解题技巧专题：利用勾股定理解决折叠问题（原卷版）

2/2解题技巧专题：利用勾股定理解决折叠问题 (6类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【模型一长方形中折痕过对角线模型】 1【模型二长方形中折痕过一顶点模型】 3【模型三长方形中折痕过任意两点模型】 6【模型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】 7【模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】 9【模型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】 10【模型一长方形中折痕过对角线模型】【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平分BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例题：如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．【变式训练】1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（

）A． B．3 C． D．62．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是____________．3．如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（）A． B． C． D．4．如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．

(1)当点落在边上时，．(2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长．【模型二长方形中折痕过一顶点模型】【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平分BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平分BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平分BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例题：如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长．【变式训练】1．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（）A． B．3 C．1 D．2．如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则___．3．如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求___．4．如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为___．5．如图，长方形纸片，，点P在边上，将沿折叠，点C落在E处，，分别交于点O，F，且，则长为____．6．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．(1)求证：；(2)求的长．7．在四边形中，．(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．8．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【模型三长方形中折痕过任意两点模型】【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平分BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平分BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平分BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例题：如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(

)A．6 B．10 C．24 D．48【变式训练】1．如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．2．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．

3．如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．(1)证明；(2)求的面积．4．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．(1)求的长；(2)求的长；(3)求阴影部分的面积．【模型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】【模型解读】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例题：如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．2．如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为．3．如图是一张直角三角形纸片，，，．(1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；(2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．【模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】【模型解读】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例题：如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是．2．如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．3．如图、为一块直角三角形纸片，．【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．【学以致用】（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【模型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】【模型解读】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长．【变式训练】1．如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（

）A． B． C．5 D．42．如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（

）A．3 B．4 C． D．3．如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值（）A．等于3cm