2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 图论及其在网络分析中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——图论及其在网络分析中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设无向图G=(V,E)，|V|=6,|E|=10。则G中至少含有一个长度大于等于4的圈。()A.正确B.错误2.以下哪个图一定是欧拉图？()A.任何含有奇数个顶点的连通图B.任何无向连通图C.任何无向连通且每个顶点度数为偶数的图D.任何含有偶数个顶点的连通图3.在一棵树T中，如果有n个顶点（n≥2），则T中恰好含有n-1条边。()A.正确B.错误4.使用Prim算法构造最小生成树，每次选择连接生成树与生成树外顶点度数最小的边。()A.正确B.错误5.在有向图中，如果存在一条经过所有顶点至少一次的路径，则该路径称为该有向图的哈密顿路径。()A.正确B.错误二、填空题（每空3分，共18分。请将答案填在题后的横线上）6.连通图G中，点k的最小点割集是指一个点集S，使得G-S不连通且G-S'连通。k的_______k(G)。7.若一个有向图存在欧拉路径，则该有向图是_______的，且具有_______个奇度顶点。8.使用Dijkstra算法求单源最短路径时，通常采用_______（数据结构）来存储待处理顶点及其到源点的估计距离。9.完全图K_n（n≥1）中，任意两个顶点之间都存在一条边，其邻接矩阵是一个_______矩阵。10.在社交网络分析中，度中心性衡量的是节点在_______中的紧密程度。11.关键路径法（CPM）常用于项目管理，关键路径是指项目中_______的路径。三、计算题（每题10分，共30分）12.给定图G的邻接矩阵如下（0表示无边，1表示有边）：```ABCDA[0110]B[1011]C[1101]D[0110]```（1）求图G的度数序列，并判断G是否是简单图、连通图？（2）若使用BFS算法从顶点A开始遍历图G，请写出遍历序列。13.已知有向图G如下（用箭头表示有向边）：A→BA→CB→DC→DC→A（1）求从顶点A到顶点D的所有可能路径及其长度。（2）该图是否存在哈密顿路径？请说明理由。14.设有网络N如下图所示（括号内为容量c(u,v)）：A---10--->B^|58|vC---8------>D（1）用Ford-Fulkerson算法求从A到D的最大流，并标出增广路径和残量网络（仅要求展示计算过程，不必每次都画图）。（2）指出网络N的最小割。四、证明题（每题12分，共24分）15.证明：任何无向连通图至少包含一个无环子图，且该子图是连通的。16.设G=(V,E)是一个无向图，若对于V中的任意两个不同顶点u,v，都有uv∈E或{u,v}是G中某个圈的两个端点。证明：G是连通的。五、应用分析题（共13分）17.某城市计划建设一个高速公路网络连接五个主要区域：A（市中心）、B（工业区）、C（住宅区）、D（商业区）、E（科技园）。初步规划了若干条可能的连接路线，并估算了每条路线的建设成本（单位：亿元）。部分路线及其成本如下表所示（省略了部分路线，用“-”表示该路线暂未规划或成本过高未考虑）：|路线|起点|终点|成本||------|----|----|----||L1|A|B|3||L2|A|C|4||L3|B|C|2||L4|B|D|5||L5|C|D|1||L6|C|E|6||L7|D|E|3||L8|A|D|6||L9|B|E|7|（1）请用图论模型表示该高速公路网络规划问题，并说明图中各顶点和边的含义。（2）如果城市希望以最低的总建设成本连接所有五个区域，请设计一个最小生成树方案，并给出具体路线及其总成本。简要说明你的设计思路。（3）如果在实际建设中，路线L1（A-B）和路线L5（C-D）因为地理障碍无法同时建设，这对最小生成树方案有何影响？请分析并给出新的建设建议（若需要）。---试卷答案一、选择题1.B2.C3.A4.B5.B二、填空题6.点割数7.强连通，两8.优先队列9.对角线为零的对称10.联系网络11.最长三、计算题12.（1）度数序列：A(2),B(3),C(3),D(2)。是简单图，是连通图。（解析：简单图指无环无重边，连通图指任意两点间存在路径。通过邻接矩阵可见无环无重边，通过遍历或矩阵判断可达性可知连通）。（2）BFS遍历序列：A,B,C,D。（解析：BFS从A开始，先访问A，然后访问A的未访问邻接点B、C，再访问B、C的未访问邻接点D，最后访问D的未访问邻接点无，结束）。13.（1）路径：A-B-D(长度2),A-C-D(长度2),A-C-A-D(长度3)。不存在哈密顿路径。（解析：哈密顿路径需经过所有顶点且长度为n-1。检查所有路径发现未覆盖顶点E，且路径长度均不为4。进一步分析发现图不连通（从D无法到达E或C），故无哈密顿路径）。（2）理由：图不连通（顶点D与顶点E不连通）。（解析：哈密顿路径要求图是连通的，此图中D和E分属两个连通分量）。14.（1）Ford-Fulkerson过程：-初始流f=0，残量网络Cf=C。-第一步：找增广路径A-C-D，路径容量min(5,8)=5。更新f=f+5=5，调整残量网络（如省略详细图示描述）。-第二步：找增广路径A-B-D，路径容量min(10-5,8)=3。更新f=f+3=8，调整残量网络。-最终最大流f=8。（解析：Ford-Fulkerson通过不断寻找增广路径并增广，直到找不到增广路径为止。核心是选择增广路径并计算其容量，更新流量和残量网络。此处找到两条增广路径，逐步增加流量至无法再增）。-残量网络（简述）：A-C有剩余容量2，A-B有剩余容量7，B-D有剩余容量5，C-D有剩余容量3。（解析：根据增广过程和容量更新，计算各边的剩余容量）。-最大流为8。（解析：达到无法找到增广路径时，当前流量即为最大流）。-（2）最小割：{B,D}。（解析：最小割是分离源A和汇D的割集，其容量等于最大流。观察残余网络，割(B,D)将A与D分隔，其容量为B-D的容量5，等于最终最大流8，故为最小割）。15.证明：设G=(V,E)连通。任取一个顶点v₀∈V，若v₀不在任何环上，则v₀是G的一个叶子点。移除v₀及其关联边，G'仍连通（否则v₀是割点，与G连通矛盾）。重复此过程，最终得到无环子图T。T连通（每次移除非环边，若移除导致不连通，则移除点必为割点，与G连通矛盾）。故G包含一个无环连通子图。（解析：采用反证法或贪心策略。反证法假设不存在无环子图，通过移除叶子点或割点最终矛盾。贪心策略直接构造，每次选连接生成树与外部度最小的边，保证无环且不断扩展）。16.证明：反证法。假设G不连通，存在不连通的顶点u₀,v₀∈V。根据连通性定义，u₀与v₀无路径P_uv0。根据条件，u₀,v₀不邻接（否则矛盾），且{u₀,v₀}不包含在任何环上（否则矛盾）。这与“对于任意不同顶点，若不邻接则形成环”矛盾。故G连通。（解析：利用反证法，假设不连通，根据连通图性质，u,v不邻接且不形成环。但题设条件要求不邻接顶点形成环，产生矛盾，说明假设错误，G必连通）。四、应用分析题17.（1）模型：用顶点表示五个区域A,B,C,D,E，用边表示规划的路线，边的权重为该路线的建设成本。这是一个无向连通加权图的最小生成树问题。（解析：应用图论模型需明确顶点、边及其属性。此处区域为顶点，路线为边，成本为权重，目标是连接所有顶点且总成本最低，符合最小生成树定义）。（2）最小生成树方案：-路线L1(A-B,3),L3(B-C,2),L5(C-D,1),L7(D-E,3)。总成本=3+2+1+3=9亿元。（解析：使用Prim或Kruskal算法。例如Prim从A开始，选A-B(3)，然后选B-C(2)，再选C-D(1)，最后选D-E(3)，总成本9。检查所有边，此组合满足连接所有顶点且无环且总权最小）。（3）影响与建议：原最小生成树包含L1和L5，无法同时建设。需移除L1或L5，重新构造最小生成树。-移除L1，重新构造：L2(A-C,4),L3(B-C,2),L5(C-D,1),L7(D-E,3)。总成本=4+2+1+3=10亿元。（解析：删除无法建设的边L1后，重新应用最小生成树算法。此时最优方案为A-C(4),B-C(2),C-D(1),D-E(3)，总成本10）。-移除L5，重新构造：L1(A-B,3),L2(A-C,4),L3(B-C,2),L8(A-D,6)。总成本=3+4+2+6=15亿