广东省潮州市饶平县高中校际联考2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省潮州市饶平县高中校际联考2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，且，则（

）A．11 B． C． D．3．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．24．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．26．已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（

）A． B．2 C． D．20268．已知，若，，，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列命题是真命题的为（

）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若且，则10．已知，，且，下列结论正确的是（

）A．的最小值是1 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是911．数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（

）A．曲线关于轴对称B．曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C．曲线所围成的区域的面积小于3D．曲线上任意一点到原点的距离最小值为三、填空题12．设，则.13．设数列满足，且，则数列前10项的和为14．函数，其中表示x，y，z中的最小者.若函数有12个零点，则b的取值范围是.四、解答题15．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据：不经常锻炼经常锻炼合计男生103040女生202040合计305080(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？(2)根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望．附：．16．在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．(1)求角；(2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．17．如图，在正四棱柱中，，是的中点，是的中点.(1)求证：①平面；②平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.18．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)（i）求的最小值；（ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.19．已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.(1)判断是否是上的“函数”？请说明理由；(2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；(3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省潮州市饶平县高中校际联考2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题》参考答案题号12345678910答案CDCCCAADBCDBC题号11答案ABD1．C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2．D【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可求解.【详解】因为向量，则，且，则，解得.故选：D3．C【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值.【详解】，由导数几何意义知，在处的切线斜率为，当时，切线经过点，故有，解得.故选：C．4．C【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【详解】由可得：，当时，，所以，则的取值范围为，满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集,故其一个充分不必要条件是：.故选:C.5．C【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可.【详解】由题意可知：，是方程的两根，且，则，可得，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C.6．A【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.【详解】对任意，当时都有成立，所以函数在上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.7．A【分析】依次算得，的一个周期为4，进一步结合已知得，由此得，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令，得，又不是常函数，所以，再令，得，即，则，即，所以函数的一个周期为4，由，令，得，所以，所以.故选：A.8．D【分析】根据导数可判断在上为增函数，再设，根据导数的符号可判断单调性，从而可得三数的大小关系.【详解】设，又，设，，故在上为增函数，故即，故在上为增函数，设，则，故在上为减函数，而，故，故，故，所以，故，故.又，故即，故，故，综上，，故选：D.【点睛】思路点睛：不同数的大小比较，注意根据数的特征合理构建函数，后者可利用导数判断单调性.9．BCD【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确；【详解】对于A，设，则，故A错误；对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确；对于C，，因为且，所以，所以，且，所以，所以，故C正确；对于D，，因为，所以，又，所以，故D正确；故选：BCD.10．BC【分析】对AC，利用基本不等式可直接求出；对B，将代入即可求出；对D，化为展开利用基本不等式可求出.【详解】对A，因为，，则，解得，当且仅当等号成立，取得最大值为，故A错误；对B，由可得，则，，当时，取得最小值为，故B正确；对C，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是4，故C正确；对D，，当且仅当等号成立，所以的最小值是，故D错误.故选：BC.11．ABD【分析】选项A，用代替验证；选项B，当时，方程变形为，则，因为为整数，所以只能为0，，只能为0，1，再列举并结合曲线的对称性即可判断；选项C，结合B选项，曲线经过6个整点围成图形的面积为3，曲线围成的图形在这6个点围成图形的外围，可判断C；对于选项D，当时，方程变形为，即，令，，从而得到，结合三角函数的图像即可求解.【详解】对于A,用代替，可得曲线不变，则曲线关于轴对称，故A正确；对于B，当时，方程变形为，则，因为为整数，所以只能为0，，只能为0，1，当时，解得，当时，解得，当时，解得：或，当时，解得或所以当，对应的点为，，，因为曲线关于轴对称，所以当时，对应的点有，，

所以曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故B正确，对于C，由B选项可得曲线恰好经过6个整点，分别为，，，，，结合图形可知这6个点围成的面积，因为曲线围成的图形在这6个点围成图形的外围，所以曲线所围成的区域的面积大于3，故C不正确；对于D，当时，方程变形为，即，令，，即，设曲线上任意一点为，则到原点的距离，（其中），所以当时，，因为曲线关于轴对称，则当时，也成立，故D正确；故选：ABD12．2【解析】先求出，再求的值即可【详解】解：由题意得，，所以，故答案为：213．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和法可求得数列前项的和.【详解】由题意可得，所以，，因此，数列前项的和为.故答案为：.14．【分析】将问题转化为有个不等实根，设，可知方程有两个不等实根，结合函数图象可确定的范围，结合二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.【详解】题意转化为有个不等实根，作出图象如下图所示，设，则有两个不等实根，；记的两根为，；所以，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.15．(1)不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系(2)分布列见详解，【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比分析.（2）根据的取值情况列出分布列，通过期望公式求解即可.【详解】（1）零假设为：性别因素与锻炼的经常性无关，因为，所以，，，，，则，则，，，，，所以，则，根据小概率值的独立性检验为6.635，由，因此可以认为成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系.（2）经常锻炼的学生为50人（男生30人，女生20人），按比例抽取5人，其中男生抽取3人，女生抽取2人.则的可能取值为：0，1，2，则：，，，所以的分布列为：01216．(1)；(2)．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，两式联立可得，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，，故，，即，又，则．（2）由（1）可知，，又外接圆的半径为；由正弦定理可知，所以，因为是的平分线，故，又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．所以，又，则，所以.17．(1)①证明见解析；②证明见解析(2)【分析】（1）①利用平行四边形法证明线线平行，然后用线面平行判断定理可得到结论.②利用线垂直的判定定理可得到结论.（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用二面角的坐标公式可得到答案.【详解】（1）①设是的中点，连接，，因为是的中点，是的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面平面，所以平面.②因为正四棱柱，所以平面，又因为平面，所以.连接，则，所以为正三角形，因为是的中点，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，.平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则.即取，则，.所以是平面的一个法向量..设平面与平面所成二面角为，则.18．(1)；(2)；证明见解析．【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程；（2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明．【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即，又椭圆离心率为，所以，则，所以椭圆C的方程为：（2）（i）由椭圆方程得，，设，因为点M在椭圆C上，所以，即，所以，所以，当，即M为椭圆上下顶点时，，所以求的最小值为；（ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：，联立，消去x得，方程的判别式，设，，则由韦达定理得，则，注意到，即，所以，所以19．(1)是上的“函数”，理由见解析(2)证明见解析(3)6【分析】（1）根据定义直接判断即可；（2）结合定义可得在上恒成立，设，求导可知函数在上单调递增，且.由，可知，根据的单调性即可证明；（3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数研究其单调性分析即可求解.【详解】（1）是上的“函数”，理由如下：，.，，，在恒成立，是上的“函数”.（2）是上的“函数”，在上恒成立，设，则，∴在上单调递增，且.又，，即.∵在上单调递增，，∴.（3），.∵是上的“函数”，∴在上恒成立，即在上恒成立.当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；当时，恒成立，设，，则，所以函数在上单调递减，所以，即；当时，恒成立，设，，则，所以函数在上单调递减，所以，即.综上所述，.∵，当时，，∴，即.令，，则由题意可知：存在，使得在上为增函数，即存在，使得，即