【人教版】九年级下册：数学教案全集

九年级下册数学教案

第二十六章二次函数

［本章知识要点］

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.

2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念.

3.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.

会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单

的实际问题.

26.1二次函数

［本课知识要点］

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义.

［MM及创新思维|

(1)正方形边长为a(cm),它的面积s(cm2)是多少？

(2)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方

厘米，试写出y与x的关系式.

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次

函数概念的经验，给它下个定义.

［实践与探索］

例1.m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？

分析若函数是二次函数，须满足的条件是：.

解若函数是二次函数，则

解得，且.

因此，当，且时，函数是二次函数.

回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数.

探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

例2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.

(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；

(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；

(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不计利息，求本息和y(元)与所

存年数x之间的函数关系；

(4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间

的函数关系.

解(1)由题意，得，其中S是a的二次函数；

(2)由题意，得,其中y是x的二次函数；

(3)由题意，得(x20且是正整数)，

其中y是x的一次函数；

(4)由题意，得，其中S是x的二次函数.

例3.正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余

下的部分做成一个无盖的盒子.

⑴求盒子的表面积S(cn?)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；

⑵当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积.

解⑴S=152-4x2=225-4x2(0<x<y)；

(2)当x=3cm时，(cm2).

［当堂课内练习］

1.下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y-x2=0(2)y=(x+2)(x-2)-(x-1)2

(3)y=x1+—(4)y=+2x-3

x

2.当k为何值时，函数为二次函数？

3.已知正方形的面积为，周长为x(cm).

⑴请写出y与x的函数关系式；

⑵判断y是否为x的二次函数.

［本课课外作业］

A组

1.已知函数是二次函数，求m的值.

2.己知二次函数，当x=3时，y=-5,当x=-5时，求y的值.

已知一个圆柱的高为27,底面半径为x,求圆柱的体积y与x的函数关系式.若圆柱的底面

半径x为3,求此时的y.

用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的

函数关系式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围.

B组

5.对于任意实数m,下列瘗数一定是二次函数的是()

A.B.C.D.

A.6.下列函数关系中，可以看作二次函数()模型的是()

B.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

C.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系

D.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计

空气阻力)

E.圆的周长与圆的半径之间的关系

［本课学习体会］

§26.2用函数观点看一元二次方程（第一课时）

教学目标

（一）知识与技能

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何

时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y二h（h是实数）交点的横坐标.

（二）过程与方法

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精

神.

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一

步培养学生的数形结合思想..

3.通过学生共同观察和讨论.培养大家的合作交流意识.

（三）情感态度与价值观

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创

造.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，

2.具有初步的创新精神和实践能力.

教学重点

1.体会方程与函数之间的联系.

2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标.

教学难点

1.探索方程与函数之间的联系的过程.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

1.我们学习了一元一次方程kx+b=O（kWO）和一次函数y=kx+b（kWO）后，讨论了

它们之间的关系.当一次函数中的函数值尸。时，一次函数产kx+b就转化成了一元一次

方程kx+b=O,且一次函数）y=kx+b（kWO）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程

kx+b=O的解.

现在我们学习/一元二次方程ax2+bx+c=0（a#。）和二次函数y=ax2+bx+c（a^O）,

它们之间是否也存在一定的关系呢？

2.选教材提出的问题，直接引入新课

II.合作交流解读探究

1.二次函数与一元二次方程之间的关系

探究：教材问题

师生同步完成.

观察：教材22页，学生小组交流.

归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.

川.应用迁移巩固提高

1.根据二次函数图像看一元二次方程的根

同期声

2.抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.

3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况

N.总结反思拓展升华

本节课学了如下内容：

1.经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的

联系.

2.理解了二次函数与x轴交点的个数

与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的

实根和没有实根.

3.数学方法:分类讨论和数形结合.

反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？

拓展：教案

26.2V.课后作业P23135

26.3二次函数的图象与性质(1)

［本课知识要点］

会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质.

［MM及创新思维］

我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是、

___________，那么二次函数的图象是H么呢？

(1)描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以

什么数为中心？当x取互为相反数的值时,y的值如何？

(2)观察函数的图象，你能得出什么结论？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们

有何共同点？有何不同点？

⑴y=2/(2)y=-2x2

解列表

•••-3.9-10123•••I

X6

y=2x2♦・•188202818•••

y=-2x2♦♦・-18-8-20-2-8-18•••

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26.2.1.

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点.

不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下

降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升.

的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上

升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.

回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛

物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.

例2.己知是二次函数，且当时,y随x的增大而增大.

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴.

解（1）由题意，得，解得k=2.

（2）二次函数为，见顶点坐标为（0,0）,对称轴为y轴.

例3.己知正方形周长为Cem,面积为Scm2.

（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

（2）根据图象，求出S=Icm2时，正方形的周长；

（3）根据图象，求出C取何值时,S24cm2.

分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时,

自变量C的取值应在取值范围内.

解（1）由题意，得.

列表：

C2468•••

j_9

s=—c214♦♦・

1644

描点、连线，图象如图26.2.2.

（2）根据图象得S=1cm2时，，正方形的周氏是4cm.

（3）根据图象得，当C28cm时,S24cm2.

回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点.

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C.S,不要习惯地写成x、y.

（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.

［当堂课内练习］

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶

点坐标.

（1）y=3x2（2）y=-3x2（3）y=^x2

2.（1）函数的开口，对称轴是，顶点坐标是；

（2）函数的开口，对称轴是，顶点坐标是

3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草

图.

［本课课外作业］

A组

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

(1)y=-4x2(2)y=

2.填空：

(1)抛物线，当x二时,y有最值，是.

(2)当0!=时，抛物线开口向下.

(3)已知函数是二次函数，它的图象开口，当x时,y随x的增大而增大.

3.已知抛物线中，当时,y随x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)作出函数的图象(草图).

4.已知抛物线经过点(1,3),求当y=9时,x的值.

B组

5.底面是边长为x的正方形，高为0.5cm的长方体的体积为ycm3.(1)求y与x之间的

函数关系式：(2)画出函数的图象；(3)根据图象，求出y=8cm3时底面边长x的值：

(4)根据图象，求出x取何值时,y24.5cm3.

6.二次函数与直线交于点P(l,b).

(1)求a、b的值；

6.(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.

一个函数的图象是以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线，且过M(-2,2).

(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象；

(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出Z1MON的面积.

［本课学习体会］

26.2二次函数的图象与性质(2)

［本课知识要点］

会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？

_____________，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？

,那么与的图象之间又有何关系？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出函数与的图象.

解列表.

♦♦♦-3-2-10123

X

y=2x2•♦•188202818♦••

描点、连线，画

2♦♦・

y=2x+220104241020…出这两个函数的

图象，如图26.2.

3所示.

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在

图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪

些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？

例2.在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛

物线得到抛物线.

解列表.

•••-3-2-10

X描点、连线，画

出这两个函数的

y=—x1+1・♦♦-8-301

图象，如图26.2.

y=-x2-1•••-10-5-2-1

4所示.

可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的.

回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的.

探索如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？

例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是・2,且抛物线经过点（1,1）,

求这条抛物线的函数关系式.

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,・2）,

因此所求函数关系式可看作，又抛物线经过点（1,1）,

所以，，解得.

故所求函数关系式为.

回顾与反思（a、开口方向对称轴顶点坐标

k是常数,aKO）的图a>0

象的开口方1可、对称a<0

轴、顶点坐标归纳如

下：

y=ax2+k

［当堂课内练习］

在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象:

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说

出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

2.抛物线的开口,对称轴是，顶点坐标是,它可以看作是由抛

物线向平移个单位得到的.

3.函数，当x时，函数值y随x的增大而减小,当x时，函数取得最值,

最值y=

［本课课外作业］

A组

1.已知函数，，.

（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

1.（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.

不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平

移得到的.

3.若二次函数的图象经过点（-2,10）,求a的值.这人函数有最大还是最小值？是多少？

B组

4.在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是（）

5.己知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式.

［本课学习体会］

26.2二次函数的图象与性质（3）

［本课知识要点］

会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象,

是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解列表.

••♦

-3-2-10123…描点、连线，画出这三个函数

X

1.9j_j_9的图象，如图26.2.5所示.

y=一厂・♦♦202•••

-22222

y=*+2)2j_J_2525

・♦♦028•••

22~2~2

尸；（工-2）2259

•••820••♦

~2222

们的开口方向都向上；对

轴分别是y轴、直线x=-2

直线x=2；顶点坐标分别

（0,0）,（-2,0）,（2,0）.

回顾与反思对于抛物线，当x时，函数值y随x的增大而减小;当x时,

函数值y随x的增大而增大；当x时，函数取得最值，最值y=.

探索抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到

抛物线，应将抛物线作怎样的平移？

例2,不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗？

解抛物线的顶点坐标为（0,0）;抛物线的顶点坐标为（-2,0）.

因此，抛物线与开口方向对称轴顶点坐标

形状相同，开口方向a>0

都向下，对称轴分别a<0

是y轴和直线.抛

物线是由向左平

移2个单位而得的.

回顾与反思（a、

h是常数,aWO）的图

象的开口方向、对称

轴、顶点坐标归纳如

T：

y=a（x-h）2

［当堂课内练习］

1.画图填空：抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以

看作是由抛物线向平移个单位得到的.

2.在同一直角坐标系中，面出下列函数的图象.

,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

［本课课外作业］

A组

1.已知函数，，.

（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）分别讨论各个函数的性质.

2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？

3.函数，当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时，函数取得最值,

最值y二.

4.不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系.

B组

5.将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点

（1,3）,求的值.

［本课学习体会］

26.2二次函数的图象与性质（4）

［本课知识要点］

1.掌握把抛物线平移至+k的规律；

2.会画出+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函

数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才

能得到函数的图象呢？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解列表.

•♦•-3-2-10123•••

X描点、连线，画出这

129j_l_9三个函数的图象,

•••202•••

2222如图26.2.6所示.

y=g(x_l)29

•••8202•••

222

25__3_3

y=^(x-\)-2••••••

60-2-20

2~2

,对称轴分别

图26.2.6

为、、，顶点坐标分别为

请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系.

回顾与反思二次函开口方向对称轴顶点坐标

数的图象的上下平a>Q

移，只影响二次函数a<0

+k中k的值；左右

平移，只影响h的值，

抛物线的形状不变，

所以平移时，可根据

顶点坐标的改变，确

定平移前、后的函数

关系式及平移的路

径.此外，图象的平

移与平移的顺序无

关.

探索你能说出函数

+k（a、h、k是常

数,a#0）的图象的开

口方1司、对称轴和顶

点坐标吗？试填写下

表.

y=Q（x_/z）~+k

例2.把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值.

分析抛物线的顶点为（0,0）,只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定

平移后的函数关系式，从而求出b、c的值.

解

向上平移2个单位，得到，

再向左平移4个单位，得到，

其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（（）,（）），则

〃二一8

解得

c=14

探索把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把

抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线.那么，本题还可以用更

简洁的方法来解，请你试一试.

［当堂课内练习］

I.将抛物线如何平移可得到抛物线（）

A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位

2.把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式

为.

3.抛物线可由抛物线向平移个单位，再向平移个单位而得到.

［本课课外作业］

A组

1.在同一直角坐标系中，面出下列函数的图象.

,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

2.将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系

式.

3.将抛物线如何平移，可得到抛物线？

B组

4.把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有

()

A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=21

5.抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值.

6.将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，其中h>(),kVO,求所得的抛物线

的函数关系式.

［本课学习体会］

26.2二次函数的图象与性质(5)

［本课知识要点］

1.能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2.会利用对称性画出二次函数的图象.

［MM及创新思维］

我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向平移个单位，再向

平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口，对称轴是，顶

点坐标是.那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方

向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？

［实践与探索］

例1.通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.

解y=-2x2+4x+6

=-2(x2-2x)+6

=-2(x2-2x+1-1)+6

=_[2(l)2_l]+6

=一2。一1尸+8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l,顶点坐标为（1,8）.

由对称性列表：

•••-2-101234•••

X

2

y=-2x+4x+6•••-1006860-10•••

描点、连线，如图26.2.7所示.

回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=l为中心，函数值可由对称性得到,.

（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后

再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.

探索对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空:

对称轴，顶点坐标.

例2.已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值.

分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）

顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.

解，

则抛物线的顶点坐标是.

当顶点在x轴上时，有，

解得

当顶点在y轴上时，有，

解得或.

所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是-2,4,8.

［当堂课内练习］

1.（1）二次函数的对称轴是

（2）二次函数的图象的顶点是，当x时,y随x的增大而减小.

（3）抛物线的顶点横坐标是-2,则二.

2.抛物线的顶点是，则、c的值是多少？

［本课课外作业］

A组

1.己知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象.

2.利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶

点坐标.

（1）y=-X1+6x+l（2）y=2x2-3x+4

2

(3)y=-x2+nx(4)y=x~px-\-q

3.已知是二次函数，且当时,y随x的增大而增大.

（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴.

B组

4.当时，求抛物线的顶点所在的象限.

5.己知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标.

［本课学习体会］

26.2二次函数的图象与性质（6）

［本课知识要点］

1.会通过配方求出二次函数的最大或最小值；

2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问

题中的最大或最小值.

［MM及创新思维］

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该

店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每

降低1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时；能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次

函数.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗？

［实践与探索］

例1.求下列函数的最大值或最小值.

（1）；（2）.

分析由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最

高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.

解（1）二次函数中的二次项系数2>0,

因此抛物线有最低点，即函数有最小值.

因为=,

所以当时，函数有最小值是.

（2）二次函数中的二次项系数-1V0,

因此抛物线有最高点，即函数有最大值.

因为=,

所以当时，函数有最大值是.

回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a>0有最小值，aVO有最大

值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

探索试一试，当2.130150165

5WxW3.5时，求二

次函数的最大值或

最小值.

例2.某产品每件成

本是120元，试销阶

段每件产品的销售

价x（元）与产品的

日销售量y（件）之

间关系如下表；

X（元）

y（件）705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少

元？此时每日销售利润是多少？

分析日销售利润=日销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.

解由表可知x+y=200,

因此，所求的一次函数的关系式为.

设每日销售利润为s元，则有

s=y（x-120）=-（x-160）2+1600.

因为，所以.

所以，当每件产品的销售价定为16（）元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元.

回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所

得的函数，得出结果.

例3.如图26.2.8,在Rt/ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上，分别

作DE_LAGDK_LHC,垂足分别为E、F,得四边形DECK,设DE=x,DF=y.

（1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系，并求出

S的最大值.

解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此

AE=AC-DF=8-y.

（2）由〃，得，即，

所以，，x的取值范围是.

图26.2.8

（3）,

所以，当x=2时,S有最大值8.

［当堂课内练习］

1.对于二次函数，当x=时,y有最小值.

2.已知二次函数有最小值-1,则a与b之间的大小关系是)

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定

3.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利,

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1

元，商场平均每天可多售出2件.

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

［本课课外作业］

A组

1.求下列函数的最大值或最小值.

（1）；（2）.

2.已知二次函数的最小值为1,求m的值.，

3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满

足函数关系：.y值越大，表示接受能力越强.

（l）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步

降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分时，学生的接受能力最强？

B组

4.不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围.

5.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）,围成中间隔有

一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为S

m2.kI/-/-/-/-/-/-_/-/-/-/-a/-/-/-/-/-/--/-/-//：

（1）求S与X的函数关系式；A|IID

（2）如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求BC

出

最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.

6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上,EG±AD,FH1BC,垂足

分别是G、H,且EG+FH=EF.

（1）求线段EF的长；

（2）设EG=x,ZIAGE与/CFH的面积和为S,

写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，

并求出S的最小值.

［本课学习体会］

2.…二次函数的图象与性质（7）

［本课知识要点］

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.

［MM及创新思维］

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函

数关系式.例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比

例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个

条件呢？

［实践与探索］

例1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.9所示，现测得水面

宽l.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,

涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线

为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原

点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是.此时

只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.

解由题意，得点B的坐标为（0.8,-2.4）,

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得

—2.4=。x0.8"

所以

因此，函数关系式是.

例2.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

（1）已知二次函数的图象经过点A（0,-1）、B（1,0）、C（-1,2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1,-3）,且与y轴交于点（0,1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3,0）、（5,0）,且与y轴交于点（0,-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3,-2）,且与x轴两交点间的距离为4.

分析（1）根据二次函数的图象经过三个己知点，可设函

数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛

物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数

关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标

（3,-2）,可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的

距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为（1,0）和（5,0），任选一个代入，即可求出

a的值.

解（1）设二次函数关系式为，由己知，这个函数的图象

过（0,-1）,可以得到c=・l.又由于其图象过点（1,0）、（-1,2）两点，可以得到

a+h=\

a-b=3

解这个方程组，得

a=2,b=-1.

所以，所求二次函数的关系式是.

（2）因为抛物线的顶点为（1,-3）,所以设二此函数的关系式为,

又由于抛物线与y轴交于点（0,1）,可以得到

1=。（0-1）2-3

解得.

所以，所求二次函数的关系式是.

（3）因为抛物线与x轴交于点M（・3,0）、（5,0）,

所以设二此函数的关系式为.

又由于抛物线与y轴交于点（0,3）,可以得到

解得.

所以，所求二次函数的关系式是.

（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成.

回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关

系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式

可设如下三种形式：

（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求.

（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求.

（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求.

［当堂课内练习］

1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

（1）已知二次函数的图象经过点（0,2）、（1,1）、（3,5）；

（2）已知抛物线的顶点为（-1,2）,且过点（2,1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1,0）、（2,0）,且经过点（1,2）.

2.二次函数图象的对称轴是x=-l,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点（2,10）,求此

二次函数的关系式.

［本课课外作业］

A组

1.己知二次函数的图象经过点A（-1,12）、B（2,-3）,

（1）求该二次函数的关系式；

（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对

称轴.

2.已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2,m）、Q（n,-8）,如果抛物线

的对称轴是x=-l,求该二次函数的关系式.

3.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高

度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.

4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.

4.已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10,且它的图象在x轴上截得的弦长为4,

试求二次函数的关系式.

B组

5.已知二次函数的图象经过（1,0）与（2,5）两点.

⑴求这个二次函数的解析式；

⑵请你换掉题中的部分己知条件，重新设计一个求二次函数解析式的题目，使所求得

的二次函数与（1）的相同.

6.抛物线过点（2,4）,且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式.

［本课学习体会］

2...实践与探索（1）

［本课知识要点］

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义.

［MM及创新思维］

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上,

很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你知道

二次函数在生活中的其它方面的运用吗？

［实践与探索］

例1.如图26.3.1,一位运动员推铅球，铅球行进高度y1m）与水平距离x（m）之间的关系是

,问此运动员把铅球推出多远？

解如图，铅球落在x轴上，则y=0,

因此，.

解方程，得（不合题意，舍去）.

所以，此运动员把铅球推出了10米.

探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题

情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m,铅球落地点距铅球刚出手时相应的

地面上的点10m,铅球运行中最高点离地面3m,已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函

数关系式.你能解决吗？试一试.

例2.如图26.3.2,公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,

水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流

在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外，此

时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1m）

分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直

角坐标系中，如图26.3.3,我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决

问题.

解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系.设抛物线顶点为B,水流落水与x轴交点

为C（如图26.3.3）.

由题意得,A（