重难点01 圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边形结合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）（原卷版）

重难点01圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边行结合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.模型01圆性质的应用考｜向｜预｜测圆性质的应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，在综合性大题考试中，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的性质及相关判定定理与推论并结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。答｜题｜技｜巧1.灵活应用弦弧角之间的关系，弦和弧最终转化为角，一般情况下是圆周角；2.碰到直径想直角，直径所对的圆周角为90°；3.看到切线——连半径——90°，证明切线时注意证明90°；4.圆内接四边形——对角互补，外交等于内对角；1．（2024·江苏）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B．

(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)求EF的长．1．如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为（

）A． B． C． D．3．如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（

）A． B． C． D．4．如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为．5．如图，是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且平分，连接，，若，则的度数为．6．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N．(1)求证：与相切；(2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离．7．如图，是的直径，，是同侧圆上的两点，半径交于点，．(1)求证：；(2)若，求的半径．8．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由．(2)若，，求的半径．模型02圆与四边形结合的动态探究考｜向｜预｜测特殊四边形与圆结合的动态探究模型该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，主要考查对圆性质的理解与三角形或四边形综合知识的应用。实际题型中对数形结合的讨论是解题的关键。许多问题的讨论中需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识。答｜题｜技｜巧1.圆的性质应用，根据专题1的解题思路进行求解；2.注意结合的四边形的形状，特殊平行四边形的性质与判定熟练应用；3.四边形的存在性问题注意假设、反推；4.数形结合进行分析、解答1．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，．(1)求证：点为的中点；(2)若，求．1．如图，四边形是圆O的内接四边形，，则的度数是（

）A． B． C． D．2．圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（

）A． B． C． D．3．在⊙中，点在圆上，，则为（

）A． B． C． D．4．如图，四边形是圆的内接四边形，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为．(1)当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）；(2)当于时（如图），求、、之间的关系为：(用含、的代数式表示)；(3)当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由．6．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”．(1)若是圆的“闪亮四边形”，则是（填序号）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”．①求证：②求证：(3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R7．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．

(1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到__________个．(2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且．①当时，求度数．②如图3，当，时，求阴影部分的面积．模型03情景与应用题型考｜向｜预｜测圆结合的情景与应用模型近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易得满分。该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型通常和我们的日常生活中所接触的事物或者生活现象紧密结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。在解题时要根据题意把转化为我们所学习的圆的相关知识应用。答｜题｜技｜巧1.理解题意，联系圆的相关知识点；2.圆的相关证明与判定依据模型1的思路总结；3.利用四边形、圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；1．利用素材解决：《桥梁的设计》问题驱动某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．方案一：圆弧型方案二：抛物线型图形任务（1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆．（2）求所在圆的半径．（3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式．1．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空．(1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法）(2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：．证明：连接．是的直径，①．是过点B的切线，②．即，又和是弧所对的圆周角③．．由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角④它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”）2．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：(1)如图1，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想（请填“”、“”或“”）；(2)如图2，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；3．阅读与思考直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明．添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由．小王的解题思路如下：与相切．理由：连接．∵点B恰好落在上，．（依据1），．，，．，（依据2），∴与相切．任务：(1)依据1：_____________________________．依据2：________________________________．(2)在图2中，的半径为6，，求的长．4．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，，(1)求：的长度(2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离模型04隐圆问题考｜向｜预｜测隐圆问题主要出现在压轴题型中，一般是填空题的最后一道或者多可能问题中出现，属于动点模型问题。想要解决此类问题需要解决此类问题，需要真正理解圆的定义及性质，根据圆的定义与性质判定动点移动的轨迹。答｜题｜技｜巧隐圆问题一般有以下几种表现形式：（1）根据圆的定义判定，动点在移动的过程中到某一定点的距离始终不变；（2）等弦对等角，一般考试中出现直角不变型的情况居多；（3）四点共圆型，利用圆内接四边形的性质，对角互补；模型01定义型点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。模型02直径所对的角为直角（直角模型）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。模型03等弦对等角模型一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则1.如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．1．如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．2.如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AD=3，AE=1，求CF1．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A． B． C． D．2．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．3．（2024·云南）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为米．4．（2023·贵州）如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为．5．（2024·青海）如图，直线AB经过点C，且OA=OB，CA=CB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若圆的半径为4，∠B=30°，求阴影部分的面积．1．一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论：①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；②的最大值为4；③的最小值为；④当到的距离达到最大值时，．你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上．（1）线段的长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．3．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为．4．中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，