4.2 认识一次函数（第2课时）教学设计

2/2第四章一次函数2认识一次函数（第2课时）一、学习任务分析本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”第二节的第2课时。从课时内容看，本课时通过进一步探究生活中的实际问题，抽象出一次函数模型，进而归纳一次函数和正比例函数的概念；同时，引导学生从关系式中感受一次函数的“均匀”变化，并理解k，b的实际意义。从章节整体来看，本课时是学生掌握一次函数概念，理解k，b的实际意义的关键环节，既承接了前面对函数表示方法及“均匀”变化特征的认知，又为后续深入学习一次函数的图象、性质及应用奠定基础，具有承上启下的重要作用。二、学生起点分析学生的知识技能基础：学生通过本章第一节的学习，已经可以运用图象法、列表法、关系式法来表示变量之间的变化关系，并进一步理解了函数的概念。在本节第1课时中，通过“水龙头滴漏”“线香可燃烧的时间”等实验，将实验数据列表、描点，并写出其函数关系，感受了函数的几种表示方法之间的相互转换，初步体会了一次函数的“均匀”变化。学生的活动经验基础：学生学习了一元一次方程，经历了从实际问题中寻求数量关系并建立方程的过程，具备了一定的数学抽象能力。在函数的学习过程中，学生通过图象法、列表法、关系式法表示函数关系，初步感受了变量之间的相互依赖关系。学生经历了从现实到抽象的过程，积累了一些解决实际问题的经验，具备了一定的数学建模能力。同时在前面的数学学习中，学生已多次参与合作学习，积累了一定的合作经验，也具备了相应的合作与交流的能力。三、教学目标1.经历归纳一次函数和正比例函数概念的过程，进一步感受一次函数变量之间的“均匀”变化，体会从特殊到一般的数学思想，感知一次函数的意义，发展抽象能力。2.应用一次函数解决简单实际问题，理解k，b的实际意义，感受一次函数模型在生活中的广泛应用，培养应用意识。教学重点：一次函数和正比例函数的概念，理解k，b的实际意义。教学难点：理解k，b的实际意义，及其对一次函数y＝kx+b的影响。四、教学过程设计【第一环节】创设情境1.活动内容测量问题在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系见下表：x/kg012345y/cm3.03.54.04.55.05.5（1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？（2）写出y与x之间的关系式，并说明理由。尝试·思考某辆汽车油箱中原有汽油40L，汽车每行驶50km耗油4L。（1）请完成下表。行驶路程x/km050100150200250300耗油量y/L（2）写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。（3）写出油箱剩余油量z（单位：L）与汽车行驶路程x之间的关系式。2.活动目的以弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系为情境，让学生进一步感受线性关系及对应的关系式，为认识一次函数的概念积累具体经验。“尝试·思考”中汽车耗油量的问题，通过设计填写表格、列关系式等具体任务，让学生在处理数据的过程中感知变量间的变化规律，同时借助耗油量与行驶路程、剩余油量与行驶路程的关系式，自然渗透正比例函数、一次函数的概念。3.注意事项弹簧问题中需鼓励学生通过观察表格中的数据写出y与x的关系式，鼓励学生清晰表述自己的思考过程；汽车耗油问题需鼓励学生根据已知条件（汽车每行驶50km耗油4L）完成表格的填写。【第二环节】呈现定义1.活动内容观察·思考（1）在上面情境中，我们得到y＝3+0.5x，y＝0.08x，z＝40－0.08x，它们有什么共同的特征？（2）请你写出一个具有这种特点的关系式。归纳得出：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。例1写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的关系；（2）圆的面积y（单位：cm²）与它的半径x（单位：cm）之间的关系；（3）某水池有水15m³，现在打开进水管进水，进水速度为5m³/h，经过xh这个水池内有水ym³。思考·交流（1）在例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少？它们的实际意义是什么？（2）一般地，k，b对一次函数y＝kx+b有怎样的影响？与同伴进行交流。2.活动目的“观察·思考”引导学生对前面列出的关系式进行观察与思考，概括并认识列出的关系式的共同特征，为引出一次函数的概念做好准备。总结得到一次函数、正比例函数的概念后，结合前面课时对“均匀”变化的理解，进一步理解k的含义。例1是一次函数、正比函数的概念辨析问题，旨在帮助学生巩固对一次函数概念的认识。“思考·交流”引导学生体会一次函数表达式中参数k和b的实际意义。3.注意事项“观察·思考”环节在教学中结合上一环节得到的关系式，进一步体会关系式的共同特征，以此活动加深对关系式共同特征的认识和理解。在得到一次函数的概念后，可以结合前面弹簧长度、汽车耗油量等例子，进一步理解k的意义。【第三环节】简单应用1.活动内容例2在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的关系式y＝kt+b，并说明关系式中k和b的实际意义；（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间（结果精确到0.01s）。2.活动目的结合汽车刹车的具体情境推导一次函数表达式，进一步理解表达式中k和b的实际意义，运用表达式解决问题，为下一小节深入研究一次函数的图象和性质做好铺垫。3.注意事项鼓励学生独立完成例题，巩固一次函数的概念及关系式，并能应用一次函数解决简单的问题，加深对一次函数相关特征的认识，培养学生的模型观念。例题难度适宜，能够凸显k和b的实际意义，有助于学生树立应用意识，主动探索一次函数关系式中的k和b的实际意义，使一次函数的学习不再局限于对数学符号的单纯学习，而是成为具有丰富现实承载的学习过程。【第四环节】总结提升1.活动内容结合本节课所学内容，请总结一次函数的定义及特征。2.活动目的鼓励学生总结一次函数的定义，以及如何确定k和b的现实意义，帮助学生梳理本节课学习的主要内容。3.注意事项由于本节课的主体部分来自学生的实践操作和自主情境创设，学生能很好地完成对一次函数的概念的辨析，以及感知关系式中k和b现实意义。整个课堂以学生学习为主体，也为学生形成正确的概念打好了基础。【第五环节】布置作业1.活动内容基础作业（1）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？①一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s，小球的速度y（单位：m/s）与时间x（单位：s）之间的关系；②周长为10cm的长方形，其面积y（单位：cm2）与该长方形的一边长x（单位：cm）之间的关系。（2）如图，甲、乙两地相距500km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地之间的距离。①写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；②当x＝0.5时，求y的值。选做作业（选择其中一个完成即可）（1）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子。随着投入围棋子数量的增加（投入的围棋子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。①不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗？说说你的理由。②实际做一做实验，验证你的想法。（2）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子，随着投入石子数量的增加（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。为了保证水面均匀升高，你认为对石子应该有什么要求？（3）写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并尝试给写出的两个一次函数补充相应的实际背景。2.活动目的分层作业的布置可以满足不同层次学生的需要。五、教学反思1.在解决实际问题过程中感知数学概念的来源数学来源于生活且应用于生活。生活中存在大量的适用一次函数的情境，通过数学抽象与建模，可建立一次函数解决问题。在教学设计中创建情境，让学生在解决实际问题的过程中感知数学概念的来源，比直接让学生学习一个数学概念的效果好得多。学生不仅知其然，更知其所以然，学习自然更加主动，效果也会更加显著。本节课的教学设计紧紧围绕着情境展开，学生既经历了教师创设的情境，又经历了自己创设情境的过程，因此印象更加深刻，学习积极性也更高。2.反复利用课堂生成的成果，使课堂更加真实自然本节课的教学设计，以反复利用课堂生成的成果为主体。第一个环节，学生通过实践操作得到表格，接着得到了一次函数的关系式；第二个环节，由学生创设情境，呈现多种一次函数关系式。这些都是课堂上的学生生成性成果，在后继环节中被反复运用，使整个课