2024-2025学年八年级数学上学期期中必刷常考题含答案

试题试题期中真题必刷常考60题（31个考点专练）一．三角形（共2小题）1．（2022秋•安次区校级期中）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是A． B． C． D．2．（2022秋•宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，并依次连接成三角形；（2）计算出的周长．二．三角形的角平分线、中线和高（共2小题）3．（2021春•高邮市期中）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是A． B． C． D．4．（2024春•肇源县期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长．三．三角形的稳定性（共2小题）5．（2023秋•祁阳县期中）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是A． B． C． D．6．（2023秋•滨城区期中）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的性．四．三角形的重心（共1小题）7．（2020秋•巴东县期中）三角形三条中线的交点叫做三角形的A．内心 B．外心 C．中心 D．重心五．三角形三边关系（共2小题）8．（2023秋•新洲区期中）在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为，，，的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是A． B． C． D．9．（2023秋•灵宝市期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多1，与的和为11．（1）求、的长；（2）求边的取值范围．六．三角形内角和定理（共2小题）10．（2024春•岳阳县期中）中，，，则．11．（2023春•民权县期中）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，．（1）求证：；（2）若是的平分线，，求的度数．七．三角形的外角性质（共2小题）12．（2023秋•松滋市期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为A． B． C． D．13．（2024春•武进区期中）如图，已知，，，则的度数为．八．全等图形（共2小题）14．（2023秋•长沙期中）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是A． B． C． D．15．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为．九．全等三角形的性质（共2小题）16．（2023秋•虞城县校级期中）如图，△△，，，则A．2 B．8 C．5 D．317．（2023秋•永昌县校级期中）为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足，点和点是对应顶点，若，，则．一十．全等三角形的判定（共2小题）18．（2023秋•永泰县期中）如图，已知，当添加条件时，可由“角边角”判定．19．（2022秋•交城县期中）如图，在四边形中，．在上求作一点使△△．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）一十一．直角三角形全等的判定（共2小题）20．（2023秋•中山区期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件：．21．（2021秋•镇平县期中）如图，，，于，于，且．求证：．一十二．全等三角形的判定与性质（共2小题）22．（2023秋•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则等于A．8 B．9 C．10 D．1123．（2023秋•沙市区期中）如图，平面直角坐标系中有点和点，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，则点的坐标为．一十三．全等三角形的应用（共2小题）24．（2023秋•青秀区校级期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点．只要量出的长度．就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短25．（2023秋•武鸣区期中）如图，池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计测量、之间距离的方案．小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达、的点，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可．小红的方案如图②：先确定直线，过点作的垂线，在上选取一个可以直接到达点的点，连接，在线段的延长线上找一点，使，测的长即可．你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．一十四．角平分线的性质（共2小题）26．（2023春•巴州区期中）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为．27．（2024春•平南县期中）如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．（1）求证：；（2）试判断与，之间存在的数量关系．并说明理由．一十五．线段垂直平分线的性质（共2小题）28．（2022秋•阳信县期中）如图，在△中，，，，的垂直平分线交于点，连接，则△的周长是A．7 B．8 C．9 D．1029．（2024春•丰顺县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于．（1）求的长；（2）若，并且，求证：．一十六．等腰三角形的性质（共2小题）30．（2024春•江阴市期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3、6，则这个三角形的周长是．31．（2023秋•宁津县期中）如图，，，，．（1）求的度数；（2）若，求证：．一十七．等腰三角形的判定（共2小题）32．（2021秋•钢城区期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．33．（2023春•沈北新区期中）如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形．一十八．等腰三角形的判定与性质（共2小题）34．（2022秋•邯山区校级期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为A．7 B．8 C．9 D．1035．（2024春•碑林区校级期中）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形．一十九．等边三角形的性质（共2小题）36．（2024春•武侯区校级期中）等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是度．37．（2023秋•龙南市期中）如图，在等边三角形中，点、、三点在同一条直线上，且，．判断是什么形状，并说明理由．二十．等边三角形的判定（共2小题）38．（2023秋•南岗区校级期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④39．（2022秋•明水县校级期中）如果，，为三角形的三边，且，则这个三角形是．二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题）40．（2023秋•辉县市期中）如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，则下列结论正确的有①；②；③是等边三角形；④若，则．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二十二．直角三角形的性质（共2小题）41．（2023秋•蒙城县期中）如图，已知于点，于点，，则的度数是A． B． C． D．42．（2023秋•从江县校级期中）在中，，若，则的度数为．二十三．含30度角的直角三角形（共2小题）43．（2024春•碑林区校级期中）如图，在中，，，．则下列等式成立的是A． B． C． D．44．（2023秋•长沙期中）如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，．（1）求的度数；（2）若，求的长．二十四．多边形（共2小题）45．（2022秋•夏津县期中）如图，五边形是正五边形，则为A． B． C． D．46．（2021秋•新城区校级期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是．二十五．多边形内角与外角（共2小题）47．（2024春•西湖区校级期中）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是A．6 B．7 C．8 D．948．（2024春•济南期中）如图，正五边形和正六边形的边、在直线上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在的同侧，则的大小是度．二十六．作图—基本作图（共2小题）49．（2023秋•渝北区期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是A． B． C． D．50．（2023秋•二道区校级期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为．二十七．轴对称的性质（共2小题）51．（2023秋•海兴县期中）如图，点为内部一点，且，、分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为A．4 B．6 C．8 D．1052．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为点，．若，则．二十八．轴对称图形（共2小题）53．（2023秋•朔州期中）如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有个．54．（2023秋•长岭县期中）如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，求的度数．二十九．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）55．（2023秋•科尔沁区期中）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么．56．（2023秋•南海区校级期中）如图：①写出、、三点的坐标．②若△各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的△与原△有怎样的位置关系．三十．坐标与图形变化-对称（共2小题）57．（2023秋•锦江区校级期中）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是A． B． C． D．58．（2023秋•岳麓区校级期中）如图，在平面直角坐标系中．对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2023次变换后所得的点坐标是．三十一．作图-轴对称变换（共2小题）59．（2023秋•海淀区校级期中）如图，，点为内一点，分别作点关于直线，的对称点，，连接，，，，，．则（1）的度数是；（2）的度数是．60．（2022秋•惠东县期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出向下平移4个单位的三角形△；（2）画出关于轴对称的三角形△；（3）求的面积．期中真题必刷常考60题（31个考点专练）一．三角形（共2小题）1．（2022秋•安次区校级期中）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是A． B． C． D．【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：．【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．2．（2022秋•宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，并依次连接成三角形；（2）计算出的周长．【分析】（1）根据点的坐标确定点在坐标系中的位置；（2）求出边长即可求解．【解答】解：（1）如图所示，就是所求作的三角形；（2）由图形可知，，，，的周长为16．【点评】本题主要考查点的坐标及平面直角坐标系中图形周长的求法，确定图中三角形的边长是解题的关键．二．三角形的角平分线、中线和高（共2小题）3．（2021春•高邮市期中）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的概念判断．【解答】解：边上的高就是过作垂线垂直交的延长线于点，因此只有符合条件，故选：．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．4．（2024春•肇源县期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长．【分析】根据中线的定义知．结合三角形周长公式知；又．易求的长度．【解答】解：是边上的中线，为的中点，．的周长的周长．．又，．即的长度是．【点评】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出，是解题的关键．三．三角形的稳定性（共2小题）5．（2023秋•祁阳县期中）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是A． B． C． D．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【解答】解：儿童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故符合题意；、、不是三角形，故选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．6．（2023秋•滨城区期中）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性．【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【解答】解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定．【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是能够了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大．四．三角形的重心（共1小题）7．（2020秋•巴东县期中）三角形三条中线的交点叫做三角形的A．内心 B．外心 C．中心 D．重心【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选：．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．五．三角形三边关系（共2小题）8．（2023秋•新洲区期中）在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为，，，的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是A． B． C． D．【分析】根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可得．【解答】解：当三角形三边长分别为：，，时，，不能构成三角形，所摆成的三角形的周长不可能是，故选：．【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．9．（2023秋•灵宝市期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多1，与的和为11．（1）求、的长；（2）求边的取值范围．【分析】（1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．【解答】解：（1）是边上的中线，，的周长的周长，即①，又②，①②得．，解得，②①得，，解得，和的长分别为：，；（2），，．【点评】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．六．三角形内角和定理（共2小题）10．（2024春•岳阳县期中）中，，，则．【分析】直接根据三角形的内角和是即可得出结论．【解答】解：，，．故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的内角和，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．11．（2023春•民权县期中）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，．（1）求证：；（2）若是的平分线，，求的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得，由可得，即可证明；（2）由（1）可知，再由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角性质即可求出．【解答】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，，是的平分线，，，．【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．七．三角形的外角性质（共2小题）12．（2023秋•松滋市期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据三角板的性质得出，，再利用外角的性质计算即可．【解答】解：由题意可得：，，，故选：．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．13．（2024春•武进区期中）如图，已知，，，则的度数为．【分析】延长交于，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：延长交于，是的外角，，，，则，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．八．全等图形（共2小题）14．（2023秋•长沙期中）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是A． B． C． D．【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后利用证明，从而可得，再利用等量代换可得，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：，，，，在和中，，，，，故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为．【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：如图，在与中，，，，，，故答案为：．【点评】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．九．全等三角形的性质（共2小题）16．（2023秋•虞城县校级期中）如图，△△，，，则A．2 B．8 C．5 D．3【分析】根据全等三角形的对应边相等可得，再求出，那么，代入数值计算即可得解．【解答】解：△△，，，即，，，，．故选：．【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出是解题的关键．17．（2023秋•永昌县校级期中）为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足，点和点是对应顶点，若，，则5．【分析】由，得到，即可求出的长．【解答】解：，，，．故答案为：5．【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．一十．全等三角形的判定（共2小题）18．（2023秋•永泰县期中）如图，已知，当添加条件时，可由“角边角”判定．【分析】用“角边角”证明两个三角形全等，已知条件给出一组边相等和一组对应角相等，进而添加一组角相等即可．【解答】解：添加，在与中，，，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键．19．（2022秋•交城县期中）如图，在四边形中，．在上求作一点使△△．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】作的平分线得，结合、可得△△．【解答】解：如图所示，点即为所求．【点评】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的尺规作图．一十一．直角三角形全等的判定（共2小题）20．（2023秋•中山区期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件：．【分析】由，，即可推出，于是得到答案．【解答】证明：在和中，，．故答案为：．【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．21．（2021秋•镇平县期中）如图，，，于，于，且．求证：．【分析】由题中，以及和所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明．【解答】证明：，，，，，．．在和中，．，．，．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．得到是正确解答本题的关键．一十二．全等三角形的判定与性质（共2小题）22．（2023秋•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则等于A．8 B．9 C．10 D．11【分析】过作轴于，轴于，证△△，推出，即可解决问题．【解答】解：过作轴于，轴于，则，，，，，，，，在△和△中，，△△，，．故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．23．（2023秋•沙市区期中）如图，平面直角坐标系中有点和点，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，则点的坐标为．【分析】由“”可证，可得，，即可求解．【解答】解：作轴于．，，，，，，，，，在和中，，，，，即，，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．一十三．全等三角形的应用（共2小题）24．（2023秋•青秀区校级期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点．只要量出的长度．就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短【分析】根据点为、的中点得出，，根据对顶角相等得到，从而证得和△全等，于是有，问题得证．【解答】解：点为、的中点，，，由对顶角相等得，在和△中，，△，，即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，故选：．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．25．（2023秋•武鸣区期中）如图，池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计测量、之间距离的方案．小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达、的点，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可．小红的方案如图②：先确定直线，过点作的垂线，在上选取一个可以直接到达点的点，连接，在线段的延长线上找一点，使，测的长即可．你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．【分析】分别证明，，即可解决问题．【解答】解：以上两种方案可以，理由如下：甲同学方案：在和中，，，；乙同学方案：在和中，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，解决本题的关键是得到和．一十四．角平分线的性质（共2小题）26．（2023春•巴州区期中）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为4．【分析】由角平分线的性质可知，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：平分，，，，，，．故答案为：4．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．27．（2024春•平南县期中）如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．（1）求证：；（2）试判断与，之间存在的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；（2）证明，根据全等三角形的性质证明．【解答】（1）证明：是的平分线，，，，在和中，，，；（2）解：，理由如下：在和中，，，，．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．一十五．线段垂直平分线的性质（共2小题）28．（2022秋•阳信县期中）如图，在△中，，，，的垂直平分线交于点，连接，则△的周长是A．7 B．8 C．9 D．10【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．【解答】解：的垂直平分线交于点，，，，，△的周长为：．故选：．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出是解题关键．29．（2024春•丰顺县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于．（1）求的长；（2）若，并且，求证：．【分析】（1）由的垂直平分线交于点，交于点，可得，又由的周长等于，可得，继而求得答案；（2）由，并且，易求得，即可证得．【解答】（1）解：是的垂直平分线，，，的周长等于，，．（2）证明：，，，，，，，，．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．一十六．等腰三角形的性质（共2小题）30．（2024春•江阴市期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3、6，则这个三角形的周长是15．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若3为腰长，6为底边长，由于，则三角形不存在；（2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．31．（2023秋•宁津县期中）如图，，，，．（1）求的度数；（2）若，求证：．【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解；（2）根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解（1），，，，；（2）证明：在与中，，，．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的对应角，对应边相等是解题关键．一十七．等腰三角形的判定（共2小题）32．（2021秋•钢城区期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是4秒．【分析】设运动的时间为，则，当是等腰三角形时，，则，解得即可．【解答】解：设运动的时间为，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，当是等腰三角形时，，，即，解得．故答案为：4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．33．（2023春•沈北新区期中）如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形．【分析】根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，等量代换得，根据等角对等边可得结论．【解答】证明：是的角平分线，，，，，，是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．一十八．等腰三角形的判定与性质（共2小题）34．（2022秋•邯山区校级期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化，求出即可．【解答】解：为的平分线，为的平分线，，，，，，，，，，，，，周长为，故选：．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．35．（2024春•碑林区校级期中）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形．【分析】根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案．【解答】证明：在中，，，，，，，又，，，是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．一十九．等边三角形的性质（共2小题）36．（2024春•武侯区校级期中）等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是60度．【分析】根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案．【解答】解：如图，为等边三角形，、分别为、边上的中线，交于点，为等边三角形，、分别为、边上的中线，，平分，，，，故答案为：60．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是解题的关键．37．（2023秋•龙南市期中）如图，在等边三角形中，点、、三点在同一条直线上，且，．判断是什么形状，并说明理由．【分析】利用证明得到，再证明即可证明是等边三角形．【解答】解：是等边三角形，理由如下：是等边三角形，，，在与中，，，，，即，是等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．二十．等边三角形的判定（共2小题）38．（2023秋•南岗区校级期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【分析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．【解答】解：①有两个角等于的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形；故选：．【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．39．（2022秋•明水县校级期中）如果，，为三角形的三边，且，则这个三角形是等边三角形．【分析】由偶次方的非负性质和绝对值的非负性质得出，，，得出，即可得出结论．【解答】解：，，，，，，，，这个三角形是等边三角形；故答案为：等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质和绝对值的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方和绝对值的非负性质得出是解决问题的关键．二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题）40．（2023秋•辉县市期中）如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，则下列结论正确的有①；②；③是等边三角形；④若，则．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【分析】由在中，，，易证得，继而可得①正确；由①可证得，即可得②正确；易得③是等腰三角形，但不能证得是等边三角形；由若，易求得，则可证得，继而证得．【解答】解：在中，，，，，，，，；故①正确；，，；故②正确；，，但不能判定是等边三角形；故③错误；若，，是等边三角形，，，，，．故④正确．故选：．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得是的中点是解此题的关键．二十二．直角三角形的性质（共2小题）41．（2023秋•蒙城县期中）如图，已知于点，于点，，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据垂直的定义和直角三角形的性质解答即可．【解答】街：，，，，，，故选：．【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．42．（2023秋•从江县校级期中）在中，，若，则的度数为．【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：在中，，，的度数为，故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键．二十三．含30度角的直角三角形（共2小题）43．（2024春•碑林区校级期中）如图，在中，，，．则下列等式成立的是A． B． C． D．【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出，，，．【解答】解：，，，，，，，不符合要求；，不符合要求；，符合要求；，，不符合要求；故选：．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，应用时，要注意找准的角所对的直角边，点明斜边，是解题的关键．44．（2023秋•长沙期中）如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，．（1）求的度数；（2）若，求的长．【分析】（1）是边上的垂直平分线推，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；（2）利用角平分线的性质求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）是边上的垂直平分线，，．平分，，，；（2）平分，，，，垂直平分，．在中，．．．【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．二十四．多边形（共2小题）45．（2022秋•夏津县期中）如图，五边形是正五边形，则为A． B． C． D．【分析】根据正多边形的每个内角相等以及多边形的内角和公式可得，再根据正多边形的各边相等可得是等腰三角形，据此可得的度数，再根据角的和差关系求解即可．【解答】解：因为五边形是正五边形，所以，，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查了多边形，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．46．（2021秋•新城区校级期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是18边形或17边形或19边形．【分析】一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形．故答案为：18边形或17边形或19边形．【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．二十五．多边形内角与外角（共2小题）47．（2024春•西湖区校级期中）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是，根据题意得：，解得．故选：．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．48．（2024春•济南期中）如图，正五边形和正六边形的边、在直线上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在的同侧，则的大小是48度．【分析】解法一：根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得和的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；解法二，根据多边形的外角和是，分别求出和的度数，再根据三角形的内角和是，从而得出的度数．【解答】解：五边形是正五边形，每个内角度数为．，，同理可得正六边形每个内角度数为．，，．解法二：五边形是正五边形，，六边形是正六边形，，；故答案为：48．【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和度数是解题的关键．二十六．作图—基本作图（共2小题）49．（2023秋•渝北区期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是A． B． C． D．【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断，根据角平分线的性质可判断，证得可判定，由于不是的垂直平分线，不能证明．【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线，，是的平分线，，，，，在和中，，，，不是的垂直平分线，故不能证明，综上所述：，，不符合题意，符合题意，故选：．【点评】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线．50．（2023秋•二道区校级期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为．【分析】由尺规作图的作法得到，代入数据即可得到答案．【解答】解：由尺规作图可知，，，，故答案为：．【点评】本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．二十七．轴对称的性质（共2小题）51．（2023秋•海兴县期中）如图，点为内部一点，且，、分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为A．4 B．6 C．8 D．10【分析】连接，，，，由轴对称的性质推出，，，，又，得到、、共线，于是得出．【解答】解：连接，，，，点和点关于射线对称，射线垂直平分，，，同理：，，，，，，、、共线，，，．故选：．【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，关键是由轴对称的性质得到；、、共线．52．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为点，．若，则72．【分析】设，则，，由折叠的性质得，根据平角为列方程即可得到的值，进而求出，最后根据平行线的性质即可得出．【解答】解：设，则，，由折叠的性质得：，，即，，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查平行线的性质，翻折变换，解题关键是熟练应用平行线的性质进行求解．二十八．轴对称图形（共2小题）53．（2023秋•朔州期中）如图，方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有3个．【分析】利用轴对称图形的定义作出轴对称图形后即可确定轴对称图形的个数．【解答】解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为：故答案为：3．【点评】考查了轴对称图形的知识，解题的关键是了解轴对称图形的定义，难度不大．5