2024高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第6节空间向量的应用第3课时利用空间向量解决有关空间角的开放问题练习

第3课时利用空间向量解决有关空间角的开放问题

[A级基础巩固]

1.已知平面。内有一点以1,一1,2),平面a的一个法向量为〃=(6,-3,6),则

下列点尸中，在平面。内的是()

A.尸(2,3,3)B.A-2,0,1)

C.P(—4,-4,0)D.0(3,-3,4)

解析：逐一验证法，对于选项A,JW=(1,4,1),

所以，妒-〃=6—12+6=0,所以.冲J”,所以点尸在平面。内，同理可验证其他三个点

不在平面。内.

答案：A

2.(2024•大连市月考)在三棱柱ABC-AB6中,底面为棱长为1的正三角形，侧棱月4

_L底面/I比'，点〃在棱阳।上，且朋=1,若力〃与平面及所成的角力明则sin《的值

是()

A坐B.当

C近D近

24

解析：如图所示，建立坐标系，易求点娉,11

平面月4GC的一个法向量是〃=(1,0,0),

一近

2fZ

所以cos〈〃，AD)=~r=,=~-,即sina="~~.

V244

答案：D

3.如图所示，尸是正方体力比刀TZG。的棱制的中点.£是眼上一点，若RFLDE,

则有()

A.&E=EBB.B\E=2EB

C.RE=^EB

D.E与B重合

解析：分别以刃，DC,曲、为x,y,z轴建立空间直角坐标系（图略），设正方形的边长

为2,则〃(0,0,0),尸(0,1,0),〃(0,0,2),设£(2,2,z),〃尸=(0,1,-2),DE=

（2,2,z）,因为〃尸J_庞，所以〃尸•比'=0X2+lX2—2z=0,解得z=l,所以笈E=即

答案：A

4.如图所示，在平行六面体力以力〃中，点M,P,。分别为棱力〃，CD,比•的中点,

若平行六面体的各棱长均相等，则:

①4MoR

②A对〃B、Q\

③儿加〃平面DCCJU

④4M〃平面"PQB\.

以上说法正确的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：儿麻=41+阳仁/储+；/0.D,P=AP~\~DP=人八。AR,所以/"#〃〃/,所以4W〃。尺

乙

由线面平行的判定定理可知，月由〃平面ZTG九月由〃平面〃闻片，故①③④正确.

答案：C

5.在正方体/IMHl3G〃中，£是棱8c的中点，点尺。分别是线段力力与线段能上

的动点，当点只Q的距离最小时，异面直线月尸与必所成角的余弦值为（）

B吊

A，21

C史D-正

解析：以/I&AD,4.4所在直线方向筋y,z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边

长为2.

则4(0,0,2),〃(0,2,0),4(0,2,2),6,(2,2,0),£(2,1,0),

-►-►-A-►

设4Q/14夕，DQ=uDIX,

贝IJP(24,A,2-2A),0(0,2,2〃).

所以IPQ\=小/+(4—2)2+4C+〃-1)2=

^5(』一1+4('+〃-1)"+£与¥'

当且仅当几=看〃珞寸取等号，此时止借i0

55\Do□/

—►

又办=(-2,0,2).

所以异面直线力〃与办所成角的余弦值cos。=毛.

答案：B

-►—>—>

6.若AB=uCE,则直线48与平面板的位置关系是.

解析：因为4〃四，所以力8,CD,绥共面.则力8与平面故的位置关系是平

行或在平面内.

答案：平行或在平面内

7.已知平面a,平面尸的法向量分别为a=(l,1,2),b=(x,—2,3),若a_L£,

贝Ux=;若平面。与平面£所成锐二面角的余弦值为点，则*=.

0

解析：由aJ_£,得a_L〃

所以a•6=x—2+6=0,解得>=-4.

若平面a与平面£所成锐二面角的余弦值为迎，

I八I\a•b______x+1加

灿hlllcos3,b}I=-^=-j^—=6'

3

解得X=--

o

3

答案：一

48

8.如图所示，在三棱柱月AC'T/G中，月力」底面"C；4?=成三小，/4BC=90°，点

E,6分别是棱/仍，“遥的中点，则直线所和弦所成的角是

解析：建立如图所示的空间直角坐标系.

设/俗=仁［4=2,则6(2,0,2),E(0,1,0),H0,0,1).

因此哥一(0,-1,1),BG=Q,0,2),

所以所・BG=2.

—>—►

21

所以cosqEF,BC)=82耐弓

所以厮和阅所成的角为60。.

答案：60°

9.如图所示，在长方体力8处48G〃中，AAy=AD=[,E为Q)中点.

(1)求证：工孙

(2)在棱上是否存在点尸，使得〃尸〃平面若存在，求月尸的K；若不存在,

说明理由.

(1)证明：以/I为原点，/山、/1〃、的方向分别为2•轴，y轴，z轴的正方向建立如图所

示的空间直角坐标系力-xyz.设AB=a.

则4(0,0,0),Z?(0.1,0),

/股，1,olBKa,0,1),

ALK=(0,1,1),££=(一$1,-1)

因为5£・4〃=—£XO+1X1+(—1)X1=O,

因此8氏L/1〃，

所以笈反L力〃.

(2)解：存在满意要求的点只

假设在棱月4上存在一点2(0,0,㈤，

使得〃火〃平面8/E此时〃Q(0,-1,灰),

再设平面员"的法向量为〃=(x,y,z).

A氏=(a,0,1),熊=(£1，oj.

n•ABi=0,

即＜

—>万+尸0,

〃・丝=0,

取x=1,则尸—z=-a,

乙

所以平面笈的一个法向量为〃=(1，一*-J.

要使〃/力平面8ME只要nIDP,

ai

有解得

5乙—azo=O,2乙0=5.

所以存在点产，满意如〃平面笈丝，此时//=)

10.(2024•洵泽一中月考)四面体力比〃中，△力比是正三角形，△月或是直角三角形,

AABD=^CBD,AB=BD.

I)

E

(1)证明：平面力C9_L平面

(2)过力。的平面交戚于点反若平面把四面体力政力分成体枳相等的两部分，求二

面角6c的余弦值.

⑴证明：取〃、的中点。连接&Z0D.

因为△力比是等边三角形，所以如，〃：

△4劭与△物中，AB=BD=BCNABD=NCBD,

所以△ABMACBD,所以用9=C〃

因为△力⑦是直角三侑形，

所以月。是斜边，所以N［比'=90°.

所以D屋/1C

所以DO+BG=AR=BIT

所以/灰切=90°.

所以OBLOD.

乂D()CAC=O,所以如JL平面〃O

又OBCL平面ABC,

所以平面力以U平面ABC.

(2)解：设点〃，点占到平面力2的距离分别为瓦，加

因为平面力尾把四面体/厉⑦分成体积相等的两部分,

qSxAOi•ho

所以^-------=也=些=1

HT{

L优•haBE

所以点6是物的中点.

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取力8=2.

则0(0,0,0),J(l,0,0),。(一1,0,0),〃(0,0,1),8(0,小,0),/(),平

AD=(—1,0,1),Z£=(—1,乎,3

Jf=(-2,0,0).

m,AD=0,

设平面业况的法向量为0=（x,y,z）,则〈

、m,4?=0,

—x+z=0,

即《J31取力=（3,小,3）.

一叶¥丁+淤=。，

同理可得：平面力成的法向量为〃=（0,1,一木）.

咐、］/\讯•n-2#小

明以cos〈勿，〃〉一向^=汨乂2=-7•

由图可知此二面角应为锐角，

、7

所以二面角〃T斤。的余弦值为

［B级实力提升］

11.如图所示，已知正四面体〃T旗（全部极长均相等的三棱锥），P、0、斤分别为月5、BC、

然整=2,分别记二面角〃-尸长0,D-PQ-R,〃-。〃-F的平面角为。、£、

。上的点，AP=PB,

〃1/n/i

y,则（）

A./＜。＜万B.。＜八万

C.D.y＜a

解析：如图所示，建立空间直角坐标系.设底面△仍C的中心为。，0P=3.

则0(0,0,0),尸(0,-3,0),61(0,6,0),以0,0,6^2),8(3小,-3,0),Q(木,

3,0),

以一24，0,0),

*(一2镉，3,0),PD=[0,3,(n/2),

»—»

PQ=(p6,0),劭=(一3/，-3,0),

浙(一第，-3,6班).

设平面乃次的法向量为〃=(x,y,z),

n・PR=0,1-2#x+3y=0,

可得「

-⑶+6@=0.

{n・PD=G.

可得〃=(#,2心,-1),取平面/俗。的法向量加=(0,0,1).

则cos〈/〃,〃〉=方而=相

所以­＜一＜£.

答案：B

12.如图所示，四边形力〃勿和力〃版均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点"在

线段图上，E,少分别为四，形的中点.设异面直线加与"'所成的角为〃，则cos〃的

最大值为.

解析：如图所示，建立空间直角坐标系/0z,

设月8=2,QQ勿(0WrW2),

则户(2,1,0),E30,0),MO,m,2)(0W危2).

1/77-21

7万+5-.5^+25'

"(T)'

设尸5加'+25，

2(z»~2)(5病+25)一(加-2)一•10m

贝”=(5—+25)2

(加一2)[(1()序+50)一(k2)・10m]

=(5：+25)“

(加一2)(50+20加

(5层+25)

当(K欣2时，y'<0,

所以尸;台■北在(°，2)上单调递减.

所以当m=0时，y取最大值,

|0-2|2

此时cos°取最大值，(cos°)nax=15义0二十25一旅

2

答案抵

13.已知长方形用⑪中，AB=\,/"=/.现将长方形沿对角线劭折起，使然=必得

到一个四面体力-8aA如图所示.

(1)试问：在折叠的过程中，异面直线力〃与切，助与以,能否垂直？若能垂直，求出相

应的a值；若不垂直，请说明理由.

(2)当四面体力-比〃的体积最大时，求二面角加勿-8的余弦值.

解:⑴若力ZLLCO,因为/!从U〃，力〃n折〃，

所以/18_L平面力⑺，所以/ELIC

有初+4=函,即［2+/=(/)2,所以^=1.

若/切_L6£因为/切_L//8,AB^BC=B,

所以月21_平面力比，所以力反UC

有力力+才=5，即(4产+才=也

所以#=-1,无解.故/仅L砥不成立.

(2)要使四面体力-砥9的体积最大，

因为△筋的面积为定值坐，所以只需三棱锥”及力的高最大即可，此时平面月初,平

面BO),过点A作/10_L附于点0,则/10_L平面BCD,以0为原点建立如图所示的空间直角坐

标系