2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学经济学中的最优决策

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学经济学中的最优决策考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设消费者的效用函数为U(x,y)=xαyβ，其中x和y分别是两种商品的数量，α,β>0且α+β=1。消费者的收入为M，两种商品的价格分别为p_x和p_y(p_x,p_y>0)。(1)写出消费者的预算约束方程。(2)运用拉格朗日乘数法，推导消费者实现效用最大化时，商品x和y的最优购买量x*和y*分别满足的方程（即拉格朗日函数的一阶条件）。二、某垄断厂商面临的需求曲线为P=100-2Q，其中P是价格，Q是产量。该厂商的成本函数为C(Q)=10Q+Q^2。(1)求该垄断厂商的利润最大化产量和价格。(2)计算该垄断厂商的利润以及其产生的无谓损失（假设存在一个竞争性市场，价格为边际成本）。三、考虑一个包含两个参与者的静态博弈，参与人1有策略A和B，参与人2有策略X和Y。参与人1的支付矩阵如下：U_1(X,A)=3,U_1(X,B)=1U_1(Y,A)=0,U_1(Y,B)=2参与人2的支付矩阵如下：U_2(X,A)=1,U_2(X,B)=0U_2(Y,A)=0,U_2(Y,B)=1(1)找出该博弈的严格纳什均衡（如果存在）。(2)如果该博弈是零和博弈，支付矩阵应如何修改？请给出修改后的支付矩阵（只需给出参与人1的支付矩阵即可，并找出新的严格纳什均衡）。四、假设一个生产者使用两种投入L和K生产一种产品，生产函数为Q=min{3L,2K}。(1)该生产函数属于哪种类型（固定比例、柯布-道格拉斯、CES等）？请说明理由。(2)如果投入L的价格为w_L=4，投入K的价格为w_K=3，产品售价为p=10，求该生产者的成本最小化投入组合(L*,K*)以及最小成本。(3)如果生产者希望生产Q=12的产品，最低成本是多少？需要投入多少L和K？五、证明：对于任意常数c>0，函数f(x)=x^2+c在其定义域内存在全局最小值，并求出该最小值及其对应的自变量值。六、设厂商的成本函数为C(Q)=Q^3-6Q^2+9Q+5。(1)求厂商的边际成本函数MC(Q)和平均成本函数AC(Q)。(2)求边际成本函数的拐点，并解释其经济学含义。(3)当产量Q为何值时，厂商的边际成本等于平均成本？此时平均成本是递增还是递减？七、假设在一个市场中，存在许多买者和卖者，所有商品都是同质的，信息是完全的，买者和卖者都可以自由进入和退出市场。需求函数为Q_d=150-10P，供给函数为Q_s=-30+20P，其中Q_d和Q_s分别是市场需求量和供给量，P是市场价格。(1)求该市场的均衡价格和均衡数量。(2)如果由于技术进步，供给函数变为Q_s'=-10+20P，求新的市场均衡价格和均衡数量。(3)比较新旧均衡，分析技术进步对市场均衡价格和均衡数量的影响。八、考虑如下的非线性规划问题：Maximizef(x,y)=xySubjectto:x^2+y^2=1(1)使用拉格朗日乘数法求解该问题。(2)分析该问题的解，并说明它属于哪种类型的优化问题（例如，无约束、约束、线性、非线性等）。试卷答案一、(1)预算约束方程：p_x*x+p_y*y=M。(2)拉格朗日函数：L=xαyβ+λ(M-p_x*x-p_y*y)。最优条件为一阶导数为零：dL/dx=αx^(α-1)y^β-λp_x=0dL/dy=βx^αy^(β-1)-λp_y=0dL/dλ=M-p_x*x-p_y*y=0。二、(1)利润函数Π=P*Q-C(Q)=(100-2Q)Q-(10Q+Q^2)=90Q-3Q^2。求导数dΠ/dQ=90-6Q，令其为零得Q*=15。代入需求曲线得P*=100-2*15=70。(2)垄断利润Π=70*15-(10*15+15^2)=1050-325=725。竞争性价格P_c=MC=dC/dQ=10+2Q，令P_c=70，得Q_c=30/2=15。竞争性价格P_c=10+2*15=40。无谓损失=0.5*(P_m-P_c)*(Q_c-Q_m)=0.5*(70-40)*(15-15)=0。此处Q_m=Q*=15，均衡数量相同，无谓损失为零，说明原垄断均衡恰好在竞争均衡处达到。若非如此，则无谓损失=0.5*(P_m-P_c)*|Q_c-Q_m|。三、(1)参与人1：策略A：若对手选X，U_1=3；若对手选Y，U_1=0。选X。策略B：若对手选X，U_1=1；若对手选Y，U_1=2。选Y。参与人2：策略X：若对手选A，U_2=1；若对手选B，U_2=0。选A。策略Y：若对手选A，U_2=0；若对手选B，U_2=1。选B。不存在严格纳什均衡。参与人1选择A，参与人2选择X是一个混合策略纳什均衡。设参与人1选择A的概率为p，选择B的概率为1-p；参与人2选择X的概率为q，选择Y的概率为1-q。对于参与人2，X对Y优，所以U_2(A)=p,U_2(B)=1-p=>q=1。对于参与人1，A对B优，所以U_1(X)=3q,U_1(Y)=0q=>p=1。混合策略纳什均衡为(A,X)。(2)零和博弈，设参与人2的支付为-U_1。修改后参与人1的矩阵：U_1'(X,A)=-1,U_1'(X,B)=0U_1'(Y,A)=0,U_1'(Y,B)=-1严格纳什均衡为(B,Y)。四、(1)生产函数Q=min{3L,2K}表示L和K必须按3:2的固定比例投入才能生产出Q，否则其中一种投入会剩余。属于固定比例生产函数。(2)为生产任意产量Q，需要L=Q/3且K=Q/2。成本最小化即投入最小化。C=w_L*L+w_K*K=4*(Q/3)+3*(Q/2)=8Q/6+9Q/6=17Q/6。最小成本为17Q/6。最优投入组合L*=Q/3,K*=Q/2。(3)最低成本为C(Q=12)=17*12/6=34。需要投入L=12/3=4，K=12/2=6。五、f'(x)=2x。令f'(x)=0得x=0。f''(x)=2>0，说明x=0是全局最小值点。全局最小值为f(0)=0^2+c=c。六、(1)MC(Q)=dC/dQ=3Q^2-12Q+9。AC(Q)=C(Q)/Q=Q^2-6Q+9+5/Q=Q^2-6Q+9+5/Q。(2)MC'(Q)=d(MC)/dQ=6Q-12。令MC'(Q)=0得Q=2。当Q<2时MC'<0，MC递减；当Q>2时MC'>0，MC递增。拐点是边际成本函数的凹凸性转变点，即边际成本增长速度变化的点。(3)令MC(Q)=AC(Q)=>3Q^2-12Q+9=Q^2-6Q+9+5/Q。=>2Q^3-6Q^2-5=0。=>Q^3-3Q^2-5/2=0。此方程无简单解析解，通常需数值方法。设此方程的解为Q_0。此时AC(Q_0)=2Q_0^2-6Q_0+9+5/(2Q_0)。AC'(Q)=4Q-6-5/(2Q^2)。令AC'(Q)=0=>8Q^3-12Q^2-5=0。由于Q_0是2Q^3-6Q^2-5=0的解，且AC''(Q)=4+25/(2Q^3)>0，所以AC在Q_0处递增，即平均成本在边际成本等于平均成本处是递增的。七、(1)均衡条件Q_d=Q_s=>150-10P=-30+20P=>80=30P=>P*=80/30=8/3。代入需求或供给曲线得Q*=150-10*(8/3)=150-80/3=290/3。(2)新均衡Q_d=Q_s'=>150-10P=-10+20P=>160=30P=>P'_*=160/30=16/3。代入需求或新供给曲线得Q'_*=150-10*(16/3)=150-160/3=170/3。(3)技术进步使供给曲线右移（截距变大，斜率不变），导致均衡价格下降（P'_*<P*），均衡数量增加（Q'_*>Q*）。八、(1)拉格朗日函数：L=xy+λ(1-x^2-y^2)。最优条件：dL/dx=y-2λx=0dL/dy=x-2λy=0dL/dλ=1-x^2-y^2=0由前两式得y/x=2λ=>x/y=1/(2λ)。代入第一式得y-2λx=y-2x/y=0=>y^2=2x=>x=y^2/2。代入约束条件x^2+y^2=1：(y^2/2)^2+y^2=1=>y^4/4+y^2-1=0=>t^2+4t-4=0(令t=y^2)=>t=(-4±√(16+16))/2=-2±2√2。舍去t=-2-2√2(非正)。t=-2+2√2>0。y^2=-2+2√2。y=±√(-2+2√2)。x=y^2/