2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 基于信息论的密码学技术

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——基于信息论的密码学技术考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共30分）1.下列哪个量是衡量信息不确定性的度量？A.自信息B.互信息C.信息熵D.条件熵2.在信息论中，信源编码的目的是什么？A.提高传输速率B.提高传输可靠性C.减少信息量D.增加信息冗余3.密码学中的“一次性密码本”体制属于哪种密码体制？A.对称密码体制B.非对称密码体制C.网络密码体制D.混合密码体制4.下列哪个密码算法属于非对称密码算法？A.DESB.AESC.RSAD.IDEA5.信息论安全性的定义是什么？A.密码体制能够抵抗所有已知攻击B.密码体制能够抵抗所有可能的攻击C.密码体制能够抵抗计算上不可行的攻击D.密码体制能够抵抗统计上不可区分的攻击6.Diffie-Hellman密钥交换协议的安全性基于什么数学难题？A.大整数分解难题B.整数分解难题C.素数判定难题D.离散对数难题7.数字签名的目的是什么？A.保证信息传输的保密性B.保证信息传输的完整性C.保证信息传输的不可否认性D.保证信息传输的可验证性8.互信息可以用来衡量什么？A.信息源的平均信息量B.信道容量的上限C.两个随机变量之间的相关程度D.信息传输的效率9.哪种信息论安全的加密方案能够保证密文只包含等长的随机序列？A.基于熵的加密方案B.基于互信息的加密方案C.置换密码D.替换密码10.隐写术的目的是什么？A.加密信息B.隐藏信息C.压缩信息D.签名信息二、填空题（每题3分，共30分）1.衡量一个随机变量平均信息量的量是________。2.数据压缩可以分为________编码和________编码。3.密码体制的安全性可以分为________安全性和________安全性。4.RSA密码体制的安全性基于________难题。5.数字签名标准（DSS）中使用的哈希函数是________。6.信息隐藏技术也称为________。7.信道容量是信道能够传输的________信息率的极限。8.熵是衡量信息源________的量。9.基于互信息的加密方案利用________来保证密文的安全性。10.一次性的密码本加密体制的安全性在于密钥________。三、计算题（每题10分，共30分）1.设有一个信息源，它emitted的符号集合为{A,B,C,D}，每个符号出现的概率分别为P(A)=1/2,P(B)=1/4,P(C)=1/8,P(D)=1/8。求该信息源的信息熵。2.设有一个二元对称信道，错误概率为p=0.1。求该信道的容量。3.设有一个基于RSA的加密方案，公钥为(n,e)=(55,3)，其中n=5*11。求消息M=13的密文C。四、证明题（每题15分，共30分）1.证明：对于任意两个随机变量X和Y，互信息的值非负，即I(X;Y)>=0。2.证明：如果密码体制E是信息论安全的，那么对于任何攻击者，都无法从密文C推断出明文M。五、综合应用题（20分）假设你是一名密码学工程师，需要设计一个基于信息论的加密方案，用于保护某公司内部敏感信息的传输。请简要描述你的设计方案，包括以下内容：1.你将使用哪些信息论的概念或原理？2.你的方案如何保证密文的安全性？3.你的方案有哪些优点和缺点？试卷答案一、选择题1.C2.C3.A4.C5.D6.D7.C8.C9.A10.B二、填空题1.信息熵2.无失真，有失真3.统计，计算4.大整数分解5.SHA-16.隐写术7.最大8.无序性9.互信息10.不可预测三、计算题1.H(X)=-[1/2*log2(1/2)+1/4*log2(1/4)+2*(1/8*log2(1/8))]=-[1/2*(-1)+1/4*(-2)+1/4*(-3)]=7/4bits/symbol2.C=1-p=1-0.1=0.9bits/symbol3.C=M^emodn=13^3mod55=2197mod55=32四、证明题1.证明：I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(X)-H(X|Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)>=0.因为H(X|Y)<=H(X),所以I(X;Y)>=0.2.证明：假设存在一个攻击者可以破译信息论安全的密码体制E。根据信息论安全性的定义，攻击者无法从密文C推断出任何关于明文M的信息，这意味着攻击者无法区分任何两个可能的明文M1和M2。因此，攻击者无法从密文C推断出明文M，密码体制E是信息论安全的。五、综合应用题设计方案：1.我将使用信息熵和互信息的概念。信息熵可以用来衡量信息源的不确定性，互信息可以用来衡量两个变量之间的相关程度。2.我的方案将利用高熵的随机密钥流与明文进行混淆，使得密文与明文之间以及密文与密钥之间没有明显的统计相关性，从而保证密文的安全性。同时，我会采用基于困难数学问题的密码体制，例如RSA，来保证即使