面宽8m时，设EF=8，EF,OC交于点G，则OD=10−CD=10−4=6,GE=1在Rt△OEG中，O设DG=x，则x+6解得：x=221填表如下，水面宽12m水面宽8m水位上涨的实际观测值（m）1.903.10假设1的预测值（m）1.753.00假设2的预测值（m）2.003.17根据离差平方和的定义，对于假设1，离差平方和为1.9−1.75对于假设2，离差平方和为1.9−2∵0.0149<0.0325∴拱桥更接近圆弧．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，熟练掌握掌握二次函数与垂径定理是解题的关键．一、单选题1．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（）A． B． C． D．4【答案】C【分析】利用垂径定理先求出，，进而证得四边形是正方形，再利用勾股定理可以求出的长．【详解】解：作于M，于N，连接，

∵，∴四边形是矩形，∵，，∴，，由勾股定理得：，∴四边形是正方形，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．3．（2023·上海金山·统考二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是(

)A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】过点O作于点M，利用垂径定理，勾股定理计算即可．【详解】过点O作于点M，连接，∵，∴，∴，解得，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．4．（2023·上海松江·统考二模）下列命题正确的是（

）A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦【答案】C【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断．【详解】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题；B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题；C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题；D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．（2020·上海·校考三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C． D．4【答案】A【分析】根据圆周角定理可知∠COE=30°，CE=OC=1，再由垂径定理可知CE=CD，即可求出CD的长．【详解】解：∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，半径为2，∴CE=OC=1，∴CE=CD，∴CD=2故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键．二、填空题6．（2023·上海青浦·统考二模）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．

【答案】【分析】根据垂径定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．【详解】解：过点作于点，∵分米，分米，∴分米，∴设分米，∴分米，∴在中，，∴，∴，∴该圆柱形油槽的内半径为分米，故答案为．

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．7．（2023·上海杨浦·二模）如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为．【答案】【分析】连接，取中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，进而可知点，，，四点均在同一个圆，即上，由圆周角定理可知，可知，过点作，垂足为点，由垂径定理得，，在中，，，可得．【详解】如图，连接，取的中点，连接，，在和中，点是斜边的中点，，根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上，又，，，过点作，垂足为点，由垂径定理得，，在中，，，．故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，圆的定义，圆周角定理，垂径定理，含的直角三角形，根据相关性质定理得到点，，，四点均在同一个圆是解决问题的关键．8．（2022·上海·九年级专题练习）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度为，凹坑最大深度为，由此可算得铲车轮胎半径为．【答案】【分析】先补全图形，然后根据垂径定理和勾股定理解答，即可．【详解】解：如图，将圆弧补全，连接，则点O，D，C三点共线，且，∴设半径为R，则，根据勾股定理得：，解得：．