天津市第六十一中学2024-2025学年八年级上学期数学期中测试题（含答案）

第第页天津市第六十一中学2024-2025学年八年级上学期数学期中测试题一、选择题：（每小题2分，共24分）1．已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm2．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等3．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．n边形的每个内角都为156°，则边数n为（）A．13 B．14 C．15 D．166．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则A．40° B．35° C．30° D．25°7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）A．mn B．12mn C．2mn D．18．若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．5：4：39．在△ABC中，AB=7，AC=5，则中线AD之长的范围是()A．5＜AD＜7 B．2＜AD＜5 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜1210．如图△ABC中，∠B=∠C，BD=CE，CD=BF，则∠EDF=（）A．90∘-∠A B．90∘-1211．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（）A．5 B．6 C．7 D．812．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列选项中结论错误的是（）A．EF=BE+CF B．∠BOC=90°+C．点O到△ABC各边的距离相等 D．设OD=m，AE+AF=n，则S二、填空题：（每小题3分，共18分）13．等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为14．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE，则∠CDF=．15．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有对全等三角形．16．如图，B处在A处的南偏西46°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB=．17．如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为18．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是．三、解答题：（7小题，共58分）19．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证：（1）∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF．20．已知：AB⊥AE，AD⊥AC，∠E=∠B，DE=CB．求证：AD=AC．21．已知：线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB=CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE=CF．求证：BO=DO．22．已知，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．（1）如图①，求证：BC=AD；（2）如图②，AC与BD相交于点O，若点E是AB的中点，求证：OE⊥AB．23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．24．（1）如图①，点D、A、B在一条直线上，∠D=∠B=90°，EA⊥AC，EA=AC．求证：AD=BC；（2）如图②，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以点A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角三角形BAE和等腰直角三角形CAF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为点P、Q，EP与FQ之间有怎样的数量关系？证明你的结论．25．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作EF//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，△ABC的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【分析】两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由题，8-3<a<3+8，即5<a<11，a=6，7，8，9，10，故选C.2．【答案】C【解析】【解答】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选C．【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：B．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.4．【答案】D【解析】【解答】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合ASA．故答案为：D．【分析】根据三角形全等的判定方法，结合图形，即可得出依据是ASA.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵每个内角都为156°，故这个多边形的外角都为180°−156°=24°，这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故答案为：C．【分析】根据补角的定义由一个正多边形的每个内角都为156°，可求出一个外角的度数，再利用总度数求出多边形的边数，解答即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=80°,∠C=30°，∴∠BAC=180°−80°−30°=70°，∵△ABC≌∴∠DAE=∠BAC=70°，∴∠EAC=35°．故选B．【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据全等三角形性质可得∠DAE=∠BAC=70°，再根据角之间的关系即可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：作DE⊥AB交AB于点E，

∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴CD=DE=n，∴S△ABD=12AB·DE=1故选B.

【分析】作DE⊥AB交AB于点E，根据角平分线性质可得CD=DE=n，再根据三角形面积即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意设内角分别为x，2x，3x，可得x+2x+3x=180°，即x=30°，∴三角形内角分别为30°，60°，90°，则相应的外角分别为150°，120°，90°，之比为5：4：3．故选D【分析】根据内角之比，利用内角和定理求出各自的内角，进而求出外角之比．9．【答案】C【解析】【解答】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，在△ABD与△ECD中，BD=CD∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=7，AC=5，∴CE=7，设AD=x，则AE=2x，∴2＜2x＜12，∴1＜x＜6，∴1＜AD＜6．故选C．【分析】延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ECD（SAS），则CE=AB，设AD=x，则AE=2x，再根据三角形三边关系即可求出答案.10．【答案】B【解析】【解答】解：在△BDF与△CED中，BD=CE∠B=∠C∴△BDF≌△CED(SAS)，∴∠BFD=∠CDE，∵∠CDF=∠B+∠BFD，∠CDF=∠EDF+∠CDE，∴∠EDF=∠B，∵∠B=∠C，∴∠B=1∴∠EDF=90故答案为：B．【分析】先利用边角边证明得到△BDF≌△CED，根据全等三角形对应角相等可得∠BFD=∠CDE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠EDF=∠B，然后根据等腰三角形顶角与底角的关系计算即可解答．11．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；又∵AE＝CD，在△ABE和△CAD中，AB=∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE；∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝90°，则∠PBQ＝90°﹣60°＝30°；∵PQ＝3，∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6；又∵PE＝1，∴AD＝BE＝BP+PE＝7．故选：C．【分析】根据等边三角形性质可得AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CAD（SAS），则BE＝AD，∠CAD＝∠ABE，再根据含30°角的直角三角形性质可得PE，再根据边之间的关系即可求出答案.12．【答案】D【解析】【解答】解：B、∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故B正确；

A、∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE，CF=OF，

∴EF=OE+OF=BE+CF，

故A正确；

D、过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON=OD=OM=m，

∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故D错误；

C、∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得∠BOC=90°+12∠A，可判断B；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF可判断A；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，可判断C；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=113．【答案】9【解析】【解答】∵等腰三角形的两边长分别为4和9，∴分两种情况（1）腰为4，底边为9，但是4+4＜9，所以不能组成三角形（2））腰为9，底边为4，正确，所以第三边长为9.

【分析】根据两边为腰还是底进行分类讨论，得出满足题意的答案。14．【答案】74°【解析】【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=1∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-∠B=18°，∴∠DCF=∠BCE−∠BCD=16°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°−∠DCF=74°，故答案为：74°【分析】根据三角形内角和定理可得∠ACB，根据角平分线定义可得∠BCE=115．【答案】3【解析】【解答】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，

∴△ADB≌△ACB；

∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，

∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB

∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO.

∴图中共有3对全等三角形.

故填：3.

【分析】根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形可得△ADB≌△ACB，根据全等三角形的对应角相等得出∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO，即可求解.16．【答案】85°【解析】【解答】解：∵B处在A处的南偏西46°方向，C处在B处的北偏东80°方向，∴∠ABC=80°−46°=34°，∵C处在A处的南偏东15°方向，∴∠BAC=46°+15°=61°，∴∠ACB=180°−34°−61°=85°．故答案为：85°．【分析】根据方向角的定义可先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和计算求出∠ACB，解答即可．17．【答案】126【解析】【解答】解：连接AD，DE，设∠C=x，∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=180°−x∵以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，∴AB=AD=AE，∴∠ABC=∠ADB=90°−1∵分别以点C，D为圆心，大于12∴DE=CE,FG⊥CD，∴∠EDC=∠C=x，∴∠ADE=∠AED=2x，∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=90°−1解得：x=36°，∴∠GEC=90°−∠C=54°，∴∠AEG=180°−∠GEC=126°，故答案为：126．【分析】连接AD，DE，设∠C=x，根据三角形内角和定理可得∠ABC=∠BAC=90°−12x，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，则AB=AD=AE，根据等边对等角可得∠ABC=∠ADB=90°−12x,∠ADE=∠AED，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，则18．【答案】4【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点H，∵CD是ΔABC∴点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，∵ΔABC的面积为12，∴AG=4，∵CD垂直平分AH，∴AC=CH，∴S∴HF=AG=4，∴AE+EF的最小值是4，故答案为：4．【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是ΔABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G19．【答案】（1）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．【解析】【解答】（1）根据角平分线定义可得∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，再根据四边形内角和定理可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角之间的关系即可求出答案.

（2）根据三角形内角和定理可得∠DFC+∠2=90°，则∠1=∠DFC，再根据直线平行判定定理即可求出答案.20．【答案】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB+∠DAB=∠CAD+∠DAB，即∠DAE=∠CAB；在△ACB和△ADE中，∵∠DAE=∠CAB∠E=∠B∴△ACB≌△ADE(AAS∴AD=AC．【解析】【分析】先根据等角的余角相等可得∠DAE=∠CAB，再根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ACB≌△ADE，然后由全等三角形的对应边相等可证得AD=AC，解答即可．21．【答案】证明：∵AE=CF，∴AF=EC，∵BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，∴∠AFB=∠DEC=90°，在Rt△ABF和RtAB=CDAF=CE∴Rt∴BF=DE，在△BFO和△DEO中，∠BOF=∠DOE∠BFO=∠DEO∴△BFO≌△DEO（AAS），∴BO=OD．【解析】【分析】由AE=CF得到AF=EC，可以根据HL得到△ABF≌△CDE，再利用AAS证明△BFO≌△DEO，解答即可．22．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，∴△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和RtAC=BDAB=BA∴Rt∴BC=AD；（2）证明：由（1）可知，Rt△ABC≌∴∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，∵E点是AB的中点，∴AE=BE，在△AOE和△BOE中，OA=OBAE=BE∴△AOE≌△BOE(SSS∴∠AEO=∠BEO，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠AEO=BEO=90°，∴OE⊥AB．【解析】【分析】（1）由题意得到△ABC和△BAD都是直角三角形，再用HL证明Rt△ABC≌（2）根据全等三角形的性质证明OA=OB，由中点的定义得到AE=BE，再由SSS证明△AOE≌△BOE，得到∠AEO=BEO，再由平角的定义计算即可解答．（1）证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，∴△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和RtAC=BDAB=BA∴Rt∴BC=AD；（2）证明：由（1）可知，Rt△ABC≌∴∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，∵E点是AB的中点，∴AE=BE，在△AOE和△BOE中，OA=OBAE=BE∴△AOE≌△BOE(SSS∴∠AEO=∠BEO，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠AEO=BEO=180°，∴OE⊥AB．23．【答案】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ABC＝72°．又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°．∴∠BAD＝∠ABD．∴AD＝BD．又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即EF⊥AB．（2）∵EF⊥AB，AE＝BE，∴EF垂直平分AB．∴AF＝BF．∴∠BAF＝∠ABF．又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°．又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°．∴∠CAF＝∠AFC＝36°．∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据等边对等角及角之间的关系可得∠ABC＝∠ABC＝72°，根据角平分线定义可得∠ABD＝36°，则∠BAD＝∠ABD，根据等边对等角即可求出答案.

（2）根据垂直平分线判定定理可得EF垂直平分AB，则AF＝BF，根据等边对等角可得∠BAF＝∠ABF，则∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据三角形外角性质可得∠AFC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.24．【答案】证明：（1）∵∠D=∠B=90°,EA⊥AC，∴∠EAC=∠D=∠B=90°，∴∠E+∠EAD=90°,∠EAD+∠AB=90°，∴∠E=∠CAB，在△EDA和△ABC中，∠E=∠CAB∠D=∠B∴△EDA≌△ABC，∴AD=BC；（2）EP=FQ，∵△BAE和△CAF是等腰直角三角形，∴∠FAC=∠EAB=90°,AC=AF,AE=AB，∵AG⊥BC,FQ⊥AG，∴∠FQA=∠AGC=90°，∴∠AFQ+∠QAF=90°,∠QAF+∠GAC=90°，∴∠QFA=∠GAC，在△AQF和△CGA中，∠FQA=∠AGC=90°∠AFQ=∠GAC∴△AQF≌△CGA(AAS∴FQ=AG，同理EP=AF，∴FQ=EP．【解析】【分析】（1）根据垂直的定义先求出∠EAC=∠D=∠B=90°，再根据等角的余角相等可得∠E=∠CAB，根据全等三角形的判定AAS判定△EDA≌△ABC，解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠FAC=∠EAB=90°，AC=AF,AE=AB，求出∠FQA=∠AGC=90°，再根据等角的余角相等得到∠QFA=∠GAC，再由AAS证明△AQF≌△CGA，推出FQ=AG即可解答．25．【答案】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.（1）证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，

∴CE平分∠ACB，

∴∠ECB＝